2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷1.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料欢迎下载！ ！2009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）一、选择题(1) 设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4， 7，8，9 ，全集 U=AB，则集合u（ AB）中的元素共有（A）3 个（B）4个（C ）5 个（D） 6 个（2）已知1iZ=2+I, 则复数 z= （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11XX1 的解集为（A） x011xx x (B)01xx（C）10 xx (D)0 x x(4) 设双曲线22221xyab（a0,b 0）的渐近线与抛物线y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心

2、率等于（A）3（B ）2 （C）5（D）6(5) 甲组有 5 名同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180 种（C）300 种 (D)345种（6）设a、b、c是单位向量，且ab0，则acbc的最小值为（A）2（B）22（C）1 (D)12（7）已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（A）34（B）54（C）74 (D) 34（8）如果函数cos 2yx3的图像关于点43，0中心

3、对称，那么的最小值为（A）6（B）4（C）3 (D) 2 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则 的值为(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（10） 已知二面角 -l- 为 600 ， 动点 P、 Q分别在面 、 内，P到的距离为3， Q到 的距离为2 3，则 P、Q两点之间距离的最小值为(A)2 (B)2 (C) 2 3 (D)4

4、 （11）函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)fx都是奇函数，则(A) ( )f x是偶函数 (B) ( )f x是奇函数(C) ( )(2)fxf x (D) (3)fx是奇函数（12）已知椭圆 C: 2212xy的又焦点为F，右准线为L，点AL, 线段AF 交C与点B。若3FAFB,则AF= (A)2 (B)2 (C) 3 (D)3 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）(13) 10()xy的展开式中，73x y的系数与37x y的系数之和等于 . (14) 设等差数列na的前 n 项和为ns. 若9s=72

5、, 则249aaa= . (15) 直三棱柱ABC-111A B C各顶点都在同一球面上. 若12,ABACAABAC=120，则此球的表面积等于 . (16) 若42X, 则函数3tan2 tanyxx的最大值为 . 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分10 分）在ABC中，内角 A、 B、 C的对边长分别为a、 b、 c ，已知222acb， 且s in c o s3 c o s s i nACAC，求 b. 18 （本小题满分12 分）如图，四棱锥SABCD 中，底面 ABCD为矩形， SD底面 ABCD ，AD=2，DC=S

6、D=2. 点 M在侧棱 SC上，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料ABM=600.( ) 证明： M是侧棱 SC的中点；（）求二面角SAM B的大小。(19)( 本小题满分12 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6 ，乙获胜的概率为0.4 ，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜1 局。（1）求甲获得这次比赛胜

7、利的概率；（2）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望。（20） （本小题满分12 分）在数列na中，1111112nnnaaan. 设nnabn，求数列nb的通项公式；求数列na的前n项和ns. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料21 （本小题满分12 分）如图，已知抛物线2:Eyx与圆222:(4)Mxyr(r0）相交于ABCD、 、 、四个点。（I ）求r的取值

8、范围：(II)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线ABCD、 、 、的交点p的坐标。22 （本小题满分12 分）设函数32( )33f xxbxcx有两个极值点12211,2 .xxx，0 ，且（）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；( ) 证明：11022f(x)-精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2009 年普通高等学校招生全国统一考试理

9、科数学（必修+选修）参考答案一、选择题(1) 解：3,4,5,7,8,9AB，4,7,9()3,5,8UABCAB故选 A。（2） 解：(1) (2)13 ,13ziiizi故选 B。(3) 解：验 x=-1 即可。(4) 解：设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx. 由题意有0002yxx又2001yx解得 : 2201,2,1()5bbxeaa. (5) 解: 分两类 (1) 甲组中选出一名女生有112536225CCC种选法 (2) 乙组中选出一名女生有211562120CCC种选法 . 故共有 345 种选法 . 选 D （6）解 :, ,a b c是单位向量2()

10、acbca babcc1 | | 12cos,12abcab c故选 D.（7）解：设BC的中点为D，连结1AD， AD ，易知1A AB即为异面直 线AB与1CC所 成 的 角 ,由三 角 余 弦 定理 ， 易 知113cocs4oscosADADA ADDABA AAB. 故选 D （8）解 : 函数cos 2yx3的图像关于点43，0中心对称4232k13()6kkZ由此易得min|6. 故选 A (9) 解: 设切点00(,)P xy，则0000ln1,()yxayx,又001|1x xyxa00010,12xayxa. 故答案选 B（10）解 : 如图分别作,QAA AClC PBB

11、于于于PDlD于，连,60 ,CQ BDACQPBD则BCBCA111AD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2 3,3AQBP，2ACPD又222122 3PQAQAPAP当且仅当0AP，即AP点 与点重合时取最小值。故答案选C。（11）解 : (1)f x与(1)f x都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxf xfxfx，函 数( )f x关 于 点(1,0)， 及 点(1, 0 )对 称

12、 ， 函 数( )f x是 周 期21(1) 4T的 周 期 函数.(14)(14)fxf x，(3)(3)fxf x，即(3)f x是奇函数。故选D 12. 解: 过点 B作BMl于 M,并设右准线l与 X轴的交点为N， 易知 FN=1.由题意3FAFB, 故2|3BM.又由椭圆的第二定义, 得2 22|233BF|2AF. 故选 A 二、填空题：13. 解: 373101010()2240CCC14. 解: na是等差数列 , 由972S, 得599,Sa58a2492945645()()324aaaaaaaaaa. 15. 解: 在ABC中2ABAC,120BAC, 可得2 3BC, 由

13、正弦定理 , 可得ABC外接圆半径r=2, 设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.16. 解: 令tan,xt142xt, 4432224222 tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxtttt三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10 分）解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb. 又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.

14、 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解法二 : 由余弦定理得 : 2222cosacbbcA. 又222acb,0b。所以2 cos2bcA又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4 cosbcA由，解得4b。18 解法一：（I ）作MECD交SD于点

15、 E，则MEAB，ME平面SAD ，连接 AE ，则四边形ABME 为直角梯形作MFAB，垂足为 F，则 AFME 为矩形设MEx，则SEx，222(2)2AEEDADx2(2)2,2MFAExFBx由2tan60 ,(2)23(2)MFFBxx。得解得1x，即1ME，从而12MEDC，所以M为侧棱SC的中点（）222MBBCMC，又60 ,2ABMAB, 所以ABM为等边三角形，又由（）知M为 SC中点2,6,2SMSAAM，故222,90SASMAMSMA取 AM中点 G，连结 BG ，取 SA中点 H，连结 GH ，则,BGAM GHAM, 由此知BGH为二面角SAMB的平面角连接BH，

16、在BGH中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料22312223,2222BGAMGHSMBHABAH所以2226cos23BGGHBHBGHBGGH二面角SAMB的大小为6arccos()3解法二 : 以 D为坐标原点，射线DA为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A，则(2, 2,0),(0,2,0),(0,0, 2)BCS（）设(0)SMMC, 则2222(0

17、,),( 2,)1111MMB又(0,2,0),60ABMB AB故|cos60MBABMBAB即222422(2)()()111解得1，即SMMC所以 M为侧棱 SC的中点（II ）由(0,1,1), (2,0,0)MA，得 AM的中点2 1 1(,)22 2G又2 31(,),(0,1,1),(2,1,1)222GBMSAM0,0GBAMMSAM所以,GBAM MSAM因此,GB MS等于二面角SAMB的平面角6cos,3| |GBMSGB MSGBMS所以二面角SAMB的大小为6arccos()3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

18、纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料19解：记iA表示事件：第i 局甲获胜， i=3,4,5 jB表示事件：第j 局乙获胜， j=3,4 （）记 B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2 局，从而34345345BAABAAABA由于各局比赛结果相互独立，故34345345( )()()()P BP AAP BAAP ABA =34345345()()() ()()()()()P AP AP BP AP AP AP

19、 BP A =0.60.6+0.4 0.6 0.6+0.6 0.4 0.6 =0.648 （II ）的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以3434(2)()PP AABB=3434()()P AAP BB=3434()()()()P AP AP BP B=0.6 0.6+0.4 0.4 =0.52 (3)1(2)PP=1.0.52=0.48 的分布列为2 3 P 0.52 0.48 2(2)3(3)EPP=2 0.52+3 0.48 =2.48 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

20、9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料20 解： （I ）由已知得111ba，且1112nnnaann即112nnnbb从而2112bb32212bb111(2)2nnnbbn于是121111.222nnbb =112(2)2nn又11b故所求的通项公式1122nnb（II ）由（ I ）知111(2)222nnnnann, nS=11(2)2nkkkk111(2 )2nnkkkkk而1(2 )(1)nkkn n, 又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkknnS=(1)n n1242nn21 （I ）将

21、抛物线2:Eyx与圆222: (4)(0)Mxyrr的方程联立，消去2y，整理得227160 xxr （）抛物线2:Eyx与圆222: (4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料由此得2212212( 7)4(16)070160rxxx xr解得215164r又0r所以15(,4)2r考生利用数形结合及函数

22、和方程的思想来处理也可以（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。设E与M的四个交点的坐标分别为：11(,)A xx、11(,)B xx、22(,)C xx、22(,)D xx。则直线ACBD、的方程分别为212111112121(),()xxxxyxxxyxxxxxxx解得点 P的坐标为12(,0)x x设12tx x，由216tr及（ I ）知702t由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积2112211212 |()|()2Sxxxxxxxx则2212121212()4(2)Sxxx xxxx x将12127,

23、xxx xt代入上式，并令2( )f tS，得27( )(72 )(72 )(0)2f tttt求导数( )2(72 )(67)fttt令( )0ft，解得77,62tt（舍去）当706t时，( )0ft；76t时，( )0ft；7762t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料时，( )0ft故当且仅当76t时，( )f t有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为7(,0)622

24、. 解 （I ）2363fxxbxc依题意知，方程0fx有两个根12xx、，1 1 0,x且，21,2.x等价于10f，00f，1020ff，由此得 b、c 满足的约束条件为2102144cbccbcb满足这些条件的点, b c的区域为图中阴影部分，(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标32222233fxxbxcx中的b， （如果消 c会较繁琐）再利用2x的范围，并借助（ I ）中的约束条件得 2,0c进而求解，有较强的技巧性。解：由题设知22223630fxxbxc，故2221122bxxc于是323222222133322cfxxbxcxxx由于21,2x，而由（）知0c，故21343()22cfxc又由（）知 2,0c所以2110()2f x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -