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1、试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 湖南湖南省省长沙市长沙市 20232023-20242024 学年高一下学期学年高一下学期期末调研数学试卷期末调研数学试卷（含答案）（含答案）一、单选题一、单选题 1若复数()21 izaa=+是纯虚数，则实数 a的值为（）A0 B1 C-1 D1 2已知一组数据 4，8，9，3，3，5，7，9，则（）A这组数据的上四分位数为 8 B这组数据没有众数 C这组数据的极差为 5 D这组数据的平均数为 6 3已知a，b为实数，则“ab”是“11bbaa+”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4在三角形A
2、BC中，3,4,120ACABCAB=，则()ABCAAB+=（）A10 B22 C10 D22 5已知1212102,sinsin3xxxx=，则()12cos xx=（）A.79 B.79 C.73 D.73 6我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为 8 和 4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为2 5，则该盆中最多能装的水的体积为（）A224 53 B4483 C224 5 D448 7已知函数()f x是定义在R上周期为 4 的奇函数，且(),012,12xxf xxx=+，则不等式(1)0 xf x的
3、部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A3=B4=C直线12x=为()f x图象的一条对称轴 D将()f x图象上的所有点向左平移4个单位长度得到2sin3yx=的图象 11已知函数()24,0,31,0,xxxxf xx=其中()()()f af bf c=，且abc，则（）试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 A()232ff=B函数()()()g xf xf=有 2 个零点 C314log,45abc+D()34log 5,0abc 三、填空题三、填空题 12数据12,nx xx的方差为 1，则数据1221,21,21nxxx+的方差为 13 在 九章算术 中，将底面
4、为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA 底面,2,1,ABCD PAADABE=为棱PA的中点，则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为 .14设定义在R上的函数()f x的值域为 A，若集合 A为有限集，且对任意12,Rx x，存在3Rx，使得()()()123fxfxfx=，则满足条件的集合 A 的个数为 四、解答题四、解答题 15某重点中学 100 位学生在市统考中的理科综合分数，以)160,180，)180,200，)200,220，)220,240，)240,260，)260,280，280,300分组的频率分布直方图如图 (1)求直方
5、图中 x的值；(2)求理科综合分数的中位数；试卷第 4 页，共 4 页 16已知i为虚数单位，12z z 是实系数一元二次方程的两个虚根.(1)设12z z 满足方程()1241 i95izz+=，求12z z；(2)设112zi=+，复数12z z 所对的向量分别是a与b，若向量tab与2ab+的夹角为钝角，求实数t的取值范围.17已知函数()1428xxf xm+=(1)若1m=，求不等式()0f x，得0ab，所以()()()()1110111a bb abbabaaa aa a+=+，充分性成立；由11bbaa+，得()01aba a+，不妨取2,3ab=满足不等式，所以推不出0ab，
6、从而得不到ab，必要性不成立.故选:A.4B【分析】根据数量积的运算律计算即可.【详解】()221163 4222ABCAABABCA ABABAC AB=+=+.故选：B.5【答案】B【解析】答案第 2 页，共 12 页【分析】利用正弦函数图象的对称性得1222xx+=，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】因为1212102,sinsin03xxxx，所以1222xx+=，即12xx+=，21xx=，所以()()1211coscos 2cos2xxxx=()211 2sin x=17(1 2)99=.故选：B 6.B【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高，再根据棱
7、台的体积公式即可得出答案.【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台，如图，为垂直底面的截面，则棱台的高为()22842 542=，所以该几何体的体积为()144864 1664 16433+=，即该盆中最多能装的水的体积为4483.故选：B.7B【分析】由函数()yf x=的图象向右平移 1 个单位长度，作出函数(1)=yf x在 2,2上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数()f x是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，且(),012,12xxf xxx=+，所以当(1,0 x 时，()f xx=；当 2,1x 时，1,2x，所以()()(2)2f xfxxx=+=；当 3,2x 时，4
8、1,2x+，所以()(4)(4)22f xf xxx=+=+=，函数(1)=yf x的图象可由函数()yf x=的图象向右平移 1 个单位长度得到，作出函数(1)=yf x在 2,2上的图象，如图所示 答案第 3 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 由图可知不等式(1)0 xf x在(2,2)上的解集为(2,1)(0,1)故选：B 8A【分析】根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得AO在AC方向上的投影向量为12AC，从而求得2AC=，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值【详解】由 O 为ABC外心，可得AO在AC方向上的投影向量为12AC，则2112AO ACAC=，故2AC=
9、，又2 2AB=，设BCa=，则()()22222 226cos2 2 24 2aaABCaa+=333222 24 22 24 2aaaa=+=，当且仅当6a=时等号成立，由0180ABC可知，030ABC，故ABC的最大值为30 故选：A 9ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于 A，由于BN 平面11BBC C，1MB 平面1111BBC CB,BBN=，故直线BN与1MB是异面直线，故 A 正确；对于 B，如图，连接1CD，因为MN，分别为棱111C DC C，的中点，所以1MNCD，答案第 4 页，共 12 页 所以直线MN与AC所
10、成的角即为直线1CD与AC所成的角，又因为1ACD是等边三角形，所以直线1CD与AC所成的角为3，故直线MN与AC所成的角是3，故 B 正确；对于 C，如图，假设直线MN 平面ADN，又因为DN 平面ADN，所以MNDN，而255,222MNDNDM=，这三边不能构成直角三角形，所以DN与MN不垂直，故假设错误，故 C 错误；对于 D，如图，连接11,AB AM，因为111,ABCD CDMN，所以1/ABMN，所以平面BMN截正方体所得的截面为梯形1ABNM，且1125,2,22MNABAMBN=，所以梯形的高为22523 2()()244=，所以截面面积为123 29(2)2248+=，故
11、 D 正确.故选：ABD.答案第 5 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 10ACD【分析】根据函数()f x的图象，求得()2cos(3)4f xx=，可得判定 A 正确，B 不正确，再结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，可判定 C、D 正确.【详解】由函数()f x的图象，可得1()24123T=，可得23T=，则23T=，又由2A=，所以()()2cos 3f xx=+，又由3()2cos(3)2cos()0444f=+=+=，即3cos()04+=，因为22，所以342+=，可得4=，所以()2cos(3)4f xx=，所以 A 正确；B 不正确；对于 C 中，由()
12、2cos(3)212124f=为函数()f x的最大值，所以直线12x=为()f x图象的一条对称轴，所以 C 正确；对于 D 中，将()f x图象上的所有点向左平移4个单位长度，可得2cos3()2cos(3)2sin3442yxxx=+=+=，所以 D 正确.故选：ACD.11ACD【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.【详解】解：()()2832fff=，故 A 正确；作出函数()f x的图象如图所示，观察可知，04，不满足题意，故 A 中最大元素不超过 1，同理可得 A 中最小元素不小于1，若集合 A 中只有一个元素 a，则2aa=，可得0a=或1a=，所以 0A=或 1A=，
13、若集合 A 中有两个元素(),11a bab，则2aa=或2ab=，当2aa=时，可得1a=（舍去）或0a=，此时2bb=，可得1b=，所以1,0A=；当2ab=时，0a，所以0b，可得aba=，截得1b=，所以21a=，所以1a=或1a=（舍去），所以1,1A=；若集合 A 中有三个元素(),11a bab，则2aa=或2ab=或2ac=，当2aa=时，0a=或1a=（舍），此时2ba，2bb，2ca，所以2bc=，2cc=或2cb=，解得1c=，1ba=，可得2bb，2ba，所以2ba=，0b=，即1,0,1A=，其集合 A 中有四个或四个以上元素(),11a bc dabcd，则由上推导
14、可得1a=，1d=，0bc=，矛盾，即此时 A 无解 综上，所满足条件的集合 A 可以为 0,1,1,1,1,0,1,0,1，共 5 个 故答案为：5 15(1)0.0075x=答案第 8 页，共 12 页(2)224 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）首先判断中位数在220,240)内，再设出未知数，列出方程，解得即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得()200.0020.00950.011 0.01250.0050.00251x+=，解得：0.0075x=.（2）由于(0.0020.00950.011)200.5+，因此理科综合分数的中位数
15、在220,240)内，设中位数为a，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a+=，解得224a=，月平均用电量的中位数为 224.16(1)12118i77118i77zz=+=或12118i77118i77zz=+(2)117,22+【分析】（1）设出12,z z的代数形式根据复数相等可得答案；（2）求出a与b的坐标，根据向量夹角为钝角列出t的不等式可得答案.【详解】（1）不妨设()1i,zaba b=+R，则2izab=，因为12z z 满足方程()1241 i95izz+=，所以()()()4i1 ii95i+=abab，可得()()53i95i+=abb
16、a，所以5935abba=，解得11787ab=，所以12118i77118i77zz=+=，或12118i77118i77zz=+；答案第 9 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司（2）设112zi=+，则212iz=，因为复数12z z 所对的向量分别是a与b，所以()1,2a=，()1,2b=，可得()()()1,21,21,22=+tabttt，()()()21,22 1,23,2+=+=ab，若向量tab与2ab+的夹角为钝角，则()()202+tababtabab，且()()212+tababtabab，即23344013 565 ，12t ，实数t的取值范围是117,22
17、+.17(1)(),2(2)(,2 【分析】（1）变形得到()()24220 xx+得到240 x，求出解集；（2）换元后得到242tmt+对任意1,4t恒成立，由基本不等式求出最小值，得到答案.【详解】（1）当1m=时，可得()1428xxf x+=，即14280 xx+，整理为()()24220 xx+，所以240 x，解得2x，所以不等式()0f x 的解集为(),2；（2）因为0,2x，令21,4xt=，可得()228f ttmt=，由()12f x ，可得22812tmt，答案第 10 页，共 12 页 0,2x，()12f x 恒成立，即242tmt+对任意1,4t恒成立，又因为2
18、42222222tttttt+=+=，当且仅当22tt=，即2t=时取等，所以2m，即实数 m 的取值范围为(,2 18(1)证明见解析；(2)31313 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可；（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可.【详解】（1）因为AB是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于,A B的动点，所以ACBC，又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD 底面ACB，而AC底面ACB，所以CDAC，因为CD 平面BCDE，BC平面BCDE，且CDBCC=，所以AC 平面B
19、CDE，又因为ACACD，所以平面ACD 平面BCDE；（2）如图所示，过A作圆柱的母线AM，连接DM，EM 因为底面ABC/上底面DME，所以即求平面ADE与平面DME所成锐二面角的大小，因为,M E在底面的射影为,A B，且AB为下底面的直径，所以EM为上底面的直径，因为AM是圆柱的母线，所以AM平面DME，答案第 11 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 又因为EM为上底面的直径，所以MDDE，而平面ADE DMEDE=，所以MDA为平面ADE与平面DME所成的二面角的平面角，又因为D在底面射影为C，所以3DEBC=，6MEAB=，所以22633 3DM=，又因为母线长为2 3
20、，所以2 3AM=，又因为AM平面DME，DM平面DME，所以AMMD，所以()()222 33 339AD=+=,所以3 33cos131339MDMDAAD=，即平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为31313.19(1)1m=(2)单调递增，证明见解析(3)170,12 【分析】（1）根据()()=f xfx，得到方程，求出1m=；（2）先得到()122xxg x=+，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；（3）参变分离得到()211221xxxa+，构造()()211221xxxh x+=+，换元后得到1123ytt=+，根据单调性求出其最值，得到结论.【详解】（
21、1）()44log2xxmf x+=定义域为 R，()44log2xxmfx+=，由于函数()44log2xxmf x+=为偶函数，所以()()=f xfx，即4444loglog22xxxxmm+=，即4422xxxxmm+=，即()()1410 xm=恒成立，1m=（2）已知函数()()444loglog2xxmf xg x+=，由于函数4logyx=在()0,+上单调递增，由第（1）问可得1m=，因此()122xxg x=+答案第 12 页，共 12 页 不妨设1x，()20,x+，且12xx 则()()212121112222xxxxg xg x=+()()122121212122122221222xxxxxxxxxx+=+=因为12xx，由因为1x，()20,x+，因此2121xx+，所以211102xx+，故()()210g xg x，所以函数()g x在()0,+单调递增（3）由题得()4441loglog22xxxaa+在区间(1,2上恒成立，即4122xxxaa+在区间(1,2上恒成立，因为(1,2x，所以1213x，所以()211221xxxa+在区间(1,2上恒成立，令()()211221xxxh x+=+，令()21 35xtt=+对任意的(1,2x恒成立，且1213x 实数a的取值范围是170,12