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1、二次根式的双重非负性运用教学目标一、知识与技能目标：1、理解二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为二次根式;2、会运用二次根式的非负性，解决实际问题；3、会运用二次根式的非负性，结合已经学过的相关知识求值。二、过程与方法目标1、熟练掌握二次根式的非负性（双重）2、学会对比应用，掌握实际能力三、情感目标让学生学会自主激发学习兴趣，获取学习能力提升，激发学习主动性教学重点重点：理解二次根式的非负性；难点：二次根式的非负性的灵活运用。式子&表示非负数的算术平方根，它是一个非负数，而是被开方数，它也是一个 非负数，这就是二次根式的双重非负性.这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所 以在
2、解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参 考.一、确定自变量的取值范围例1若下列式子有意义，试确定元的取值范围.Jx - 3x-4(3)飞2 x Hx-4(4) (J2x 55)解（1）依题意，得不等式组工一4x 3 2 0解这个不等式组，得xN3且xw4, 所以，x的取值范围为xN3且x。4；x + 3 0依题意，得不等式组1x-20解这个不等式组得x2 2.所以工的取值范围为：x2；2-xQ依题意，得不等式组1x 4w0解这个不等式组，得XV2；2x-50(4)依题意，得不等式组0, al-6Z0, :.a,乂 Qa。0,a的取值范围为:al且 wO;(
3、2) Q J %2- 2x +1 + V x 8x + 16 J (尤- I)。+ J (x- 4) x 1 + x4 当X1时，原式1 x+4x 5 2x ；当14x44时，原式=x1 + 4x = 3;当x4时，原式=x1 + x4 2x5 ； /.X的取值范围为1 =,工一2(2)已知x, y为实数，且满足JTXl (y 1)斤不=0,那么一。“一2。”=解(1)依题意，得不等式组X- 0,2-x012解这个不等式组，得工=,，.y = 3, 21 2.= ()-3 = 8.2原方程可以变形为J1 + x + J (1 -= 0,fl + x = 0评注 解决此类题用到了 “几个非负数的
4、和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果 被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为 零”.三、化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形：1 .默认条件例 4 Jl 8a%2c - 3ab-fac.这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.2 .给定条件例 5 若x2,化简:Jd -8x+16-Jx? 一4%+4分析：开方性质推导解 原式=J(x-4) J(x-2) = %4 %2 .Q x2,则x 40, x-20,工原式=4x+x2 = 2.3 .题目隐含条件例6化简:J；.V a分析：运用二次根式的定义，及基本性质
5、(被开放数非负性)解(1) Q-/ 0, /. j30, 原式二J/(-y) = y yj-y = -yj-y -(2) Q 20, a 原工、-.V ci a a评注 由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于 被开方数是-这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验. 解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难 为易.四、分类讨论例 7 化简：|2x 4| J/?6x + 9.分析：运用非负性，以及二次根式的开方运算规律解决。解 原式二|2工_4|_,_3|,当x42时，原式= 4-2% (3 x) = 4-2x-3 + x = l-x;当20, 时，原式= bj-ab .评注分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准 的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.