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1、假如积分区域假如积分区域 D 为：为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.2 Evaluation of Double Integral 一、Double Integral in Rectangular CoordinatesX型区域型区域 X型区域特点型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴直线与轴直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.第1页应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知立体面面积为已知立体求体积求体积”方法方法,得得依据二重积分几何意义依据二重积分几何意义,当当 时时,D第2页假如积分区域假如积分区域 D 为：为：Y型区域型区域 Y型区
2、域特点型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴直线与轴直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.第3页当被积函数均非负均非负在在D上上变号变号时时,所以上面讨论二次积分法依然有效所以上面讨论二次积分法依然有效.因为因为第4页说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序,必要时还能够必要时还能够交换积分序交换积分序.则有则有(2)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域,则则 第5页Eg.1注意两种积分次序注意两种积分次序 计算效果！计算效果！Sol.1 将将D看作看作X型
3、区域型区域,则则Sol.2 将将D看作看作Y型区域型区域,则则第6页Eg.2 计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成闭区域所围成闭区域.Sol.为计算简便为计算简便,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及直线及直线则则 第7页Eg.3Sol.X-型型第8页Eg.4Sol.积不出积分，无法计算。积不出积分，无法计算。第9页 由以上几例可见，为了使二重积分计算较为简由以上几例可见，为了使二重积分计算较为简便，终究选取哪一个积分次序主要由积分区域特点便，终究选取哪一个积分次序主要由积分区域特点来确定，同时还要兼顾被积函数特点，看被积函数来确定，同时还要兼顾被积函数特点，看被积函数对哪一个变量较轻易
4、积分，总之要兼顾积分区域和对哪一个变量较轻易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数特点。被积函数特点。有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次还需交换积分次序序.第10页Eg.5 交换以下积分次序Sol.积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则第11页Sol.积分域由两部分组成积分域由两部分组成:D1D2视为视为Y型区域型区域,则则第12页Eg.7Sol.第13页Sol.第14页Sol.第15页 化二重积分为二次积分时选择积分次序重化二重积分为二次积分时选择积分次序重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差要性，有些题目两种积分次序在计算上难易
5、程度差别不大，有些题目在计算上差异很大，甚至有些题别不大，有些题目在计算上差异很大，甚至有些题目对一个次序能积出来，而对另一个次序却积不出目对一个次序能积出来，而对另一个次序却积不出来来.另外交换二次积分次序：先由二次积分找另外交换二次积分次序：先由二次积分找出二重积分积分区域，画出积分区域，再交换积出二重积分积分区域，画出积分区域，再交换积分次序，写出另一个次序下二次积分分次序，写出另一个次序下二次积分.以上各例说明以上各例说明第16页性质:设函数D 位于位于 x 轴上方部分为轴上方部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,在在
6、D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域 D 关于关于x 轴轴则则则则仍有类似结果仍有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则则有有对称对称,第17页Eg.10 计算其中其中D 由由所围成所围成.Sol.令(如图所表示)显然,第18页Eg.11 求两个底圆半径为R 直角圆柱面所围体积.Sol.设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体顶为其曲顶柱体顶为则所求体积为则所求体积为第19页Sol.曲面围成立体如图曲面围成立体如图.第20页二重积分在直角坐标下计算公式二重积分在直角坐标下计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分
7、次序积分次序）小结Y型型X型型第21页思索与练习1.设设且且求求解解:交换积分次序后交换积分次序后,x,y交交换换第22页2 2解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图第23页将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得3.计算二重积分解解:积分域如图积分域如图,其中其中 D由直线由直线围成围成.第24页证实证实证证:左端左端第25页5.证证:左端左端第26页练练 习习 题题第27页第28页第29页第30页练习题答案练习题答案第31页第32页二、Double Integral in Polar Coordinates第33页 设设 D:则则若若 f 1 则可求得则可
8、求得D 面积面积第34页尤其尤其,若若D:则则D:深入深入,若若则则第35页Sol.第36页Eg.2 计算其中其中Sol.在极坐标系下在极坐标系下原式原式原函数不是初等函数原函数不是初等函数,故本题无法用直角故本题无法用直角因为因为故故坐标计算坐标计算.第37页注:利用例利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用反常积分公式非常有用反常积分公式实际上实际上,当当D 为为 R2 时时,利用例利用例2结果结果,得得故故式成立式成立.第38页Sol.第39页Sol.第40页Sol.A第41页Eg.6 求球体被圆柱面被圆柱面所截得所截得(含在柱面内含在柱面内)立体体积立体体积.Sol.设设由对称性可知由对称性可知第42页二重积分在极坐标下计算公式二重积分在极坐标下计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）小结第43页1.计算二重积分其中其中 D为圆域为圆域解解:利用对称性利用对称性.思索与练习第44页2.解解第45页练练 习习 题题第46页第47页第48页练习题答案练习题答案第49页第50页