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1、2025八年级上册数数学(RJ)12.2 第4课时 “斜边、直角边”2第4课时 “斜边、直角边”教学目标知识与技能1、已知斜边和直角边会作直角三角形；2、熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等过程与方法经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力情感态度价值观通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进步激发探究的积极性教学重点掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL教学难点熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等教学过程（师生活动）设计理念创设情境，引入新课提问：1.判定两个三角形全等的条件有哪些?结论：SSS、SAS
2、、AAS、ASA设置情景：根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了? 今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件探究新知提问：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答)1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了提问：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗? (学生不能作肯定回答，只能作某种猜测)现在不要求马
3、上给出结论看看，通过动手探究，你是否能得出结论直角三角形我们用Rt表示思考： 任意画出一个RtABC，使C90，再画一个RtABC，使BCBC，ABAB，把画好的RtABC剪下，放到RtABC上，看看它们是否全等(课件出示题目，师生一起看题) (学生独立探究，动手作图)提问： （1）ABC就是所求作的三角形吗？（2）画好后，把RtABC剪下，放到RtABC上，看它们全等吗? （3）发现了什么结论？（全等） 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL”） 注意两点：一是“HL”是仅适用于Rt的特殊方法。二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt
4、的条件 4结合图形，先分析已知条件和求证从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)小组展示自己的成果：ACBC，BDAD，又加上ACBD，我们能找到两个Rt：RtADB，RtBCA又因为ACBD已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了 从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt，看看这些Rt的关系若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件激发学生挑战新问题的积极性 培养学生的分析、作图能力画法直接由教师蛤出，而不安排
5、学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点 让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心 让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦 巩固练习学练优课后练习小结与作业小结提高你有什么收获?你还有什么疑问？布置作业123角的平分线的性质第1课时角平分线的性质1经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理(重点)2能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从
6、P点建两条路，一条到公路，一条到铁路问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法 如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若ACD120，求MAB的度数解析：根据ABCD，ACD120，得出CAB60，再根据AM是CAB的平分线，即可得出MAB的度数解：ABCD，ACDCAB180，又ACD120，CAB60，由作法知，AM是CAB的平分线，MABCAB30.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是B
7、AC的角平分线是解题的关键探究点二：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF.求证：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CDDE.再根据RtCDFRtEDB，得CFEB；(2)利用角平分线的性质证明ADC和ADE全等得到ACAE，然后通过线段之间的相互转化进行证明证明：(1)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DEDC.在RtDCF和RtDEB中，RtCDFRtEDB(HL)CFEB；(2)AD是BAC的平分线，
8、DEAB，DCAC，CDDE.在ADC与ADE中，ADCADE(HL)，ACAE，ABAEBEACEBAFCFEBAF2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，SABC42AC27，解得AC3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法【
9、类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 如图所示，D是ABC外角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.解析：由角平分线的性质可得DEDF，再利用“HL”证明RtCDE和RtCDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件三、板书设计角平分线的性质1角平分线的作法；2角平分线的性质；3角平分线性质的应用本节课由于采用了动手操作以及讨论
10、交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练12.3 角的平分线的性质第1课时 角平分线的性质一、教学目标（一）知识与技能1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.（二）过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在
11、探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及应用；难点：角的平分线的性质的探究.三、教法学法三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.四、教与学互动设计（一）激情导课如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？ （二）民主导学1、探究一：角的平分线的作法、议一议ADBCE问题1请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线.问题2如图是一个平分角的仪器，
12、其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是DAB的平分线. 你能说明它的道理吗?问题3 通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.已知：MAN求作：MAN的角平分线.CADB MN作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D. （2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在MAN的内部交于点C. （3）画射线AC.射线AC即为所求.、练一练平分平角AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD与直线AB是什么关系？思考：你能总结出“
13、过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你的方法。2、探究二：角的平分线的性质、做一做如图，将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.CABOABO（1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（2）角的平分线性质的证明步骤： 明确命题中的已知和求证;已知:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.M根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.BPOACED求证: PD=PE.M
14、经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明： PDOA，PE OB (已知) PDO= PEO=90(垂直的定义)在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） AOC= BOC （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：AOC=BOC, PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.（已知） PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 、练一练BPOACEDPOABCEDPOABCEDPOABCED(1) 下面四个图中,点P都在AOB的平分线上,则图形_ 中PDPE.DACBDCB (2)下图中,PDOA,PEOB，
15、垂足分别为点D、E，则图中PDPE吗? BPOACED (3)在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？S公路铁路P思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?3、角的平分线性质的应用（1）如图,ABC中，C90，BD平分ABC，CD3cm，则点D到AB的距离为 cmCDABEBADCCDBAEF（第1题图） （第2题图） （第2题图） （2）变式训练，深化新知变式，如图,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB，垂足为点E，AC=8cm， 则AD+DE= cm. 变式，如图,ABC中，
16、C90，BD平分ABC，DEAB于E，F在BC上，AD=DF求证：CF=EA （三）检测导结1、目标检测 (本测试题共三道题，相信大家一定会做得非常棒！)(1)如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm. DEPAOBCBAC (第1题图) (第2题图) (第3题图)(2)如图，点C为直线AB上一点，过点C作直线MN，使MNAB.（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）(3)已知:如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F.求证:EB=FC.2、请你谈谈学习这节课的收获.（四）布置作业1
17、.必做题：习题2.思考题 如图，要在区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺1：20000）?（五）结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原则.希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生！五、板书设计 第1课时 角的平分线的性质1. 角的平分线的作法 2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3.应用 已知：MAN 已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，求作：MAN的角平分线 垂足分别为点D、E. 求证: PD=PE.BPOACEDCADNBM NM 射线AC即为所求. 符号语言：AOC=BOC, PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E. PD=PE六、教学反思