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1、基于分布函数的数学期望与方差的简洁求法 摘 要:在仅已知随机变量的分布函数求解数学期望与方差时,通常利用分布函数求出分布列或概率密度,再依据定义求出数学期望与方差,过程较为困难。为了简化计算,本文针对非负整值离散型随机变量与连续型随机变量,从理论上推导出了基于分布函数干脆求解数学期望与二阶原点矩的计算公式,并可间接用于方差的求解。进一步通过实例验证了此方法在肯定场合下的有效性与简洁性。 关键词:数学期望 方差 二阶原点矩 分布函数 中图分类号:O211文献标识码:A文章编号:1674-0101X(2022)04(c)-0146-02 数学期望与方差是随机变量的两个重要数字特征,用定义求解数学期
2、望与方差是最常用、最基本的方法,但定义中仅给出了用分布列与概率密度的求解方法12。有时在实际中往往已知随机变量的分布函数,虽然可以将分布函数转化为分布列或概率密度,但过程稍显困难3。下面主要探讨不怜悯况下,如何利用分布函数干脆求解数学期望与二阶原点矩的方法,同时可间接用于方差的求解。 1 非负整值随机变量的情形 非负整值随机变量是指只取非负整数值的离散型随机变量。利用分布函数求非负整值随机变量的期望与二阶原点矩,有如下结论。 定理1:设是非负整值离散型随机变量的分布函数,若与的数学期望均存在,则 (1) (2) 证明:设,为的分布列,由于与均存在,则级数与均肯定收敛,故 (Xi). + (Xk
3、) 依据方差的求解公式,很简单得到如下结论: 推论:设是非负整值离散型随机变量的分布函数,若的方差存在,则 (3) 例1:设离散型随机变量的分布函数如下,求的数学期望与方差。 解:由定理1,可得: =1+0.8+0.5=2.3 =1+30.8+50.5=5.9 从而=0.61 或者依据推论,=0.61. 例2:设,求的数学期望与方差。 解:由于听从参数为的几何分布,故的分布列为: 其中表示在伯努利试验中事务首次出现时的试验次数,表示每次试验中事务发生的概率。对于几何分布的数学期望和方差的求解,利用分布律求解级数的和较为困难1。而事务表示前次事务均没有发生,故,利用定理1,有, 故 则= 2 连
4、续型随机变量的情形 对于连续型随机变量,若其分布函数已知,可依据如下定理干脆求解期望与二阶原点矩。 定理2:设是连续型随机变量的分布函数,若与的数学期望均存在,则: (4) (5) 证明:设为的概率密度,由于与均存在,则广义积分与均肯定收敛,故 而 故 同理 即 类似地,依据公式即可求解方差。 例3:设连续型随机变量的分布函数如下,求的数学期望与方差。 解:由定理2,可得: =2 从而 对于形如例3形式的分布函数,利用定理2求解数学期望与方差的过程简洁,计算便利。 3 结语 本文从理论上推导出了基于分布函数干脆求解非负整值随机变量与连续型随机变量的数学期望与二阶原点矩的公式,同时可间接用于方差
5、的求解。并通过实例验证了此公式在肯定场合下的有效性与简洁性。 参考文献 1 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京:高等教化出版社,2004. 2 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第4版)M.北京:高等教化出版社,2022. 3 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程习题与解答M.北京:高等教化出版,2022. “本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读” 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页