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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2009 年全国高考理科数学试题及答案（全国卷）一、选择题：1. 10i2-iA. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i.故选 A.2. 设集合1|3 ,|04xAx xBxx，则AB= A. B. 3,4C.2,1D. 4.解：1|0|(1)(4)0|144xBxxxxxxx.(3,4)AB.故选B. 3. 已知ABC中，12cot5A， 则cosAA. 1213B.513C.513D. 1213解：已知ABC中，12cot5A，(,)2A. 221112cos1351tan1()12AA
2、故选 D. 4.曲线21xyx在点1,1处的切线方程为A. 20 xyB. 20 xyC.450 xyD. 450 xy解：111222121|1(21)(21)xxxxxyxx, 故切线方程为1(1)yx,即20 xy故选 B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料5. 已知正四棱柱1111ABCDA B C D中，12AAAB，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所成的角的余弦值为A. 10
3、10B. 15C. 3 1010D. 35解：令1AB则12AA,连1A B1C D1A B异面直线BE与1CD所成的角即1A B与BE所成的角。在1A BE中由余弦定理易得13 10cos10A BE。故选 C 6. 已知向量2,1 ,10,| 5 2aa bab，则|bA. 5B. 10C.5D. 25解：222250|2|520|abaa bbb| 5b。故选 C7. 设323log,log3,log2abc，则A. abcB. acbC. bacD. bca解：322log2log2log3bc2233l o g3l o g2l o g3l o gababc.故选 A.8. 若将函数t
4、an04yx的图像向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx的图像重合，则的最小值为A16B. 14C. 13D. 12解：6tantan(ta)6446nyxyxx向右平移个单位精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料164()662kkkZ，又min102.故选 D9. 已 知 直 线20yk xk与 抛 物 线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若| 2 |FAFB，则kA. 13B.2
5、3C. 23D. 2 23解：设抛物线2:8Cyx的准线为:2l x直线20yk xk恒过定点 P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl于N, 由| 2 |FAFB,则| 2 |AMBN,点 B 为AP 的中 点 .连结OB,则1|2OBAF, | |OBBF点B的横坐标为1, 故点B的坐标为2 202 2(1,2 2)1( 2)3k, 故选 D10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有A. 6 种B. 12 种C. 30 种D. 36 种解：用间接法即可 .22244430CCC种. 故选 C11. 已知双曲线222210,0
6、xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料m A65B. 75C. 58D. 95解：设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分别作AMl于M,BNl于N, BDAMD于,由直线 AB 的斜率为3,知直线AB的倾斜角为16060,|2BADADAB, 由双曲线的第二定义有1|(|AMBNADAFF
7、Be11|(|)22ABAFFB. 又15643|25AFFBFBFBee故选 A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南B. 北C. 西D. 下解：展、折问题。易判断选B第 II卷（非选择题，共90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。13. 4xyyx的展开式中33x y的系数为 6 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
8、-第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解：4224()xyyxx yxy，只需求4()xy展开式中的含xy项的系数：246C14. 设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS9 . 解：na为等差数列，9553995SaSa15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成 45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于74，则球O的表面积等于8. 解：设球半径为R，圆C的半径为r，2277.444rr, 得由因为22224ROCR。由2222217()484RRrR得22R.故球O的表面积等于8. 16.
9、 已知ACBD、为圆O:224xy的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为。解：设圆心O到ACBD、的距离分别为12dd、,则222123ddOM+. 四边形ABCD的面积222212121| | 2 (4)8()52SABCDdddd)(4-三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）设ABC的 内 角A、B、C的 对 边 长 分 别 为a、b、c，3cos()cos2ACB，2bac，求B。分 析 ： 由3c o s()c o s2ACB， 易 想 到 先 将()BAC代 入精品资料 - - -
10、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3cos()cos2ACB得3cos()cos()2ACAC然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sinsin4AC；又由2bac，利用正弦定理进行边角互化，得2sinsinsinBAC，进而得3sin2B.故233B或。大部分考生做到这里忽略了检验， 事实上，当23B时， 由1coscos()2BAC，进而得3cos()cos()212ACAC，矛盾，应舍去。也可利用若2bac则ba
11、bc或从而舍去23B。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱111ABCA B C中，,ABAC D、E分别为1AA、1B C的中点，DE平面1BCC（I）证明：ABAC（II）设二面角ABDC为 60，求1B C与平面BCD所成的角的大小。（I）分析一 ：连结 BE，111ABCA B C为直三棱柱，190 ,B BCE为1B C的中点，BEEC。又DE平面1BCC，BDDC（射影相等的两条斜线段相等）而DA平面ABC，ABAC（相等的斜线段的射影相等） 。分析二： 取BC的中点F， 证四边形AFED为平行四边形，进而证AFD
12、E，AFBC，得ABAC也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一 ：求1B C与平面BCD所成的线面角， 只需求点1B到面BDC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料的距离即可。作AGBD于G，连GC，则G CB D，AGC为二面角ABDC的平面角，60AGC.不妨设2 3AC，则2,4AGGC. 在RT ABD中 ， 由AD ABBD AG，易得6AD. 设点1B到面BDC的距
13、离为h，1B C与 平 面B C D所 成 的 角 为。 利 用11133B BCBCDSDESh，可求得h2 3，又可求得14 3BC11s i n3 0.2hB C即1B C与平面BCD所成的角为30 .分析二 ：作出1B C与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BCAFED面， 所以面AFEDBDC面。 由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AEDF、， 并设交点为O， 则E OB D C面，OC为EC在面BDC内的射影。ECO即为所求。以下略。分析三： 利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则1B C与平面BCD所成的角即为1BC与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考
14、答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料19（本小题满分 12 分）设数列na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列nb是等比数列（II）求数列na的通项公式。解：（I）由11,a及142nnSa，有1242,aaa211325,23
15、aabaa由142nnSa， 则当2n时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbbnb是首项13b，公比为的等比数列（II）由（I）可得1123 2nnnnbaa，113224nnnnaa数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列1331(1 )22444nnann，2(31) 2nnan评析：第（I）问思路明确， 只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可第（II）问中由（ I）易得1123 2nnnaa，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,nnnapaqp q为常数 )，主要的处理手段是两边除以1nq总体来说， 0
16、9 年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置 ,主要考查构造新数列 （全国 I 还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能 ,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料和求变的良苦用心。20（本小题满分 12 分）某车间甲组有 10
17、名工人，其中有 4 名女工人；乙组有5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法 （层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（III ）记表示抽取的 3 名工人中男工人数， 求的分布列及数学期望。分析： （I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率1146210815CCPC（III ）的可能取值为 0，1，2，3 12342110
18、56(0)75CCPCC，1112146342212110510528(1)75C CCCCPCCCC，21622110510(3)75CCPCC，31(2)1(0)(1)(3)75PPPP分布列及期望略。评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 在计算(2)P时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料21（本小题满分 12
19、 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33， 过右焦点 F 的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为 1 时，坐标原点O到l的距离为22（I）求a，b的值；（II ）C上是否存在点P，使得当l绕 F 转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设( ,0)F c，直线:0lxyc，由坐标原点O到l的距离为22则|00|222c，解得1c.又3,3,23ceaba. （II）由(I）知椭圆的方程为22:132xyC.设11(,)A xy、B22(,)xy由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设:1lxmy代入椭圆的方程
20、中整理得22(23)440mymy，显然0。由韦达定理有：1224,23myym1224,23y ym .假设存在点 P，使OPOAOB成立，则其充要条件为：点1212P(,)xxyy的坐标为，点P在椭圆上，即221212()()132xxyy。整理得2222112212122323466xyxyx xy y。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料又AB、在椭圆上，即22221122236,236
21、xyxy. 故12122330 x xy y 将212121212(1)(1)()1x xmymym y ym yy及 代 入 解 得212m122222yy或,12xx=22432232mm,即32(,)22P. 当2322,(,), :12222mPlxy时; 当2322,(,), :12222mPlxy时. 评析： 处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓 “算” ，主要讲的是算理和算法。 算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表 ,一个是里 ,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用
22、两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。22.(本小题满分 12 分) 设函数21fxxaInx有两个极值点12xx、，且12xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224Infx解: （I）2222(1)11axxafxxxxx令2( )22g xxxa
23、，其对称轴为12x。由题意知12xx、是方程( )0g x的 两 个 均 大 于1的 不 相 等 的 实 根， 其 充 要 条 件 为480( 1)0aga，得102a当1( 1,)xx时，0,( )fxf x在1( 1,)x内为增函数；当12(,)xx x时，0,( )fxf x在12(,)xx内为减函数；当2,()xx时，0,( )fxf x在2,()x内为增函数；（II）由（I）21(0)0,02gax，222(2)axx+222222222221(2)1fxxalnxxxx lnx+2设221(22 )1()2h xxxx lnxx，则22(21)122(21)1hxxxlnxxxln
24、x当1(,0)2x时，0,( )hxh x在1,0)2单调递增；当(0,)x时，0h x，( )h x在(0,)单调递减。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料111 2ln 2(,0),()224xh xh当时故22122()4Infxh x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -