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1、第三章各向异性弹性力学基础第1页，本讲稿共23页基本方程：基本方程：1、平衡方程、平衡方程 分量形式为：分量形式为：第2页，本讲稿共23页2、几何关系（小变形）、几何关系（小变形）分量形式为：分量形式为：第3页，本讲稿共23页变变形形协协调调方方程程：六六个个应应变变分分量量应应该该满满足足的的一一个关系，即个关系，即6个独立等式：个独立等式：共共有有81个个方方程程，但但只只有有6个个是是不不同同的的，其其余余的的不不是是恒恒等等式式就就是是由由于于 ij的的对对称称性性而而都都是是重重复复的。的。第4页，本讲稿共23页前前三三个个分分别别是是xy，yz，zx平平面面内内的的3个个应应变变量
2、量间间的的协协调调关关系系；而而后后三三者者则则分分别别是是正正应应变变和和3个个切切应变之间的协调关系。应变之间的协调关系。第5页，本讲稿共23页3、边界条件、边界条件力边界条件：力边界条件：位移边界条件：位移边界条件：4、各向异性本构方程（小变形）、各向异性本构方程（小变形）刚度矩阵刚度矩阵柔度矩阵柔度矩阵 各向异性体的弹性应变能为：各向异性体的弹性应变能为：第6页，本讲稿共23页拉-拉耦合（泊 桑 效应）剪-剪耦合拉剪耦合第7页，本讲稿共23页 3-2 各向异性弹性力学的本构方程各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性（21个弹性常数）其其中中Sij为为柔柔度度系系数数，4、5和和 6
3、即即为为剪剪应应力力 23、31和和 12。可可见见各各向向异异性性体体一一般般具具有有耦耦合合现现象象：正正应应力力引引起起剪剪应应变变，剪剪应应力力也也可可以以引起正应变；反之亦然。引起正应变；反之亦然。第8页，本讲稿共23页二、有一弹性对称面（13个弹性常数）弹弹性性对对称称面面：沿沿这这些些平平面面的的对对称称方方向向弹弹性性性性能是相同的。能是相同的。材材料料主主轴轴（或或弹弹性性主主轴轴）：垂垂直直于于弹弹性性对对称称面的轴。面的轴。第9页，本讲稿共23页 利利用用两两个个方方向向下下材材料料的的应应变变能能密密度度表表达达式式应应保保持持不不变变（即即利利用用两两个个坐坐标标系系
4、计计算算得得到到的的单单位体积应变能的结果是相同的）可以推得：位体积应变能的结果是相同的）可以推得：设仅有，即有而在x3变向时要变号，为保证W相同，则有第10页，本讲稿共23页同理：同理：独立常数减少为独立常数减少为13个，即个，即第11页，本讲稿共23页 如果，其余应力分量为零，则有：此此公公式式说说明明：当当沿沿弹弹性性主主轴轴拉拉伸伸时时，除除纵纵向向伸伸长长、横横向向收收缩缩外外，还还会会引引起起与与主主轴轴垂垂直直的的面面内内剪应变，且弹性主轴方向不变。剪应变，且弹性主轴方向不变。第12页，本讲稿共23页三、正交各向异性（三、正交各向异性（9 9个弹性常数）个弹性常数）正正交交各各向
5、向异异性性是是指指有有三三个个互互相相正正交交的的弹弹性性主主轴轴的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）取为三个正交弹性主轴，如图所示：第13页，本讲稿共23页 由由a）、b）两两坐坐标标系系中中计计算算的的应应变变能能应应该该相同，而在两坐标系下：相同，而在两坐标系下：（即）变号，可得：即：即：第14页，本讲稿共23页由由此此可可得得：1）当当采采用用材材料料主主轴轴来来描描述述正正交交异异性性体体时时，没没有有任任何何拉拉剪剪耦耦合合现现象象；2）在在非非材材料料主主轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。纤纤维维在在横横截
6、截面面内内按按矩矩形形排排列列的的单单向向纤纤维维复复合合材材料料，宏宏观观而而言言则则是是一一正正交交异异性性体体。共有共有9个弹性常数：个弹性常数：第15页，本讲稿共23页1轴沿纤维方向，并有，而是即没有对称性。可展开为：第16页，本讲稿共23页 四、横观同性（5个弹性常数）纤纤维维在在横横截截面面内内随随机机排排列列的的，宏宏观观而而言言，其其在在横横向向的的所所有有方方向向的的弹弹性性性性能能相相同同，则则称称为为横横向向同同性性。由由于于横横向向同同性性，则则在在2-3平平面面内内应应为为各向同性，则有各向同性，则有故只有故只有5个独立常数：个独立常数：（或），（或）第17页，本讲稿
7、共23页由工程应变形式的展开式为：由工程应变形式的展开式为：即：即：第18页，本讲稿共23页五、各向同性（2个弹性常数）第19页，本讲稿共23页第20页，本讲稿共23页六、弹性常数的取值范围 判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定二次型。二次型。为的正定二次型的充要条件是矩阵的所有主要主子式大于零，即：第21页，本讲稿共23页1、对于各向同性，可推得：、对于各向同性，可推得：实际上一般为：实际上一般为：2、对于正交各向异性，有：、对于正交各向异性，有：，等等等等第22页，本讲稿共23页作业：作业：1.推推导导正正交交各各向向异异性性材材料料柔柔度度矩矩阵阵为为零的分量；零的分量；2.推推导导正正交交各各向向异异性性材材料料中中各各个个常常数数的取值范围。的取值范围。第23页，本讲稿共23页