微分方程模型市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 传染病模型传染病模型5.2 经济增加模型经济增加模型5.3 正规战与游击战正规战与游击战5.4 药品在体内分布与排除药品在体内分布与排除5.5 香烟过滤嘴作用香烟过滤嘴作用5.6 人口预测和控制人口预测和控制5.7 烟雾扩散与消失烟雾扩散与消失5.8 万有引力定律发觉万有引力定律发觉第1页动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)演变过程演变过程 分析对象特征改变规律分析对象特征改变规律 预报对象特征未来性态预报对象特征未来性态 研究控制对象特征伎俩研究控制对象特征伎俩 依据函数及其改变率之间关系确定函数依据函数及其改变率之

2、间关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程第2页5.1 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病传输过程描述传染病传输过程 分析受感染人数改变规律分析受感染人数改变规律 预报传染病高潮到来时刻预报传染病高潮到来时刻 预防传染病蔓延伎俩预防传染病蔓延伎俩 按照传输过程普通规律，用按照传输过程普通规律，用机理分析方法建立模型机理分析方法建立模型第3页 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人天天有效接触每个病人天天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效

3、接触是病人，则若有效接触是病人，则不能使病人数增加不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第4页模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人人 百分比分别为百分比分别为 2）每个病人天天有效接触人数）每个病人天天有效接触人数为为,且且使接触健康人致病使接触健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型第5页模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic

4、 模型病人能够治愈！病人能够治愈！?t=tm,di/dt 最最大大第6页模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人天天治愈百分比为）病人天天治愈百分比为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人有每个病人有效接触人数，称为效接触人数，称为接触数接触数。第7页模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染健有效接触感染健康者人数不超出病人数康者人数不超出病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)怎样看作模

5、型怎样看作模型3(SIS模型模型)特例特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0第12页模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延伎俩预防传染病蔓延伎俩 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延条件传染病不蔓延条件s01/预计预计 降低降低 s0提升提升 r0 提升阈值提升阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫第13页模型模型4SIR模型模型被传染人数预计被传染人数预计记被传染人数百分记被传染人数百分比比x 03)经济增

6、加条件经济增加条件第21页劳动力增加率小于初始投资增加率劳动力增加率小于初始投资增加率每个劳动力产值每个劳动力产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增加增加dZ/dt03)经济增加条件经济增加条件第22页5.3 正规战与游击战正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而降低，因支援而增加兵力因战斗及非战斗减员而降低，因支援而增加战斗力与射击次数及命中率相关战斗力与射击次数及命中率相关建模思绪和方法为用数学模型讨论社会建模思绪和方法为用数学模型讨论社会领域实际问题提供了可

7、借鉴示例领域实际问题提供了可借鉴示例第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局模型提出预测战役结局模型第23页普通模型普通模型 每方战斗减员率取决于双方兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方支援率为甲乙双方支援率为u(t),v(t)f,g 取决于战争类型取决于战争类型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型第24页正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作

8、战 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有支援假设没有支援f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵杀伤率乙方每个士兵杀伤率a=ry py,ry 射击率，射击率，py 命中命中率率第25页0正规战争模型正规战争模型为判断战争结局，不求为判断战争结局，不求x(t),y(t)而而在相平面上讨论在相平面上讨论 x 与与 y 关系关系平方律平方律 模型模型乙方胜乙方胜第26页游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还伴随甲方兵力增加而增加甲方战斗减员率还伴随甲方兵力增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有支援假设没有支援f(x,y)=cxy,c 乙方每个士兵

9、杀伤率乙方每个士兵杀伤率c=ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry/sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积第27页0游击战争模型游击战争模型线性律线性律 模型模型第28页0混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须乙方必须10倍于甲方兵力倍于甲方兵力设设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第29页5.4 药品在体内分布与排除药品在体内分布与排除 药品进入机体形成药品进入机体形成血药浓度血药浓度(单位体积血液药品量单位体积血液药品量)血药浓度

10、需保持在一定范围内血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计给药方案设计 药品在体内吸收、分布和排除过程药品在体内吸收、分布和排除过程 药品动力学药品动力学 建立建立房室模型房室模型药品动力学基本步骤药品动力学基本步骤 房室房室机体一部分，药品在一个房室内均匀分机体一部分，药品在一个房室内均匀分布布(血药浓度为常数血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移 本节讨论本节讨论二室模型二室模型中心室中心室(心、肺、肾等心、肺、肾等)和和周围室周围室(四肢、肌肉等四肢、肌肉等)第30页 中心室中心室周围室周围室给药给药排除排除模型假设模型假设 中心室中心室(1)和周围室和周围室(2

11、),容积不变容积不变 药品在房室间转移速率及向体外排除速率，药品在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比与该室血药浓度成正比 药品从体外进入中心室，在二室间药品从体外进入中心室，在二室间相互转移相互转移,从中心室排出体外从中心室排出体外模型建立模型建立第31页线性常系数线性常系数非齐次方程非齐次方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解模型建立模型建立第32页几个常见给药方式几个常见给药方式1.快速静脉注射快速静脉注射t=0 瞬时注射剂量瞬时注射剂量D0药药品进入中心室品进入中心室,血药浓血药浓度马上为度马上为D0/V1给药速率给药速率 f0(t)和初始条件和初始条件第33页2.恒速静

12、脉滴注恒速静脉滴注t T,c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于按指数规律趋于零零药品以速率k0进入中心室0Tt 第34页吸收室中心室3.口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药品相当于药品(剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t)第35页参数预计参数预计各种给药方式下各种给药方式下 c1(t),c2(t)取决于参数取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉注射D0,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)由较大由较大 用最小二乘法定用最小二乘法定A A,由较小由较小 用最小二乘法定用最小二乘法定B

13、,第36页参数预计参数预计进入中心室药品全部排除进入中心室药品全部排除第37页 过滤嘴作用与它材料和长度有什么关系过滤嘴作用与它材料和长度有什么关系 人体吸入毒物量与哪些原因相关，其中哪人体吸入毒物量与哪些原因相关，其中哪些原因影响大，哪些原因影响小。些原因影响大，哪些原因影响小。模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体过程，建立吸烟分析吸烟时毒物进入人体过程，建立吸烟过程数学模型。过程数学模型。构想一个构想一个“机器人机器人”在经典环境下吸烟，在经典环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变。吸烟方式和外部环境认为是不变。问题问题5.5 香烟过滤嘴作用香烟过滤嘴作用第38页模型模型假设假设定性

14、分析定性分析1）l1烟草长，烟草长，l2过滤嘴长，过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量毒物量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行数量比是行数量比是a:a,a+a=13）未点燃烟草和过滤嘴对随烟雾穿行毒物）未点燃烟草和过滤嘴对随烟雾穿行毒物(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃，香烟燃烧速度是常数烧速度是常数u，v uQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量第39页模模型型建建立立0t=0,x=0，点燃香烟，点燃香烟q(x,t)

15、毒物流量毒物流量w(x,t)毒物密度毒物密度1)求求q(x,0)=q(x)第40页t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut1)求求q(x,0)=q(x)2)求求q(l,t)第41页3)求求w(ut,t)第42页4)计算计算 Q第43页结果结果分析分析烟草烟草为何有作用为何有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比，aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 处吸入量处吸入量2)过滤嘴原因，过滤嘴原因，,l2 负指数负指数作用作用是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处吸入量处吸入量3）(r)烟草吸收作用烟草吸收作用b,l1 线性线性作用作用第44页带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴结果结果分析分析4)与另一

16、支不带过滤嘴香烟比较，与另一支不带过滤嘴香烟比较，w0,b,a,v,l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提升提升 -b 与加长与加长l2，效果相同，效果相同第45页5.6 人口预测和控制人口预测和控制 年纪分布对于人口预测主要性年纪分布对于人口预测主要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程第46页人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程一阶偏微分方程第47页人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口伎俩）生育率（控制人口伎俩）0tr第48页生育率分解生育率分解 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式

17、0第49页人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率总和生育率总和生育率控制生育多少控制生育多少生育模式生育模式控制生育早晚和疏密控制生育早晚和疏密 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大第50页人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年纪）平均年纪3）平均寿命）平均寿命t时刻出生人，死亡率按时刻出生人，死亡率按 (r,t)计算平均存活时间计算平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过不过高高第51页5.7 烟雾扩散与消失烟雾扩散与消失现象现象和和问题问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四面扩散，形成圆形炮弹在空中爆炸，烟雾向

18、四面扩散，形成圆形不透光区域。不透光区域。不透光区域不停扩大，然后区域边界逐步明亮，不透光区域不停扩大，然后区域边界逐步明亮，区域缩小，最终烟雾消失。区域缩小，最终烟雾消失。建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各原因关系。时间与各原因关系。问题问题分析分析无穷空间由瞬时点源造成扩散过程，用二阶偏微无穷空间由瞬时点源造成扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度改变。分方程描述烟雾浓度改变。观察烟雾消失与烟雾对光线吸收，以及仪器对观察烟雾消失与烟雾对光线吸收，以及仪器对明暗灵敏程度相关。明暗灵敏程度相关。第52页模型模型假设假设1）烟雾在无穷空间扩散

19、，不受大地和风）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风影响；扩散服从热传导定律。影响；扩散服从热传导定律。2）光线穿过烟雾时光强降低与烟雾浓度）光线穿过烟雾时光强降低与烟雾浓度成正比；无烟雾大气不影响光强。成正比；无烟雾大气不影响光强。3）穿过烟雾进入仪器光线只有明暗之分，）穿过烟雾进入仪器光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。明暗界限由仪器灵敏度决定。模型模型建立建立1）烟雾浓度）烟雾浓度 改变规律改变规律热传导定律：单位时间经过单位法热传导定律：单位时间经过单位法向面积流量与浓度梯度成正比向面积流量与浓度梯度成正比 第53页曲面积分奥氏公式曲面积分奥氏公式1）烟雾浓度）烟雾浓度 改变规律改

20、变规律第54页 初始条件初始条件Q炮弹释放烟雾总量炮弹释放烟雾总量 单位强度点源函数单位强度点源函数 对任意对任意t,C等值面是球面等值面是球面 x2+y2+z2=R2;RC 仅当仅当 t,对任意点对任意点(x,y,z),C01）烟雾浓度）烟雾浓度 改变规律改变规律第55页2）穿过烟雾光强改变规律）穿过烟雾光强改变规律光强降低与烟雾光强降低与烟雾浓度成正比浓度成正比第56页3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续改变烟雾浓度连续改变烟雾中光强连续改变烟雾中光强连续改变仪器仪器z-设光源在设光源在z=-,仪器在仪器在z=,则观察到则观察到明暗界限为明暗界限为不透光区域有

21、扩大、不透光区域有扩大、缩小、消失过程缩小、消失过程穿过烟雾进入仪器光线只有明暗之分，穿过烟雾进入仪器光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。明暗界限由仪器灵敏度决定。不透光区域边界不透光区域边界第57页4）不透光区域边界改变规律）不透光区域边界改变规律对任意对任意t,不透光区域边界是圆周不透光区域边界是圆周不透光区域不透光区域边界半径边界半径第58页r(t)rm0t1t2t结果分析结果分析观察到不透光区域边界到达最大时观察到不透光区域边界到达最大时刻刻t1，能够预报烟雾消失时刻，能够预报烟雾消失时刻t2第59页5.8 万有引力定律发觉万有引力定律发觉背景背景航海业发展航海业发展天文观察准

22、确天文观察准确“地心说地心说”动动摇摇哥白尼：哥白尼：“日心说日心说”伽里略：落体运动伽里略：落体运动开普勒：行星运动三定律开普勒：行星运动三定律变速运动计算方法变速运动计算方法牛顿：一切运动有力学原因牛顿：一切运动有力学原因牛顿运动三定律牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，创造微积分（流数法）牛顿：研究变速运动，创造微积分（流数法）开普勒三定律开普勒三定律牛顿运动第二定律牛顿运动第二定律万有引力定律万有引力定律自然科学之数学原理自然科学之数学原理(1687)第60页模型假设模型假设极坐标系极坐标系(r,)太阳太阳(0,0)1.行星轨道行星轨道a长半轴长半轴,b短半轴短半轴,e离心离心率率3.行星运行周期行星运行周期 T行星位置：向径行星位置：向径O(太阳太阳)P(行星行星)r2.单位时间单位时间 扫过面积为常数扫过面积为常数 Am 行星质量行星质量 绝对常数绝对常数4.行星运行受力行星运行受力 第61页模型建立模型建立O(太阳太阳)P(行星行星)r向径向径 基向量基向量第62页模型建立模型建立万有引力定律万有引力定律需证实需证实 4A2/p=kM（与哪一颗行星无关）（与哪一颗行星无关）A单位时间单位时间 扫过面积扫过面积O(太阳太阳)P(行星行星)r(习题习题)lp/22=pA第63页