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1、1第1页2第二章 分离变量法2.1 有界弦自由振动第2页3在高等数学中我们知道一个普通函数f(x)经常能够展开成级数.比如,幂级数形式就是:f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+其中无穷多个函数v0(x)=1,v1(x)=x,v2(x)=x2,等等,组成了级数展开一个函数系.而三角级数形式就是f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x+b2cos2x+其中无穷多个函数1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,也组成了级数展开一个函数系.第3页4所以,普通而言,一个函数f(x)能够在一个函数系v0(x),v1(x),v2(x),下展开成级数形式为f(x)=a0v0(x
2、)+a1v1(x)+a2v2(x)+那么,一个二元函数u(x,t),将t固定住视为常数,看作x函数,则也能够在函数系v0,v1,v2,下展开成级数形式 u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+其中每一项都是两个一元函数乘积ai(t)vi(x),这么组成二元函数我们称之为可分离变量.而假如级数中每一项都是线性偏微分方程解,则此级数也就是线性偏微分方程解.第4页5讨论两端固定弦自由振动定解问题:设u(x,t)=X(x)T(t)则第5页6代入方程(2.1)得X(x)T(t)=a2X(x)T(t)或此式左端仅是x函数,右端仅是t函数,普通情况不可能相等,除非它们
3、均为常数,令此常数为-l,则有这么能够得到两个常微分方程:第6页7再利用边界条件(2.2),因为u(x,t)=X(x)T(t),X(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0.但T(t)0,假如T(t)=0,这种解称为平凡解,所以X(0)=X(l)=0(2.6)所以,要求方程(2.1)满足条件(2.2)变量分离形式解,就先要求解以下常微分方程边值问题第7页8要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)非零解,又要求出这个非零解X(x).这么问题称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下特征值问题,使问题(2.5),(2.6)有非零解l称为该问题特征值,对应非零解X(x)称为它特征函数.下面分l
4、0三种情况来讨论,将得出结论l0和l=0不能成立.第8页9第9页10而方程X(x)+lX(x)=0特征方程为r2+l=0当l0时,特征根为方程通解为第10页111 设l0,并令l=b2,b为非零常数.此时方程(2.5)通解为 X(x)=A cos bx+B sin bx,由条件(2.6)得A=0B sin bl=0因为B不能为零,所以sin bl=0,即从而第13页14(2.5),(2.6)一系列特征值及对应特征函数为:将上式中特征值代入到(2.4)得第14页15其通解为:所以可分离变量方程特解为其中 是任意常数.第15页16为满足初始条件(2.3),求出原问题解,将(2.10)中全部函数un
5、(x,t)叠加起来:第16页17将初始条件(2.3)代入上式得:第17页18复习高等数学中周期为2l傅立叶级数:假如周期为2l周期函数f(x)为奇函数,则有其中系数bn为:第18页19第19页20第20页21 解：令u(x,t)=X(x)T(t)是齐次方程和齐次边界条件非零解,则有第21页22方程特解为第22页23这时l=10,并给定a2=10000.这个问题傅里叶级数形式解可由(2.11)给出.其系数按(2.12)式为Dn=0,第23页24所以,所求解为第24页25解题中惯用到积分表内容:第25页26分析一下级数形式解(2.11)物理意义.先固定t,看看任意指定时刻波是什么形状;再固定x,看
6、该点振动规律.(2.11)中一项:其中第26页27第27页28第28页29第29页30某一时刻n=1,2,3驻波形状xOulxOulxOuln=1n=2n=3第30页31综合上述,可知u1(x,t),u2(x,t),un(x,t),是一系列驻波,它们频率,位相与振幅都随n不一样而不一样.所以一维波动方程用分离变量法解出结果u(x,t)是由一系列驻波叠加而成,而每一个驻波波形由特征函数确定,它频率由特征值确定.这完全符合实际情况.因为人们在考查弦振动时,就发觉许多驻波,它们叠加又能够组成各种各样波形,所以很自然地会想到用驻波叠加表示弦振动方程解.这就是分离变量法物理背景,所以分离变量法也称为驻驻
7、波法波法.第31页322.2 有限长杆上热传导第32页33设有一均匀细杆,长为l,两端点坐标为x=0与x=l,杆侧面是绝热,且在端点x=0处温度是零摄氏度,而在另一端x=l处杆热量自由发散到周围温度地零度介质中去,已知初始温度分布为j(x).求杆上温度改变规律,也就是要考虑以下定解问题:第33页34用分离变量法来解此问题,设u(x,t)=X(x)T(t),代入方程(2.13)得上式左端不含有x,右端不含有t,只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为-b2,则有第34页35从而得到两个线性常微分方程解方程(2.16)得X(x)=A cos bx+B sin bx,由边界条件(2.14)可知X(
8、0)=0,X(l)+hX(l)=0.(2.17)从X(0)=0得A=0,从X(l)+hX(l)=0得b cos bl+h sin bl=0(2.17)a第35页36第36页37ygy=agy=tan gg1g2g3-g1-g2第37页38于是得到无穷多个特征值及对应特征函数再由(2.16)解得得到一组满足边界条件特解为其中Cn=AnBn第38页39因为方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次,所以仍满足方程与边界条件.最终考虑u(x,t)能否满足初始条件(2.15),从(2.22)式得现在希望它等于已知函数j(x),首先要问在0,l上定义函数j(x)能否展开成上式形式,其次要问系数Cn怎
9、样确定.前者答案是必定(不证).主要讨论后者.第39页40不难证实令于是在两端乘上sin bkx,然后在0,l上积分得即将(2.24)代入(2.32)式即得原定解问题解.第40页41分离变量法主要步骤为:一一,首先将偏微分方程定解问题经过分离变量转化为常微分方程定解问题,这对线性齐次偏微分方程是能够做到.二二,求特征值问题，即确定特征值与特征函数。当边界条件是齐次时,求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件非零解.第41页42三三,定出特征值、特征函数后,再解其它常微分方程,把得到解与特征函数乘起来成为un(x,t),这时un(x,t)中还包含着任意常数.四四,最终为了使解满足其余定解条件
10、,需要把全部un(x,t)叠加起来成为级数形式,这时级数中一系列任意常数就由其余定解条件确定.在这最终一步工作中,需要把已知函数展开为特征函数项级数,这种展开合理性将在2.6中叙述.第42页432.3 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题第43页44 一个半径为r0薄圆盘,上下两面绝热,圆周围缘温度分布为已知,求到达稳恒状态时圆盘内温度分布.这时温度分布应满足拉普拉斯方程 2u=0因为边界形状是个圆周,它在极坐标下方程为r=r0,所以在极坐标系下边界条件可表为既然边界条件用极坐标形式表示出来很简单,所以就在极坐标系下求解这个定解问题.第44页45因r,q取值范围分别是0,r0与0,2p,而圆内包含中
11、心温度有限,且(r,q)与(r,q+2p)实际上表示同一点,温度应该相同,即应该有|u(0,q)|+(2.27)u(r,q)=u(r,q+2p)(2.28)现在来求满足方程(2.25)及条件(2.26),(2.27),(2.28)解.先令 u(r,q)=R(r)F(q),第45页46代入方程(2.25)得即令比值为常数l即得两个常微分方程F+lF=0,r2R+rR-lR=0.再由条件(2.27)及(2.28)可得|R(0)|+,F(q+2p)=F(q).(2.29)第46页47所以得到两个常微分方程定解问题先解哪一个要看哪一个能够定出特征值.因为条件(2.29)满足可加性(即全部满足(2.29
12、)函数加起来依旧满足(2.29),所以只能先解问题(2.30).第47页48采取与2.1中一样方法能够得到当l0时,取l=b 2,这时(2.30)解为Fb(q)=abcosbq+bbsin bq,且为使F(q)以2p为周期,b必须是整数n,n=1,2,3,则可将上面得到解表示成Fn(q)=ancos nq+bnsin nq.第48页49高等数学复习:求解欧拉方程x2y+xy-n2y=0(a)作变换x=et或t=ln x,则有代入(a)得通解为y=Cent+De-nt=Cxn+Dx-n(n0)和y=Ct+B=Cln x+D(n=0)第49页50对于非齐次欧拉方程x2y+xy-n2y=axm特解形
13、式应该是y*=Cxm,将之代入上式可确定常数C.第50页51至此,已经定出了特征值问题(2.30)特征值b2n=n2,特征函数Fn(q).接下去是解(2.31).其中方程是欧拉(Enler)方程,它通解为R0=c0+d0lnr,当l=0;Rn=cnrn+dnr-n,当l=n2(n=1,2,3,)为了确保|R(0)|+,只有dn=0(n=0,1,2,),即Rn=cnrn(n=0,1,2,).所以利用叠加原理,方程(2.25)满足条件(2.27),(2.28)解能够表示为级数第51页52第52页53将这些系数代入(2.32)式即得所求解.为了以后应用起来方便,还能够将解(2.32)写成另一个形式.
14、为此,将(2.34)式系数代入(2.32)式经过简化后可得第53页54利用下面已知恒等式第54页55可将(2.35)中解u(r,q)表示为公式(2.36)称为圆域内泊松公式圆域内泊松公式.它作用在于把解写成了积分形式,这么便于作理论上研究.第55页56例例 解以下定解问题A为常数.解解 利用公式(2.34)并注意三角函数正交性代入(2.32)即得所求解为第56页572.4 非齐次方程解法第57页58研究一根弦在两端固定情况下,受强迫力作用所产生振动现象.即要考虑以下定解问题:因为非齐次方程解经叠加后普通不再是原方程解，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程定解问题。不过依据齐次方程(2.11)
15、解，且它边值条件和方程(2.37)一样，故先假设定解问题(2.37)(2.39)解u(x,t)能够展开成以下傅立叶级数形式第58页59而且把定解数据f(x,t)，和 都按固有函数系 展开第59页60其中显然，u(x,t)满足边界条件(2.38)，所以只需u(x,t)再满足方程(2.37)和初值条件(2.39)就得到原问题解，把上面展开式分别代入方程(2.37)和初始条件(2.39)，可得第60页61比较上面三个展开式系数可得因为(2.41)对应齐次方程解为第61页62由高等数学可知：假如Cy1(x)是齐次线性方程解，那么能够利用变换y=uy1(x)(这变换是把齐次方程解中任意常数C换成未知函数
16、u(x)而得到)去解非齐次线性方程。这一方法也适合用于高阶线性方程。下面就二阶情形来做讨论。假如已知齐次方程那么，我们能够用以下常数变易法去求非齐次方程通解为第62页63令要确定未知函数v1(x)及v2(x)使(3)式所表示函数y满足非齐次方程(2)。为此，对(3)式求导，得因为两个未知函数v1、v2只需满足一个关系式，所以可要求它们再满足一个关系式。从 上述表示式可看出，为了使 表示式中不含 和 ，可设第63页64从而再求导，得把 、代入方程(2)，得整理得注意到y1及y2是齐次方程(1)解，故上式即为第64页65联立方程(4)和(5)，在系数行列式时，可解得对上两式积分(假定f(x)连续)
17、，得于是得非齐次方程(2)通解为第65页66则利用常微分方程中参数变易法，即设为方程(2.41)解，则待定函数an(t),bn(t)由下面方程组确定求得第66页67把它们代入(2.43)，就得到方程(2.37)通解再由初始条件(2.39)，可确定故问题(2.41)，(2.42)解为(2.44)把(2.44)代入(2.40)，可知(2.40)是非齐次问题(2.37)(2.39)解，完整形式为第67页68(2.45)从解形式上看，可分为两部分：等号右端第一个级数项表示初始位移和初始速度对弦振动影响；第二个级数项表示外力f(x,t)对弦振动影响。若弦所受外力为零，则(2.45)式就是齐次问题(2.1
18、)(2.3)解(2.11)。第68页69上述这种解法是把方程非齐次项以及解按对应齐次方程一族固有函数展开，伴随方程与边界条件不一样，固有函数族也就不一样，但总是把非齐次方程解按对应固有函数展开，这种方法又称固有函数法。此方法对其它类型方程也是适用。第69页702.5 非齐次边界条件处理第70页71 前面所讨论定解问题解法,不论方程是齐次还是非齐次,边界条件都是齐次.假如碰到非齐次边界条件情况,应该怎样处理?总标准是设法将边界边界条件化成齐次条件化成齐次.现在以以下定解问题为例,说明选取代换方法.以弦振动为例，设含有非齐次边界条件弦振动定解问题为令第71页72其中v(x,t)满足和u(x,t)相
19、同边界条件(2.47)则当x=0或x=l时这么关于V(x,t)定解问题边值条件就是齐次，对应辅助函数v(x,t)也轻易找到，对于第一边值问题，普通可设v(x,t)=a(t)x+b(t)，代入(2.47)可得第72页73即把v(x,t)代入(2.49)，可得再把上式代入(2.46)(2.48)，则定解问题转化为第73页74重复2.4节做法，就可得到V(x,t)，进而求出u(x,t).对方程和边界条件都是非齐次，且f,u1,u2都与t无关,则可取适当v(x)(也与t无关),使V(x,t)方程与边界条件同时都化为齐次,这么做就能够省掉下面对V(x,t)要进行解非齐次方程繁重工作.这种v(x)终究怎么
20、找,将在下面例题中说明.第74页75例例1 求以下定解问题:形式解,其中A,B均为常数.第75页76解解 这个定解问题特点是:方程及边界条件都是非齐次.依据上述标准,首先应将边界条件化成齐次,因为方程(2.63)自由项及边界条件都与t无关,所以我们有可能经过一次代换将方程与边界条件都变成齐次,详细做法以下:令 V(x,t)=u(x,t)-W(x),代入方程(2.63)得第76页77为了使这个方程及边界条件同时化成齐次,选W(x)满足(2.66)是一个二阶常系数线性非齐次方程边值问题,它解能够经过两次积分得第77页78再由(2.65)可知函数V(x,t)为以下定解问题:解.采取分离变量法,可得(
21、2.67)满足齐次边界条件(2.68)解为第78页79利用(2.69)中第二个条件可得Dn=0.于是定解问题(2.67),(2.68),(2.69)解表示为代入(2.69)中第一个条件得即第79页80由傅里叶级数系数公式得第80页81所以,原定解问题解为其中Cn由(2.71)确定.第81页82对边界条件不全是第一类,本节方法依然适用,不一样只是辅助函数v(x,t)形式。第82页831v(x,t)=u2(t)x+u1(t)2v(x,t)=u1(t)(x-l)+u2(t)3v(x,t)=(1/2l)(u2(t)-u1(t)x2+u1(t)x注意以上v(x,t)选取不是唯一。第83页84以上各节说明
22、了怎样用分离变量法来解定解问题,其主要步骤小结以下:一,依据边界形状选取适当坐标系,选取标准是使在此坐标系中边界条件表示式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便.二,若边界条件是非齐次,则不论方程是否为齐次,必须先作函数代换使其化为含有齐次边界条件问题,然后再求解.三,非齐次方程,齐次边界条件定解问题(不论初始条件怎样)能够用特征函数法求解.第84页852.6 积分变换法第85页86积分变换经过特定积分运算，把一个函数变成另一个函数变换。积分变换法是经过积分变换，将数学模型转化，从而简化定解问题一个求解方法。如经过积分变换将偏微分方程化为常微分方程，于是求解问题得以简化。尤其对于无限或半
23、无限区域上定解问题，采取积分变换有固定程序求解，更为方便。第86页87这里函数f(x)经过上述积分运算变成另一函数F(s)就称为一个积分变换，其中k(x,s)称为积分变换核，当选取不一样积分变换核和积分域时，就得到不一样积分变换。下面介绍积分变换(傅里叶变换和拉普拉斯变换)在求解偏微分方程定解问题中应用。普通，含参变量s积分第87页88一、傅里叶变换(Fourier)1.傅里叶变换定义若函数f(x)在 上满足：逐段光滑；绝对可积，即 收敛则称 为函数f(x)傅里叶变换，简称傅氏变换，记为 能够推出 称为傅氏逆变换，记为第88页892.傅里叶变换性质 线性性质 设 ，a,b为任意常数，则 一样逆
24、变换也成立，即微分性质 类似地，逆变换有第89页90积分性质卷积定理 卷积定义：若已知函数f1(x),f2(x)，则积分称为函数f1(x)与f2(x)卷积,记为f1(x)*f2(x),即第90页91显然卷积定理：假定则或第91页92二、拉普拉斯变换 傅氏变换要求进行变换函数一定要满足绝对可积，这么条件是比较强，许多简单函数如1，xn,ex和sinx等都不满足在内绝对可积；另外，在工程应用中许多以时间t为自变量函数仅在 上有定义。所以，傅氏变换应用范围受到很大限制。为了克服傅氏变换缺点，就需要适当地把傅氏变换加以改造，从而导出拉普拉斯变换，简称拉氏变换。第92页931.拉氏变换定义 设函数f(t
25、)，当 时有定义，且积分在s某一区域内收敛，其中 是复参量，则由此确定函数称为f(t)拉普拉斯变换式。记作第93页94并称函数F(s)为f(t)拉氏变换，称f(t)为F(s)拉氏逆变换，记作显然若F(s)是f(t)拉氏变换，则可推出2.拉氏变换性质 线性性质 若a,b为常数，则第94页95且逆变换也有微分性质 设f(t)在 上连续，则积分性质第95页96推论:卷积定义：若f1(t)，f2(t)满足拉氏变换存在条件，则积分称为f1(t)，f2(t)卷积，记为f1(t)*f2(t)，即实质上，拉氏变换卷积与傅氏变换卷积定义是一致，当 时，若f1(t)，f2(t)第96页97满足条件则从傅氏变换卷积
26、可得到拉氏变换卷积，即卷积定理：设f1(t)，f2(t)满足拉氏变换存在定理中条件，且第97页98则或三、用傅氏变换法求解定解问题 例：求解一维齐次热传导方程定解问题第98页99解：首先对于未知函数u(x,t)及初始条件中函数 关于x作傅氏变换，记然后，对方程两边关于x作傅氏变换，并利用微分性质得即第99页100这是一个含参数 一阶常微分方程，对初始条件也作一样变换得解常微分方程初值问题，其解两端关于 作傅氏逆变换，左端为而右端依据卷积定理知第100页101因为 ，并查傅氏变换表得故定解问题解第101页102四、用拉氏变换求解定解问题解：这个问题显然不能用傅里叶变换来求解了，因为x,t变换范围
27、都是 ，下面用拉氏变换来解，从x,t变换范围来看，对x,t都能取拉氏变换，但因为方程中含有 ，而在x=0处未给出 值，故不能第102页103对x取拉氏变换，而对t来说，因为方程中只出现关于t一阶偏导数，只要知道当t=0时u值就够了，这个值已由给出，故我们采取关于t拉氏变换。用U(x,p),F(p)分别表示函数u(x,t),f(t)关于t拉氏变换，即首先，对方程两端取拉氏变换，并利用条件，可得第103页104再对条件取一样变换，可得方程是关于U(x,p)线性二阶常系数常微分方程，它通解为因为当 时，u(x,t)应该有界，所以第104页105U(x,p)也应该有界，故C2=0。再由条件可得C1=F
28、(p)，从而可得由拉氏变换表可查到其中余误差函数LL第105页106再依据拉氏变换微分性质可得所以第106页107最终由拉氏变换卷积性质可得原问题解第107页108选择变换标准:1.自变量改变范围，因为傅氏变换要求自变量在 内改变，拉氏变换要求自变量在 内改变，所以要依据自变量改变范围，作为选择变换条件之一。2.定解条件形式，因为拉氏变换微分性质：能够看出，对函数关于某自变量取拉氏变换时，必须在定解条件中给出当自变量等于0时函数值及相关导数值。第108页109用积分变换法求解定解问题过程:一,依据自变量改变范围以及定界条件详细情况,选取适当积分变换,然后对方程两端取变换,把一个含两个自变量偏微分方程化为含一个参量常微分方程.二,对定解条件取对应变换,导出新方程定解条件.三,解所得常微分方程,求得原定解问题解变换式(即象函数).四,对所得变换式取逆变换,得到原定解问题解.第109页110作业习题二41页开始第1(1),2(2),3(1),6(1),7,10题第110页