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1、绝密启用前20172017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2 2）理科数学理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共
2、60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.3i（）1iA12i B12i C2i D2i2.设集合A1,2,4，B x x24xm 0若AB 1，则B（）A1,3 B1,0 C1,3 D1,53.我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体
3、积为（）A90 B63 C42D362x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z 2x y的最小值是（）y30A15 B9 C 1 D 96.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A 12 种 B 18 种 C 24 种 D 36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D
4、乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a 1，则输出的S（）A2B3C4D5x2y229.若双曲线C:221（a 0，b0）的一条渐近线被圆x2 y2 4所ab截得的弦长为 2，则C的离心率为（）A2 B3C2 D2 3310.已知直三棱柱ABC A1B1C1中，C 120，2，C CC11，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（）A331510 B C D235511.若x 2是函数f(x)(x2 ax 1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为（）A.1 B.2e3 C.5e312.已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB PC)的最小值是（
5、）34A.2 B.C.23D.1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D 314.函数fx sin2x3cosx（x0,）的最大值是4215.等差数列an的前项和为Sn，a3 3，S410，则1k1Skn16.已知F是抛物线C：y28x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点若为F的中点，则FN 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考
6、题：共 60 分。17.（12 分）ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(AC)8sin2（1）求cosB；B，2（2）若ac 6，ABC的面积为 2，求b18.（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：旧养殖法新养殖法箱产量50kg箱产量50kg
7、（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）19.（12P（）分）如图，四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，AB BC 1AD,BAD ABC 90o,E是PD的中点.2（1）证明：直线CE/平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角M ABD的余弦值20.（12 分）x2设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M做x轴的垂线，2垂足为N，点P满足NP 2NM.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x 3上，且OPPQ 1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12 分
8、）已知函数fx ax2axxlnx，且fx0。（1）求a；（2）证明：fx存在唯一的极大值点x0，且e2 fx0 22.（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值323.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知a 0,b
9、 0,a3b3 2，证明：（1）(ab)(a5b5)4；（2）ab 220172017 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 2 2理科数学参考答案理科数学参考答案一、选择题：1.D2.C7.D8.B二、填空题：13.三、解答题：17.（12 分）解：（1）由题设及A BC 得sin B 8sin2B，故23.B9.A4.B5.A6.D10.C11.A12.B14.115.2nn116.6上式两边平方，整理得17cos2B32cos B15 0解得cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=151715814得sinB，故SABCacsin B ac1
10、71721717又SABC=2，则ac 2由余弦定理及ac 6得所以b 218.（12 分）解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”.由题意知P(A)P(BC)P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于 50kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)5 0.62，故P(B)的估计值为新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)5 0.66，故P(C)的估计值为因此，事件A的概率估计值为0.620.66 0.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表旧养殖法新养殖法箱产量
11、50kg箱产量 50kg由于15.705 6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)5 0.34 0.5，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.0040.0200.0440.068)5 0.68 0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为19.（12 分）解：（1）取PA的中点F，连接EF,BF，因为E是PD的中点，所以EF/AD，EF 1AD2由BAD ABC 90得BC/AD，又BC 1AD，2所以EF/BC，四边形BCEF是平行四边形，CE/BF，又BF 平面PAB，
12、CE 平面PAB，故CE/平面PAB（2）由已知得BA AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3)，设M(x,y,z)(0 x 1)，则因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n (0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos BM,n|sin45,即(x1)2 y2 z2 0|z|(x1)2 y2 z22，2又M在棱PC上，设PM PC，则x,y 1,z 3 322,x 1x 122由，解得y 1,（舍去），y 1,6z z 622所以M(12626,1,
13、)，从而AM(1,1,)2222设m (x0,y0,z0)是平面ABM的法向量，则m AM 0,(22)x02y06z0)0,即x0 0,m AB 0,所以可取m (0,6,2)，于是cos m,n m n10|m|n|5105因此二面角M ABD的余弦值为20.（12 分）解：（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，则N(x0,0),NP(xx0,y),NM(0,y0)由NP 2NM得x0 x,y02y2x2y21因为M(x0,y0)在C上，所以22因此点P的轨迹方程为x2 y2 2（2）由题意知F(1,0)设Q(3,t),P(m,n)，则OQ (3,t),PF (1m,n),OQ PF 3
14、3mtn，由OQ PQ 1得3mm2tnn21又由（1）知m2n2 2，故所以OQ PF 0，即OQ PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12 分）解：（1）f(x)的定义域为(0,)设g(x)axaln x，则f(x)xg(x),f(x)0等价于g(x)0因为g(1)0,g(x)0，故g(1)0，1而g(x)a,g(1)a1，x得a 1若a 1，则g(x)11x当0 x 1时，g(x)0,g(x)单调递减；当x 1时，g(x)0,g(x)单调递增所以x 1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0综上，a 1（2）由（1）知f(x)x2
15、 x xln x,f(x)2x2ln x设h(x)2x2ln x，则h(x)21x11当x(0,)时，h(x)0；当x(,)时，h(x)0.2211所以h(x)在(0,)单调递减，在(,)单调递增.22111又h(e2)0,h()0,h(1)0，所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在,)222有唯一零点 1，且当x(0,x0)时，h(x)0；当x(x0,1)时，h(x)0；当x(1,)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以x x0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)0得ln x0 2(x01)，故f(x0)x0(1 x0).由x0(0,1)得f(x0)1.4因为x x0是f(x)在(0
16、,1)的最大值点，由e1(0,1),f(e1)0得f(x0)f(e1)e2.所以e2 f(x0)22（二）选考题：22.解：（1）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为(1,)(1 0).由题设知|OP|,|OM|14cos由|OM|OP|16得C2的极坐标方程 4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2 y2 4(x 0)（2）设点B的极坐标为(B,)(B 0).由题设知|OA|2,B 4cos a，于是OAB面积 23.当a 12时，S取得最大值23所以OAB面积的最大值为2323.解：（1）(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6（2）因为(ab)3 a33a2b3ab2b3所以(ab)38，因此ab 2.