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1、一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念四、不定积分的性质四、不定积分的性质三、基本积分表三、基本积分表五、小结五、小结 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义第1页/共35页例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念(primitive function)定义定义第2页/共35页原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间
2、有什么联系？定理定理第3页/共35页关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数,则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）第4页/共35页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分不定积分(indefinite integral)的定义：的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量定义定义原原函函数数第5页/共35页 第6页/共35页例例1 1 求求解解:解解:例例2 2 求求第7页/共35页例例3 3 某商品的边际成本为某商品的边际成本为 ,求求总成总成 解解:其中其中 为任
3、意常数为任意常数本函数本函数 .第8页/共35页二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义 显然，求不定积分得到一显然，求不定积分得到一积分曲线族积分曲线族,在同一横在同一横坐标坐标 处处,任一曲线的切线有任一曲线的切线有相同的斜率相同的斜率.0 xy第9页/共35页实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.三、三、基本积分表基本积分表第10页/共35页基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：第11页/共35页第1
4、2页/共35页第13页/共35页 基本积分表基本积分表 导数基本公式导数基本公式0dx=c C=0 （C为常为常数）数）xndx=xn+1/(n+1)+c (xn)=n xn-11/xdx=ln|x|+c (lnx)=1/x axdx=ax/lna +c (ax)=axlna exdx=ex+c (ex)=excosxdx=sinx+c (sinx)=cosx sinxdx=-cosx+c (cosx)=-sinx第14页/共35页sec2xdx=tanx+c (tanx)=sec2x csc2xdx=-cotx+c (cotx)=-csc2xsecx.tanxdx=secx+c (secx)
5、=secx.tanx cscx.cotxdx=-cscx+c (cscx)=-cscx.cotx1/(1-x2)1/2dx=arcsinx+c (arcsinx)=1/(1-x2)1/21/(1+x2)dx=arctanx+c (arctanx)=1/(1+x2)第15页/共35页例例4 4 求积分求积分解：解：第16页/共35页证：证：等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）四、四、不定积分的性质不定积分的性质第17页/共35页例例5 5 求积分求积分解：解：第18页/共35页 求不定积分的方法求不定积分的方法 (1)直接积分法直接积
6、分法(2)第一类换元法第一类换元法(3)第二类换元法第二类换元法(4)分部积分法分部积分法第19页/共35页 直接积分法直接积分法 根据不定积分的性质和基本积分公式，根据不定积分的性质和基本积分公式，对于一些比较简单的函数的不定积分可以直对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法。果，这样的积分方法，叫做直接积分法。该方法主要把该方法主要把被积函数变换成基本积分公式被积函数变换成基本积分公式中的被积函数的形式。
7、中的被积函数的形式。第20页/共35页例例6 6 求积分求积分解：解：第21页/共35页例例7 7 求积分求积分解：解：第22页/共35页例例8 8 求积分求积分解：解：说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表等变形，才能使用基本积分表.化积分为代数和的积分第23页/共35页解解:所求曲线方程为所求曲线方程为第24页/共35页3.基本积分表（基本积分表（1）（）（13）5.不定积分的性质不定积分的性质 1.原函数的概念：原函数的概念：2.不定积分的概念：不定积分的概念：4.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系五、五、小结小结第25页/共35页基本积分表基本积分表是常数是常数);不定积分的性质不定积分的性质第26页/共35页第27页/共35页第28页/共35页作业题作业题:P183-184 1.(6)(15)(20)2.思考题思考题:P183-184 1.(4)(13)(22)(29)第29页/共35页练习题练习题第30页/共35页第31页/共35页第32页/共35页练习题答案练习题答案第33页/共35页第34页/共35页感谢您的欣赏感谢您的欣赏第35页/共35页