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1、第三章各向异性弹性力学基础本讲稿第一页，共二十三页基本方程：基本方程：1、平衡方程、平衡方程 分量形式为：分量形式为：本讲稿第二页，共二十三页2、几何关系（小变形）、几何关系（小变形）分量形式为：分量形式为：本讲稿第三页，共二十三页变变形形协协调调方方程程：六六个个应应变变分分量量应应该该满满足足的的一一个个关系，即关系，即6个独立等式：个独立等式：共共有有81个个方方程程，但但只只有有6个个是是不不同同的的，其其余余的的不是恒等式就是由于不是恒等式就是由于 ij的对称性而都是重复的。的对称性而都是重复的。本讲稿第四页，共二十三页前前三三个个分分别别是是xy，yz，zx平平面面内内的的3个个应
2、应变变量量间间的的协协调调关关系系；而而后后三三者者则则分分别别是是正正应应变变和和3个个切切应应变变之之间间的协调关系。的协调关系。本讲稿第五页，共二十三页3、边界条件、边界条件力边界条件：力边界条件：位移边界条件：位移边界条件：4、各向异性本构方程（小变形）、各向异性本构方程（小变形）刚度矩阵刚度矩阵柔度矩阵柔度矩阵 各向异性体的弹性应变能为：各向异性体的弹性应变能为：本讲稿第六页，共二十三页拉拉-拉拉耦耦合合（泊泊 桑桑 效效应）应）剪剪-剪剪耦耦合合拉拉剪剪耦耦合合本讲稿第七页，共二十三页 3-2 各向异性弹性力学的本构方程各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性（21个弹性常数）其
3、其中中Sij为为柔柔度度系系数数，4、5和和 6即即为为剪剪应应力力 23、31和和 12。可可见见各各向向异异性性体体一一般般具具有有耦耦合合现现象象：正正应应力力引引起起剪剪应应变变，剪剪应应力力也也可可以以引引起起正正应应变；反之亦然。变；反之亦然。本讲稿第八页，共二十三页二、有一弹性对称面（13个弹性常数）弹弹性性对对称称面面：沿沿这这些些平平面面的的对对称称方方向向弹弹性性性性能能是是相同的。相同的。材材料料主主轴轴（或或弹弹性性主主轴轴）：垂垂直直于于弹弹性性对对称称面面的的轴。轴。本讲稿第九页，共二十三页 利利用用两两个个方方向向下下材材料料的的应应变变能能密密度度表表达达式式应
4、应保保持持不不变变（即即利利用用两两个个坐坐标标系系计计算算得得到到的的单单位位体体积应变能的结果是相同的）可以推得：积应变能的结果是相同的）可以推得：设仅有设仅有，即有，即有而而在在x3变向时要变号，为保证变向时要变号，为保证W相同，相同，则有则有本讲稿第十页，共二十三页同理：同理：独立常数减少为独立常数减少为13个，即个，即本讲稿第十一页，共二十三页 如果如果，其余应力分量为零，则有：，其余应力分量为零，则有：此此公公式式说说明明：当当沿沿弹弹性性主主轴轴拉拉伸伸时时，除除纵纵向向伸伸长长、横横向向收收缩缩外外，还还会会引引起起与与主主轴轴垂垂直直的的面面内内剪剪应应变变，且弹性主轴方向不
5、变。且弹性主轴方向不变。本讲稿第十二页，共二十三页三、正交各向异性（三、正交各向异性（9 9个弹性常数）个弹性常数）正正交交各各向向异异性性是是指指有有三三个个互互相相正正交交的的弹弹性性主主轴轴的的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）情况。（有三个互相正交的弹性对称面）取取为三个正交弹性主轴，如图所示：为三个正交弹性主轴，如图所示：本讲稿第十三页，共二十三页 由由a）、b）两两坐坐标标系系中中计计算算的的应应变变能能应应该该相相同，而在两坐标系下：同，而在两坐标系下：（即（即）变号，可得：）变号，可得：即：即：本讲稿第十四页，共二十三页由由此此可可得得：1）当当采采用用材材料料主主轴轴来来描
6、描述述正正交交异异性性体体时时，没没有有任任何何拉拉剪剪耦耦合合现现象象；2）在在非非材材料料主主轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。纤纤维维在在横横截截面面内内按按矩矩形形排排列列的的单单向向纤纤维维复复合合材材料料，宏宏观观而而言言则则是是一一正正交交异异性性体体。共共有有9个个弹性常数：弹性常数：本讲稿第十五页，共二十三页1轴沿纤维方向，并有轴沿纤维方向，并有，而是，而是即即没有对称性。没有对称性。可展开为：可展开为：本讲稿第十六页，共二十三页 四、横观同性（5个弹性常数）纤纤维维在在横横截截面面内内随随机机排排列列的的，宏宏观观而而言言，其其在在横横向向
7、的的所所有有方方向向的的弹弹性性性性能能相相同同，则则称称为为横横向向同同性性。由由于于横横向向同同性性，则则在在2-3平平面面内内应应为为各各向向同性，则有同性，则有故只有故只有5个独立常数：个独立常数：（或（或），），（或（或）本讲稿第十七页，共二十三页由工程应变形式的展开式为：由工程应变形式的展开式为：即：即：本讲稿第十八页，共二十三页五、各向同性（2个弹性常数）本讲稿第十九页，共二十三页本讲稿第二十页，共二十三页六、弹性常数的取值范围 判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定二次型。二次型。为为的正定二次型的充要条件是矩阵的正定二次型的充要条件是矩阵的所有主要主子式大于零，即：的所有主要主子式大于零，即：本讲稿第二十一页，共二十三页1、对于各向同性，可推得：、对于各向同性，可推得：实际上一般为：实际上一般为：2、对于正交各向异性，有：、对于正交各向异性，有：，等等等等本讲稿第二十二页，共二十三页作业：作业：1.推推导导正正交交各各向向异异性性材材料料柔柔度度矩矩阵阵为为零零的的分量；分量；2.推推导导正正交交各各向向异异性性材材料料中中各各个个常常数数的的取值范围。取值范围。本讲稿第二十三页，共二十三页