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1、第二章第二章 各向异性各向异性 弹性力学基础弹性力学基础2.2 各向异性各向异性弹性体的本构关系弹性体的本构关系2.1 各向异性各向异性弹性力学基本方程弹性力学基本方程2.3 正交正交各向异性材料的工程弹性常数各向异性材料的工程弹性常数回总目录回总目录12.1 各向异性弹性力学各向异性弹性力学 基本方程基本方程各向异性弹性力学基本方程包括：各向异性弹性力学基本方程包括：2.1(1)1 工程应力方程工程应力方程2 工程应变方程工程应变方程3 平衡方程平衡方程4 几何关系方程几何关系方程5 变形协调方程变形协调方程6 物理方程物理方程2工程应力3工程应变4几何关系方程5变形协调方程（1）6个个应应
2、变变分分量量是是通通过过3个个位位移移分分量量表表示示的的，因因此此，6个个应应变变分分量量不不是是互互不不相相关的，之间存在必然联系：关的，之间存在必然联系：（1）已已知知3个个位位移移分分量量，解唯一；解唯一；（2）已已知知6个个应应变变分分量量，如如何何？方方程程个个数数超超过过未未知知数个数，解不唯一。数个数，解不唯一。6变形协调方程（2）6个变形协调方程，其中只有个变形协调方程，其中只有3个独立。个独立。意意义义：分分割割成成无无数数个个小小6面面体体，每每个个小小单单元元体体发发生生变变形形。如如果果应应变变分分量量不不满满足足协协调调方方程程，则则变变形形后后，不不能能将将小小单
3、单元元体体拼拼合合成成连连续续体体，产产生生小小裂裂缝缝。为为使使变变形形后后连连续续，应应变变分分量量必必须须满满足足协协调调方方程程。因因此此变变形形协协调调方方程程是是保保证证物物体体连连续续的的一一个必要条件。个必要条件。对于单连通物体，变形协调方程也是保证物体连续的充分条件。对于单连通物体，变形协调方程也是保证物体连续的充分条件。7平衡方程(物体内部的平衡条件)注：以上关系与各向同性体相同注：以上关系与各向同性体相同8fx=xl+yxm+zxnfy=xyl+ym+zynfz=xzl+yzm+zn应力边界条件(物体边界部分的平衡条件)9物理方程(本构关系本构关系)Hooke 定理定理：
4、记作记作=C，C刚度矩阵，刚度矩阵，可以证明，可以证明，C是对称矩阵，因此它只是对称矩阵，因此它只有有21个独立变量。个独立变量。如何证明？如何证明？10物理方程 同样，同样，S也是对称矩阵，它也有也是对称矩阵，它也有21个独立变量。个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：同样，可用应力分量表示应变分量：SC-1柔度矩阵。柔度矩阵。112.2 2.2.1 具有一个弹性对称面的材料 2.2.2 正交各向异性材料 2.2.3 横观各向同性材料 2.2.4 各向同性材料2.2 各向异性弹性体的各向异性弹性体的 本构关系本构关系122.2132.2应变势能密度为：142.2.1有一个弹性对称面的材
5、料 如如取取xoyxoy坐坐标标面面与与弹弹性性对对称称面面平平行行，取取A与与A为为相相互互对对称称点点，则则它它们们的的弹弹性性性性能能相相同同。即即将将z轴转到轴转到z轴时，应力应变关系不变。轴时，应力应变关系不变。如如果果物物体体内内每每一一点点都都有有这这样样一一个个平平面面，在在此此平平面面的的对对称称点点上上弹弹性性性性能能相相同同，这这样样的的材材料料就就具具有有一一个个弹弹性性对对称称面面。弹弹性性主主轴轴概念。概念。152.2.1有一个弹性对称面的材料此时：此时：z=-z，w=-w，（新旧坐标系），（新旧坐标系）其余应变分量不变其余应变分量不变162.2.1有一个弹性对称面
6、的材料 为保证为保证W值不变值不变,将含有将含有xz和和yz(4与与 5)一次项的一次项的Cij置为零，只剩下置为零，只剩下13个独立变量。个独立变量。13172.2.1 有一个弹性对称面的材料同理：同理：182.2.2正交各向异性材料如果具有三个正交弹性对称面，则：如果具有三个正交弹性对称面，则：9192.2.2正交各向异性材料只有九个独立系数只有九个独立系数重要性质，正剪无耦合重要性质，正剪无耦合202.2.3横观各向同性材料 各向同性面各向同性面在该平面内，在该平面内，各点的弹各点的弹性性能在各方向上相同性性能在各方向上相同。假定：假定：1，2，3都是弹性都是弹性主轴，主轴，12面是各向
7、同性面是各向同性面。面。则：则：S11=S22，S13=S23，S44=S55，C11=C22，C13=C23，C44=C55212.2.3横观各向同性材料 又设某点应力状态：又设某点应力状态：1=，2=，4=5 6，有有 将将1、2坐标轴在面内转坐标轴在面内转450到到1 、2，则则 1=2 30，6 12 ，23 31 0：则：则：S662(S11 S12)222.2.3横观各向同性材料5232.2.3横观各向同性材料只有五个独立系数只有五个独立系数242.2.4各向同性材料 如果材料任一点、任一方向弹性特如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。性都相同。有：有：C11=C22=C33，C
8、12=C13=C23，S11=S22=S33，S12=S13=S23，252.2.4各向同性材料262.2.4各向同性材料只只有有2个个独独立立参参数数，因因为为E、G之之间间有有关关系。系。272.3 2.3 正交各向异性材料的正交各向异性材料的 工程弹性常数工程弹性常数 单独在单独在j方向有正应力时方向有正应力时i方向上方向上应变与应变与j方向应变之比的负值方向应变之比的负值 工程常数是指弹性模量工程常数是指弹性模量Ei,泊松比泊松比ij和剪切模量和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。，这些常数由实验测定。分别在各弹性主方向有作分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比用力时的应力应变之比
9、282.3.1对正交各向异性材料：对正交各向异性材料：292.3.1302.3.1因为因为S是对称的，所以是对称的，所以 对于各向同性材料：对于各向同性材料：E0，G0,-10，所以，所以C和和S必须正定。必须正定。一般一般Ei Ej，所以，所以，ij ji。因此共有九个参数。因此共有九个参数。312.3.2矩阵正定的定义：矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵。特征值都大于零的实对称矩阵。充分必要条件：充分必要条件：所有主子式都大于零所有主子式都大于零 Ai i0(i=1,26)主子式：主子式：在在S（或（或C）中任意取第）中任意取第i1,i2,i3,ik k行行和和i1,i2,i3,ik k列交点处的元素构成的行列交点处的元素构成的行列式称为矩阵列式称为矩阵 S（或（或C）的主子式。）的主子式。322.3.21 2 同理可得：同理可得：332.3.23 书上（书上（2-42）式就是通过组合上）式就是通过组合上述公式得到的。述公式得到的。这些关系式可用于检这些关系式可用于检验材料实验数据。验材料实验数据。34