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1、第十二讲第十二讲常微分方程数值解法常微分方程数值解法1第1页第十二讲主要知识点欧拉（欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法预估校正法法预估校正法欧拉法收敛性欧拉法收敛性龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法*。一阶微分方程组与高阶微分方程数值解法一阶微分方程组与高阶微分方程数值解法*2第2页问题提出在处理科技领域实际应用问题时，常微分方程求解是在处理科技领域实际应用问题时，常微分方程求解是常见。本章着重讨论一阶方程初值问题常见。本章着重讨论一阶方程初值问题数值解法。对高阶方程和微分方程组数值解，数值解法。对高阶方程和
2、微分方程组数值解，其基本思想是完全一样其基本思想是完全一样解初值问题有各种解解初值问题有各种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型方程才析方法，但解析法只能对一些特殊类型方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题数值解法，就是寻求方程解初值问题数值解法，就是寻求方程解在自变量在自变量一系列离散节点上近似值。一系列离散节点上近似值。3第3页问题提出(续1)初值问题初值问题4第4页问题提出(续2)相邻两节点间距离相邻两节点间距离 称为步长，通常称为步长，通常在计算上采取相等步长在计算上采取相等步长 ，这时等距节点，这时等距节点 ，初值问题数
3、值解法基本特点是：求解过程是顺着初值问题数值解法基本特点是：求解过程是顺着节点排列次序一步一步向前推进，即按递推方法节点排列次序一步一步向前推进，即按递推方法由已知由已知 求出求出 。所以，初值问。所以，初值问题数值解法就是建立这种递推公式。题数值解法就是建立这种递推公式。5第5页问题提出(续3)将微分方程两端从将微分方程两端从到到积分，得积分，得这么，求原初值问题式解，转化为求问题式解这么，求原初值问题式解，转化为求问题式解,利用各种求积公式就能够得到一些求利用各种求积公式就能够得到一些求近似公式。近似公式。6第6页Euler 方法(推导2）差商方法差商方法7第7页Euler方法数值积分方法
4、数值积分方法8第8页Euler方法(续)数值积分方法数值积分方法9第9页隐式Euler方法向后差商向后差商10第10页二步Euler方法中心差商中心差商11第11页梯形公式12第12页梯形公式(续)梯形公式梯形公式(见上页见上页)，实际上是，实际上是Euler方法和隐式方法和隐式Euler方法算术平均。方法算术平均。梯形公式精度为二阶。梯形公式精度为二阶。例：用梯形公式求以下初值问题解在例：用梯形公式求以下初值问题解在 13第13页改进Euler方法改进改进Euler方法为方法为Euler方法和梯形公式结合，也称方法和梯形公式结合，也称作预估作预估-校正法。校正法。14第14页改进Euler方
5、法(续1)嵌套形式嵌套形式15第15页改进Euler方法(续2)16第16页局部截断误差称一个数值方法是称一个数值方法是p p阶，假如其局部截断误差为阶，假如其局部截断误差为 。EulerEuler方法和隐式方法和隐式EulerEuler方法精度是一阶。方法精度是一阶。二步二步EulerEuler方法精度是二阶。方法精度是二阶。17第17页龙格-库塔方法改进改进EulerEuler方法也可写成方法也可写成18第18页二阶龙格-库塔方法19第19页二阶龙格-库塔方法(续1)要使二阶方法局部截断误差为要使二阶方法局部截断误差为 ，四个系数，四个系数值应满足以下关系式：值应满足以下关系式：20第20
6、页二阶龙格-库塔方法(续2)特例特例1 1：21第21页二阶龙格-库塔方法(续3)特例特例2 2：22第22页三阶龙格库塔方法23第23页四阶龙格库塔方法24第24页例题分析25第25页两点说明26第26页变步长龙格库塔方法27第27页公式28第28页线性多步法29第29页线性多步公式导出30第30页线性多步公式导出(续1)31第31页线性多步公式导出(续2)32第32页线性多步公式导出(续3)33第33页线性多步公式导出(续4)34第34页线性多步公式35第35页惯用线性多步公式36第36页惯用线性多步公式(续)37第37页利用数值积分方法求线性多步公式38第38页利用数值积分方法求线性多步公式(续1)39第39页利用数值积分方法求线性多步公式(续2)40第40页利用数值积分方法求线性多步公式(续3)41第41页利用数值积分方法求线性多步公式(续4)42第42页利用数值积分方法求线性多步公式(续5)43第43页线性多步法小结44第44页本讲结束！谢谢大家！再见！45第45页