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1、七解析几何必记知识1 .直线方程的五种形式(1)点斜式：yyi=Z(xxi)(直线过点Pi(xi，y),且斜率为k,不包括y轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：)，=h+伏。为直线/在y轴上的截距，且斜率为攵，不包括y轴和平行于y 轴的直线).(3)两点式：口工=上红(直线过点PGi，?)，。2(必 ”)，且xiW12，yW”，不包括坐 丫2一丫1 x2-xl标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：二+ 1=l(m 分别为直线的横、纵截距，且W0, b73不包括坐标轴、 a b平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax+3y+C=O(其中A, 8不同时为0).2 .直线的两种位置关
2、系当不重合的两条直线/.和h的斜率存在时：(1)两直线平行ll2=k=kz.(2)两直线垂直I山2=h 22= - 1.3 .三种距离公式&为，y), 5(X2,)两点间的距离H3I = J-2 X1)2 +。2 -y，2.(2)点到直线的距离(其中点P(xo, yo),直线方程为Ax+By+C=o).(3)两平行线间的距离d=黑察(其中两平行线方程分别为/1：Ax+3y+G=0, l2： Ax V A D+ 8y+C2=0 且 GWC2).4 .圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x-a)2-(yb)2=r1.(2)圆的一般方程：f+产+瓜+b=0(。2+524Q0).5 .直线与圆、圆
3、与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.6.椭圆的标准方程及几何性质性质对称性对称轴：X轴，y轴；对称中心：原点隹占 八、/、Fi(-c, 0), F2(c, 0)/1(0, -C), F2(0, c)顶点A(a, 0),42(，0)； Bi(0, b), &(0, b)A(0,)，42(0, a)； B、(一b, 0), B2M 0)轴线段44,分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2，短轴长为2b焦距FiF2=2c离心率焦距与长轴长的比值：e=：=J1)Q , b , C 的关
4、系/=/一从7 .双曲线的标准方程及几何性质标准方程。笛=150, b0)az bz丫2y2b0) az bz图形、7一、 zz以心Bi/6 、B2 x 为、几 何 性 质范围|x|2a, yR对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点隹占八、八、Fi(-c, 0), F2(c, 0)Fi(0, -c), F2(0, c)顶点Ai(一0), A2(，0)A1(O, a),42(。，q)轴线段4A2, 8山2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2， 虚轴长为2b焦距FiF=2c离心率焦距与实轴长的比值：e=|=+8)渐近线产土3a, b, c的关系a1=c2b28搦物线的标准方程及几何性质标准方程y
5、22px(p0)y22px(p0)x2 = 2py(p0)f =-2)。0)图形171卜04 0X几何 性质对称轴X轴y轴顶点0(0, 0)隹占八、八、鸣。)C )F(。， ?)尺0，-)准线方 程X=-2x=- 2产-f范围xeO, yG RxWO,yNO, xRyWO, xR离心率e= 19 ,双曲线的方程与渐近线方程的关系v2,2v2,2u若双曲线的方程为5金=1(。，力0),则渐近线的方程为号卷=0, IP j=-x. adada(2)若渐近线的方程为y=%a0, /70),即=(),则双曲线的方程可设为一冬= aa da d犯W0).2222(3)若所求双曲线与双曲线京-标=130,
6、力0)有公共渐近线，其方程可设为京-标=蛇0,焦点在x轴上；z0)的焦点歹的弦，若&即，yi), 3(X2,竺)，1为直线A3的 倾斜角，则p2)(l)xiX2=丁，yyi=p. 4(2)弦长 |A5|=xi+x2+p=.(3) + =-I 4fa| |FB| p-(4)以弦AB为直径的圆与准线相切.【易错剖析】易错点1遗漏方程表示圆的充要条件【突破点】 二元二次方程f+y2 +瓜+或+尸=。表示圆的充要条件是O2 + E2 4Q0, 在此条件下，再根据其他条件求解.易错点2解决截距问题忽略“(F的情形【突破点】 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意 两点：(1)截
7、距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线.因此解题时应该从 截距是否为0进行分类讨论.易错点3忽视斜率不存在的情况【臾破点】(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用/20由=攵2求解，忽略处， 心不存在的情况，就会导致漏解.(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用俗k2= - l求解，要注意其前提 条件是k与攵2必须同时存在.易错点4忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式【突破点】 凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论.易错点5忽视双曲线定义中的条件【突破点】 双曲线的定义中，有两点是缺一
8、不可的：其一，绝对值；其二，2a0,干0,加),将点A(0, -2),泥，一1)的坐标代入，得4n = 1,9解得-m + n = 1,141 m =-31 n =-422所以椭圆E的方程为十+ 一=1. 34(2)证明：方法一 设 M(xi, yi), Ng 2).由题意，知直线MN与y轴不垂直，设其方程为x1=，+2).联立得方程组X- 1 = t(y + 2),- + = 1.34消去 x 并整理，得(4-+32+(16尸+8。y+ 16尸+1618 = 0,所以yi+2=嘿器，16t2 + 16t-84 t2+ 3设T(x(), yi).由A, B, 丁三点共线，得Yi+2 y1+l3
9、， X设成匕v).由而=宿，得(|yi+3即，0) = 3一|yi 3,y-y)，3y+6-为，y=y.所以直线HV的斜率k=Y2-y Y2-Y1Y2-Y1X2-Xr x2+x1-(3y1+6)t(y1+y2)-3y1+4t-4,所以直线HN的方程为yy2=Y2-Y1t(yi+y2)-3%+4t4X-X2).令 x=0,得)，=Y2-Y1_ (yi-y2)(ty2+2t+i)t(yi+y2)-3yi+4t-4(X2)+)，2t(yi+y2)-3yi+4t-4一 (2t-3)yiy2+(2t - 5)仇+丫2)+6丫1t(yi+Y2)-3yi+4t-416t2 + 16t-816t2+8t4t2
10、 + 34t2+3*-3%+41=-2.所以直线NH过定点(0, -2).方法二 由A(0, -2),呢，一1)可得直线A5的方程为y=|x2.AtfkJa.若过点P(l, -2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x=1.22将直线方程X=1代入宁+ 5=1,可得Ml，o *将y=一当代入y=x2,可得T(3V6, oo2V6.八，/12 限).M(l， oo_2瓜3人由而=宿，得H(5 2粕,3此时直线HN的方程为y=(2+乎)&-1)+平，则直线N过定点(0, -2).b.若过点尸(1, 一2)的直线的斜率存在,设此直线方程为kx-y-(k+2)=09 Mg, y),Ng yi).(kx
11、y (k + 2) = 0,联立得方程组 X2 y2- + = 1.v 34消去 y 并整理，得(3F+4)x26M2+Z)x+34Z+4) = 0.6k(2 + k)(8(2+k)所以j+X2=WE 冏1%+丫2=三不，_ 3k(4+k)人)_ 4(4+4k-2k2)X1X2 =可不 lyiy2 =3k2+4且为+12=就联立得方程组,匚?： 2,可得T(争+3, yi).由而=用，得”(3+ 6羽，).则直线N的方程为yy2=-下(x-%2)./ /3y1+6-x1-x2将点(0, 2)的坐标代入并整亚 得2。1+工2)6()+2)+为丁2+工2丁1 3yly212=0, 将代入，得24%+12斤+96+48%24攵4848左+24左236合-48 = 0,显然成立.综上可得，直线HN过定点(0, -2).典例2解析：设圆。的半径为广，依据题意可知，PC = PA-r9即|PC| |%| =6且 r|AC|,故所求点尸的轨迹为以A, C为焦点的双曲线靠近A点的一支，故选C.答案:C