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1、10/10/郑平正 制作一一.曲线参数方程曲线参数方程高二数学高二数学 选修选修4-4高二数学高二数学 选修选修4-4 第二讲第二讲 参数方程参数方程第1页1.1.参数方程概念参数方程概念第2页1、参数方程概念：、参数方程概念：如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s速度作水平直线飞行速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定地面指定地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应怎样确定投放时时飞行员应怎样确定投放时时机呢？机呢？提醒：提醒：即求飞行员在离救援点水平距离即求飞行员在离救援点水平距离多远时，开始投
2、放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点第3页1、参数方程概念：、参数方程概念：xy Ao设飞机在点设飞机在点A将物资投出机舱，将物资投出机舱，记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资时物资位置为位置为M(x,y).则则x表示物资水平位移量，表示物资水平位移量，y表示物资距地面高度。表示物资距地面高度。如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s速度作水平直线飞行速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定地面指定地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应怎样确定投放时
3、机飞行员应怎样确定投放时机呢？呢？在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面平面上建立在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面平面上建立平面直角坐标系，其中平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面交线，轴为地平面与这个平面交线，y轴经过点轴经过点A.因为水平位移量因为水平位移量x与高度与高度y 是两种不是两种不同运动得到，所以直接建立同运动得到，所以直接建立x,y所要满足关系式并不轻易。所要满足关系式并不轻易。第4页1、参数方程概念：、参数方程概念：xy500o物资投出机舱后，它运动由以下两种运动合成：物资投出机舱后，它运动由以下两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速度为作初速度为100m/s匀速直线运
4、动；匀速直线运动；如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s速度作水平直线飞行速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定地面指定地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应怎样确定投放时机飞行员应怎样确定投放时机呢？呢？（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。第5页xy500o1、参数方程概念：、参数方程概念：如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s速度作水平直线飞行速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区
5、指定地面指定地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应怎样确定投放时机飞行员应怎样确定投放时机呢？呢？第6页一、方程组有一、方程组有3个变量，其中个变量，其中x,y表示点坐标，表示点坐标，变量变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t函数。函数。二、由物理知识可知，物体位置由时间二、由物理知识可知，物体位置由时间t唯一唯一决定，从数学角度看，这就是点决定，从数学角度看，这就是点M坐标坐标x,y由由t唯一确定，这么当唯一确定，这么当t在允许值范围内连续改变在允许值范围内连续改变时，时，x,y值也随之连续地改变，于是就能够连值也随之连续地改变，于是就能够连续地描绘出点轨迹。续地描绘
6、出点轨迹。三、平抛物体运动轨迹上点与满足方程组有三、平抛物体运动轨迹上点与满足方程组有序实数对（序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。第7页（2）而且对于而且对于t每一个允许值每一个允许值,由方程组由方程组(2)所确定点所确定点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上,那么方程那么方程(2)就叫做这条曲线就叫做这条曲线参数方参数方程程,联络变数联络变数x,y变数变数t叫做参变数叫做参变数,简称参数简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点坐标间关系方相对于参数方程而言，直接给出点坐标间关系方程叫做普通方程。程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明：参数是联络变数参
7、数是联络变数x,y桥梁桥梁,1、参数方程概念：、参数方程概念：普通地普通地,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点坐假如曲线上任意一点坐标标x,y都是某个变数都是某个变数t函数函数1.参数方程中参数能够有物理意义参数方程中参数能够有物理意义,几何意义几何意义,也能够没有显著意义。也能够没有显著意义。2.同一曲线选取参数不一样同一曲线选取参数不一样,曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数取值范围在实际问题中要确定参数取值范围第8页例例1:已知曲线已知曲线C参数方程是参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线与曲线C位
8、置关系；位置关系；（2）已知点）已知点M3(6,a)在曲线在曲线C上上,求求a值。值。解解：（：（1）把点把点M1(0,1)代入方程组，解得：代入方程组，解得：t=0,所以所以M1在曲线在曲线C上。上。把点把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，代入方程组，方程组无解，所以所以M2不在曲线不在曲线C上。上。（2）因为）因为M3（6，a)在曲线在曲线C上。上。解得：解得：t=2,a=9a=9第10页2、方程、方程 所表示曲线上一点坐标是所表示曲线上一点坐标是（）A、（、（2，7）；）；B、C、D、（、（1，0）1、曲线、曲线 与与x轴交点坐标是轴交点坐标是()A、（、（1，4）；）；B、C、D
9、、BD训练1：第11页 已知曲线已知曲线C参数方程是参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上.（1）求常数）求常数a;（2）求曲线）求曲线C普通方程普通方程.解解:(1)由题意可知由题意可知:1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C方程为方程为:x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得:代入第二个方程得代入第二个方程得:训练2：第12页思索题：思索题：动点动点M作等速直线运动作等速直线运动,它在它在x轴和轴和y轴方向轴方向速度分别为速度分别为5和和12,运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2),求点求点M轨轨迹
10、参数方程。迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得所以，点M轨迹参数方程为参数方程求法参数方程求法:（1）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y)（2）选取适当参数）选取适当参数（3）依据已知条件和图形几何性质）依据已知条件和图形几何性质,物理意义物理意义,建立点建立点P坐标与参数函数式坐标与参数函数式（4）证实这个参数方程就是所因为曲线方程）证实这个参数方程就是所因为曲线方程第13页小结：小结：普通地，在平面直角坐标系中，普通地，在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点坐标假如曲线上任意一点坐标x，y都是某个变数都是某个变数t函数函
11、数 （2）而且对于而且对于t每一个允许值，由方程组（每一个允许值，由方程组（2）所确定点）所确定点M(x,y)都在都在这条曲线上，这条曲线上，那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线）就叫做这条曲线参数方程参数方程，系变数系变数x,y变数变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。第14页2.2.圆参数方程圆参数方程第15页yxorM(x,y)第16页yxorM(x,y)第17页而且对于而且对于 每一个允许值每一个允许值,由方程组由方程组所所确定点确定点P(x,y),都在圆都在圆O上上.5o思索思索1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 圆参数方程？圆参数方程？我们把方程组我们把方程组
12、叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r圆参数圆参数方程，方程，是参数是参数.第18页(a,b)r第19页圆参数方程普通形式圆参数方程普通形式圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 圆参数方程：圆参数方程：第20页因为选取参数不一样，圆有不一样参因为选取参数不一样，圆有不一样参数方程，普通地，同一条曲线，能够数方程，普通地，同一条曲线，能够选取不一样变数为参数，所以得到参选取不一样变数为参数，所以得到参数方程也能够有不一样形式，形式不数方程也能够有不一样形式，形式不一样参数方程，它们表示一样参数方程，它们表示 曲线能够是曲线能够是相同，另外，在建立曲线参数参数时，相同，另外，在建立曲线参
13、数参数时，要注明参数及参数取值范围。要注明参数及参数取值范围。第21页x x2 2+y+y2 2=r=r2 2注：注：1、参数方程特点是没有直接表达曲线上点横、纵、参数方程特点是没有直接表达曲线上点横、纵坐标之间关系，而是分别表达了点横、纵坐标与参数坐标之间关系，而是分别表达了点横、纵坐标与参数之间关系。之间关系。2、参数方程应用往往是在、参数方程应用往往是在x与与y直接关系极难或直接关系极难或不可能表达时，经过参数建立间接联络。不可能表达时，经过参数建立间接联络。第22页例例2 如图，圆如图，圆O半径为半径为2，P是圆上动点，是圆上动点，Q(6,0)是是x轴轴上定点，上定点，M是是PQ中点，
14、当点中点，当点P绕绕O作匀速圆周运动时，作匀速圆周运动时，求点求点M轨迹参数方程。轨迹参数方程。yoxPMQ第23页例例2 如图，圆如图，圆O半径为半径为2，P是圆上动点，是圆上动点，Q(6,0)是是x轴轴上定点，上定点，M是是PQ中点，当点中点，当点P绕绕O作匀速圆周运动时，作匀速圆周运动时，求点求点M轨迹参数方程。轨迹参数方程。思索：思索：这里定点这里定点Q在圆在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？假如定点假如定点Q在圆在圆O上，轨迹是什么曲线？上，轨迹是什么曲线？假如定点假如定点Q在圆在圆O内，轨迹又是什么？内，轨迹又是什么？第24页3.3.参数方程和
15、普通参数方程和普通方程互化方程互化第25页第26页3.参数方程和普通方程互化：参数方程和普通方程互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直直线线L 普通方程是普通方程是2x-y+2=0，能够化为参数方程（t为为参数）参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x=tan,能能够够化化为为参数方程参数方程 （为参数）第27页（2 2）参数方程经过）参数方程经过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普化为普通方程通方程如：如：参数方程参数方程消去参数 可得圆普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r
16、2 2.参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4经过代入消元法消去参数t,（x0）注意：注意：在参数方程与普通方程互化中，必须使在参数方程与普通方程互化中，必须使x x，y y取值范取值范围保持一致。围保持一致。不然，互化就是不等价不然，互化就是不等价.第28页yxo(1,1)类型一：参数方程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程代入消元法代入消元法第29页xoy类型一：参数方程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程三角变换消元法三角变换消元法第30页步骤：步骤：1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元)2、写出定义域写出定义域（x范
17、围）范围）参数方程化为普通方程步骤参数方程化为普通方程步骤在参数方程与普通方程互化中，必须使在参数方程与普通方程互化中，必须使x,y前后取值范围保持一致。前后取值范围保持一致。注意：注意：第31页练习：练习：参数方程参数方程表示表示 （）（A）双曲线一支，这支过点（）双曲线一支，这支过点（1，）：）：（B）抛物线一部分，这部分过（）抛物线一部分，这部分过（1，）；）；（C）双曲线一支，这支过点（）双曲线一支，这支过点（1，）；）；（D）抛物线一部分，这部分过（）抛物线一部分，这部分过（1，）B第32页分析 普通思绪是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=1+sin=2y，普通方程是x
18、2=2y，为抛物线。，又0-2第45页例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动上动点，求（点，求（1）x2+y2 最值，最值，（2）x+y最值，最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0距离距离d最值。最值。解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为因为点因为点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).(其中其中tan =3/2)x2+y2 最大值为最大值为14+
19、2 ，最小值为，最小值为14-2 。第46页(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）x+y最大值为最大值为5+，最小值为，最小值为5-。(3)显然当显然当sin（+）=1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ，。例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动上动点，求（点，求（1）x2+y2 最值，最值，（2）x+y最值，最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0距离距离d最值。最值。第47页练习：练习：1.填空：已知圆填空：已知圆O参数方程是参数方程是(0 2 )假如圆上点假如圆上点P所对应参数所对应参数 ，则点，则点P坐标是
20、坐标是 第48页A圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为把圆方程0142)2(22=+-+yxyx第49页小小 结结:1、圆参数方程、圆参数方程2、参数方程与普通方程概念、参数方程与普通方程概念3、圆参数方程与普通方程互化、圆参数方程与普通方程互化4、求轨迹方程三种方法：、求轨迹方程三种方法：相关点点问题相关点点问题（代入法）；（代入法）；参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值第50页（1 1）写出定义域写出定义域（x范围）范围）（2 2）消去参数消去参数(代入消元，三角变换消元）代入消元，三角变换消元）1、参数方程化为普通方程步骤、参数方程化为普通方程步骤在参数方程与普通方程互化中，在参数方程与普通方程互化中，必须使必须使x,y前后取值范围保持一致前后取值范围保持一致。注意：注意：2、普通方程化为参数方程步骤、普通方程化为参数方程步骤把含有参数等式代入即可把含有参数等式代入即可第51页习题习题2.1答案答案第52页xyACBO第53页第54页第55页