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1、初三数学复习统计初步的有关知识一.本周教学内容：复习统计初步的有关知识知识要点平均数、众数、中位数、方差、标准差等都是统计学中的基本统计量。其中平均数、众数及中位数是 从不同角度描述一组数据的集中趋势的特征数；方差和标准差都是用来衡量一组数据相对它们的平均数的 离散程度的大小。(一)平均数、众数与中位数1 .总体、个体、样本和样本容量。总体是考察对象的全体，总体中的每一个考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的 一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。2 .平均数。设样本数据为修，X2,X，那么样本平均数为：X = -(X1+X2+-+Xjn加权平均数，.=+*2力+七力(其中，(
2、+力=/ n3 .中位数、众数。中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间位置的一个数据，(或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数。众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。4 .众数、中位数、平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。(二)方差与标准差1 .方差：(1)定义：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做该样本的方差。(2)方差的计算公式：1 _S2= (X -X)2+(%2 - X)2 + +(% -X)2n(3)方差的简化计算公式：S2=(x/ +X22+ n(4)数据的规律变化对平均数、方差的影响。X,工2，Xs2
3、X + Q, x2 + Q,x + ax + cts2kx、, kx2kx”kxk2 s23+。，kx2 + a,丘kx + ak2 s2数据平均数方差2 .标准差：样本方差的算术平方根叫做样本标准差s = *1(& -X)2+(/ x)2 + +(x -X)2V n3 .样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的特征数，样本方差、标准方差越大，表明样本数 据的波动就越大，也就是说稳定性越差。(三)频率分布：1 .频率分布：频率分布反映的是样本数据在各个小范围内所占比例的大小，从而估计总体的分布规律。2 .获得一组数据频率分布的一般步骤：(1)计算最大值与最小值的差。(2)决定组距和组数。
4、(3)决定分点。(4)列频率分布表。(5)画频率分布直方图。3 .有关的名词：在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一 小组的频率。即：频率=频数二频数数据总数一样本容量在频率分布直方图里:小长方形的面积=组距X熏=频率 组距小长方形的高二频率1组距X数据总数X频数例1.为了考察北京市初中毕业升学数学考试的情况,从十二万五千考生中抽取了 1200名考生的成绩, 在下列说法中正确的是()A.十二万五千名考生数学考试成绩的总和是总体B.每个考生考试成绩是个体C. 1200名考生是样本D. 1200名考生的成绩是样本容量分析：本题主要考查对四个基本概念
5、的理解，这里的考察对象是考生的“数学成绩”，而不是“学生”。 因此，十二万五千名考生的数学考试成绩是总体，每个考生的数学考试成绩是个体。1200名考生的数学考 试成绩是总体的一个样本，1200是样本容量，故选B。例2.为制定本市初中一、二、三年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高 作调查，现有三种调查方案：A.测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高B.查阅有关外地180名男生身高的统计资料C.在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这几所学校有关年级的(1)班中， 用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高为了达到估计本市初中这三个年级男生身
6、高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理， 为什么？分析：本题要求从所给的三种调查方案中选出合理的方案并阐释理由，这需要领悟统计的基本思想， 才能做出正确选择及合理说明。解：方案C比较合理，因为方案C采用了随机抽样的方法，随机抽样比较具有代表性，符合用样本估 计总体的统计思想。例3.求下列各组数据的平均数。(1)一，(2) 39, 29, 31, 36, 38, 37(3),分析：(1)中有五个数据，大小比较分散，宜用定义法。(2)中的六个数据，都比较接近35,可用新数据法。(3)中一些数据重复出现多次，可选择加权平均数公式来求。-1解：(l)x = (M + 0.3 + 0.6 +
7、 0.2 04)= 1x0.6 = 0.125(2)取0二35,用原数据分别减去35,得到新数据是：4, 6, 4, 1, 3, 2-1Ay = -(4-6-4 +1 + 3 +2) = 0原数据的平均数是7 =卞+。= 0 + 35 = 35(3)数据中出现3次，出现3次，出现1次一 1则 x =亍(3.7 X 3 + 35 X 3 + 3.6)=X 25.2 = 3.6 7例4.某公司欲聘请一位员工，三位应聘者A、B、C的原始评分如下表7分项目 原始评应聘仪表工作经验电脑操作社交能力工作效率A45533B43344C33445如果按五项原始评分的平均数评分，谁将被聘用？如果按仪表、工作经验
8、、电脑操作、社交能力、 工作效率的原始评分分别占10%、15%、20%、25%、30%综合评分，谁将被聘用？解：计算可得：xa=4, xb= 3.6, xc=3.8按原始评分的平均分，应聘人A最身，将被录用。（2）按第二种方法综合评分，得XA, XB, XC,故应聘人C得分最高，将被录用。注：按原始评分的平均数评分，突出了 “工作经验”和“电脑操作”，按后一项方法综合评分突出“社 交能力”和“工作效率”，各有所长。例5. 一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示:鞋的尺码（cm）3()2820232125销售量（双）512354指出这组数据的众数、中位数。分析
9、：数据频数最高的数就是众数，由于20是偶数，所以排在最中间的两个数据的平均数是中位数。 解：这组数据中，30、21出现的频数都是5,最多，因此众数是30cm, 21cm,将23 + 25这20个数据进行排列，最中间的两个数为23, 25,故中位数为且2 = 24cm。2注：1. 一组数据中的众数可能不止一个。2.本题求中位数，在排列数据时，易犯如下错误：排列数据 20, 21, 23, 25, 28, 30 中位数为圣纪=24cm。2例6.有14个数据，由小到大排列，其平均数为34,现在有一位同学求得这组数据前8个数的平均数 为32,后8个数的平均数为36,求这组数据的中位数。分析：这一组数据
10、共有14个数，且排列顺序是由小到大排列的，那么中位数应该是最中间两个数据的 平均数，只需求出最中间两个数据或它们的和即可。解：设这组数据前6个数据的和为x,中间两数据的和为y,后6个数据的和为z,由题意，得：x + y + z = 34X14 x + y = 32X8 y + z = 36X8+一，得y=68最中间两个数据的平均数为34,故这14个数的中位数是34O例7.如图所示，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个 矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设该矩形的长QM二y毫米，宽MN=x毫 米。B(1)求y与x之间的函
11、数关系式。(2)当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积为多少？(3)当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程产100+ 2004 = 0的两个根,而p、q的值又恰好分别是a, 10, 12, 13, b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值。分析：本题综合性强，内容涉及几何、函数、方程、统计知识。解：(1)由题意知，APNs/ABC.PN AE日n y 80.3 =,即= .y = 120 x, (0 x 80)BC AD120802(2)设矩形PQMN的面积为S333则S =孙二 x(120心 x) = 2/+120% = 40旅 +2400, (0
12、80)2400二当x = 40时，S有最大值2400,止匕时y = =6040最大面积为2400平方毫米。P=l。q = 12故当x=40毫米，y=60毫米时，矩形PQMN面积最大,(3)由根与系数的关系，得40 + 6。= 10p40X60 = 200qVa, 10, 12, 13, b 众数为 10a=10 或 b=10当 =10时，有)+)+12 + 1( + ” = 12, ：.b = 155当b=10时，同理可得a=15。例8.从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗，分别测得它们的苗高如下(单位：cm)： 甲：9, 10, 11, 12, 7, 13, 10, 8, 12, 8；乙：8,
13、 13, 12, 11, 10, 12, 7, 7, 9, 11。问：(1)哪种农作物的苗长得比较高？(2)哪种农作物的苗长得比较整齐？分析：比较两种农作物苗高的平均数可得出哪种农作物长得高，计算出两种农作物苗高的方差，通过 比较可得出哪种农作物长得比较整齐。- 1解：:元甲=m(9 + 10+11+8) = 10_ 1x 乙=(8 + 13 + 12+ + 11) = 10两种农作物的苗平均高度相同。(2) S。$(9 10)2 + (10- io)2 + . +(8 - io)21= 3.6 =(8 10)2 +(13 10)2 + +(11 10)2 = 4.2 段乙甲种农作物的苗长得比
14、较整齐。答：甲、乙两种农作物的苗长得一般高，甲种农作物的苗长得比较整齐。例9. 一组数据1, 2, 3, x, -1, -2, -3,其中x是小于10的正整数，且数据的方差是整数，求 该数据的方差。分析：本组数据中有未知数据，要求方差，必须先求出未知数据，而建立方差与未知数据之间的关系 是解决本题的关键。 1X解：.x = (1 + 2 + 3 + x 1 2 3) = 77A52 =112 +22 +32+x2+(-1)2 +(-2)2 +(-3)2-?二处+号一审+又x是小于10的正整数，S2是整数 x=7当x = 7时，该数据的方差S2= 4 +竺乙= 10。49例10.在对某班的一次数
15、学测验成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示(分数取正整数，满 分为100分)，请观察图形，并回答下列问题：人数(1)该班有 名学生；(2)这一组的频数是,频率是;(3)请估算该班这次测验的平均成绩。分析：图表反映了每一分数段所对应的人数，这是理解图表语言的关键。解：(1)该班人数为：6+8+10+18+16+2=60 (人)1 Q 分数为69.5795这一组的有18人，故频率为一=0.360-1(3)x = (45X6 + 55X8 +65X10 + 75X18 +85X16 + 95X2) = 71(分)该班这次测验的平均成绩约为71分。1 . 一组数据2, 4, 6, a, b的平均
16、数为10,(1)求a, b的平均数。(2)求4a+7, 4b+10的平均数。2 .有10个样本数据，2出现过4次，出现过4次，3出现过2次，求样本平均数和方差。3 .已知数据a, a, b, c, d, b, c, c,且满足abcd,求这组数据的众数、中位数、平均数。4 .已知一组数据的方差为S2,将这组数据中的每个数都乘以R,证明所得的一组新数的方差是R2s2。5 .已知一组数据4, 8, x, 5, 9的平均数为y,且x、y是方程Z?10Z+24 = 0的两根，求这组数据的 众数、中位数及平均数。6 .某班有48名学生，在一次数学测验中，此班学生中最高得分100分，最低得分51分，分数只
17、取整数, 统计其成绩，绘制出频率分布直方图如图，图中从左到右的小长方形的高度比是1： 3： 6： 4： 2,求分数 在到之间的人数。,频率55 6餐让5血5分数7. 一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下表:分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成 绩谁优谁劣，并说明理由。参考答案1 . (1) 19(2)2 . x= 2.4, S2= 0.14、/小心 皿、皿b + c十一业乙2a + 2Z7 +3c + d3 .众数c；中位数；平均数o285 .解：x、y是方程Z
18、? 10Z + 24 = 0的两根。x= 4_ x = 6y = 6 或 1y = 4又当x=6时，数据4, 8,X,5, 9的平均数不可能为4,故x = 6舍去。 y = 4% = 4原数据为4, 8, 4, 5, 9y = 6众数为4,中位数为5,平均数为6。6.7.人,18人解：(1)从众数看，甲为90分，乙为70分，甲组成绩较好。(2)从中位数看，两组中位数均为80分，但在80分以上(包括80分)，甲组有33人，乙组有26 甲组人数多于乙组人数，甲组成绩较好。(3)从方差看，S* =172, Si=256从成绩的稳定情况比较，甲组成绩优于乙组。(4)甲组成绩高于90分的人数有20人，乙组成绩高于90分(包括90分)的人数24人，这说明， 乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从“优生层”看, 乙组的成绩较好。