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1、第十讲第十讲数值积分数值积分1第1页第十讲主要知识点求积公式、代数精度概念求积公式、代数精度概念牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式求积公式*各种求积公式代数精度各种求积公式代数精度2第2页引言 依据微积分基本定理依据微积分基本定理,只要找到被积函数只要找到被积函数原函数原函数 ，便有牛顿，便有牛顿-莱伯莱伯公式公式 因为大量被积函数找不到用初等函数表示原函数，因为大量被积函数找不到用初等函数表示原函数，而而试验测量或数值计算给出通常是一张函数表，所以牛顿试验测量或数值计算给出通常是一张函数表，所以牛顿-莱莱伯尼兹公式往往不能
2、直接利用。所以有必要研究积分数值伯尼兹公式往往不能直接利用。所以有必要研究积分数值计算问题。计算问题。3第3页数值求积基本思想 依据积分中值定理，依据积分中值定理，就是说，底为就是说，底为 而高为而高为 矩形面积恰恰等于矩形面积恰恰等于所求曲边梯形面积。所求曲边梯形面积。取取 内若干个节点内若干个节点 处高度处高度 ，经过加权平均方法生成平均高度经过加权平均方法生成平均高度 ，这类求积，这类求积公式称机械求积公式：公式称机械求积公式：式中式中 称为求积节点，称为求积节点，称为求积系数，亦称称为求积系数，亦称伴随节点权。伴随节点权。4第4页定积分思想 1.1.求积公式普通形式求积公式普通形式 我
3、们知道，定积分是求和式极限即我们知道，定积分是求和式极限即 。它几何意义是曲边梯形面积。从定义可知，定积它几何意义是曲边梯形面积。从定义可知，定积分基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极分基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用轻易计算量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形轻易计算量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最终面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值
4、；最终取极限就得到积分准确值。取极限就得到积分准确值。5第5页矩形公式将被积函数将被积函数在在a处泰勒处泰勒 展开展开，在在x、a之间，之间，在在上连续，而上连续，而在在上不变号（非负），由积分中值定理知上不变号（非负），由积分中值定理知于是有于是有 两端积分两端积分注意右端第二项，设注意右端第二项，设式称为式称为左矩形公式左矩形公式，其余项为，其余项为，6第6页矩形公式(续)或者写为或者写为同理，有同理，有右矩形公式右矩形公式和和中矩形公式中矩形公式7第7页插值型求积公式 由插值理论可知，任一函数由插值理论可知，任一函数给定一组节点给定一组节点后，后，可用一可用一n次次多项式多项式对其插值，
5、即对其插值，即所以所以当当为拉格朗日插值多项式时，即为拉格朗日插值多项式时，即则则，8第8页插值型求积公式(续)其中其中通常称公式为通常称公式为插值型求积公式插值型求积公式。9第9页代数精度概念 数值求积方法是近似方法，为确保精度，自然希望所提供数值求积方法是近似方法，为确保精度，自然希望所提供求积公式对于求积公式对于“尽可能多尽可能多”函数是准确。函数是准确。假如机械求积公式对假如机械求积公式对 均能准确成均能准确成立但对立但对 不准确，则称机械求积公式含有不准确，则称机械求积公式含有 次次代数精度。代数精度。实际上，令求积公式对实际上，令求积公式对 准确成立，即得准确成立，即得 可见，在求
6、积公式节点给定情况下，求积公式结构问题本可见，在求积公式节点给定情况下，求积公式结构问题本质上是个解线性方程组代数问题。质上是个解线性方程组代数问题。10第10页插值型求积公式代数精度(续1）轻易验证左（右）矩形公式含有零次代数轻易验证左（右）矩形公式含有零次代数精度，中矩形公式含有一次代数精度。对于插精度，中矩形公式含有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项值型求积公式其余项 所以对于次数小于所以对于次数小于n多项式多项式其余项其余项因而插值型求积公式最少含有因而插值型求积公式最少含有n次次代数精度。代数精度。11第11页插值型求积公式代数精度(续2）反之，假如求积公式最少含有反之，假如求积
7、公式最少含有n次次代数精代数精度，则对于插值基函数度，则对于插值基函数（为（为n次次多项式）求积公式准确成立，即多项式）求积公式准确成立，即注意到注意到，上式右端实际上等于，上式右端实际上等于即即求积公式为插值型求积公式。求积公式为插值型求积公式。12第12页插值型求积公式代数精度(续3）定理定理机械求积公式最少有机械求积公式最少有 次代数精度充次代数精度充分必要条件是它是插值型。分必要条件是它是插值型。13第13页梯形公式 利用插值求积公式，结构等距节点插值多项式利用插值求积公式，结构等距节点插值多项式 并以并以近似近似 ，这么就能够得到各，这么就能够得到各种近似公式种近似公式过过两点，作直
8、线两点，作直线以以近似近似得：得：易见，上式几何意义是用梯形易见，上式几何意义是用梯形面积近似代替曲边梯形面积，面积近似代替曲边梯形面积，故称式为梯形求积公式，如图所表示。故称式为梯形求积公式，如图所表示。14第14页梯形公式(续1）定理定理5.25.2设设在区间在区间 上含有二阶连上含有二阶连续导数，则梯形求积公式有误差预计：续导数，则梯形求积公式有误差预计：证实证实：由插：由插值值求求积积公式公式误误差差(5.9)(5.9)式得式得因为因为，且，且，用积分中值定理，存在用积分中值定理，存在使使15第15页梯形公式(续2）显然梯形公式最少含有一次代数精度。能够令显然梯形公式最少含有一次代数精
9、度。能够令则有则有所以梯形公式代数精度为所以梯形公式代数精度为1 1。16第16页梯形公式例题 例例1 1 利用梯形公式利用梯形公式计计算算解：解：17第17页牛顿柯特斯公式 设分设分 为为 等份，步长等份，步长 ，取等分点，取等分点结构出插值型求积公式（其中结构出插值型求积公式（其中 ）称作称作 阶阶牛顿柯特斯牛顿柯特斯公式。公式。一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别是梯形公式一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别是梯形公式和辛甫生公式和辛甫生公式四阶牛顿柯特斯公式，也称为柯特斯公式：四阶牛顿柯特斯公式，也称为柯特斯公式：18第18页几个低阶求积公式代数精度 阶牛顿柯特斯公式最少有阶牛顿柯特斯公式最少有 次代
10、数精度，次代数精度，实际上，二阶辛甫生公式与四阶柯特斯公式在精实际上，二阶辛甫生公式与四阶柯特斯公式在精度方面会取得度方面会取得“额外额外”好处，它们分别有好处，它们分别有3 次和次和5次代数精度。次代数精度。所以，在几个低阶牛顿柯特斯公式中，人们所以，在几个低阶牛顿柯特斯公式中，人们更感兴趣是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫更感兴趣是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。生公式和柯特斯公式。19第19页几个低阶求积公式余项 利用线性插值余项公式以及积分中值定利用线性插值余项公式以及积分中值定理，我们能够得到梯形公式余项：理，我们能够得到梯形公式余项：利用埃尔米特插值余项公式
11、以及积分中值利用埃尔米特插值余项公式以及积分中值定理我们能够得到辛甫生公式余项：定理我们能够得到辛甫生公式余项：另外，我们能够得到以下柯特斯公式分另外，我们能够得到以下柯特斯公式分余项：余项：20第20页复化求积公式 在使用牛顿柯特斯公式时，经过提升阶途在使用牛顿柯特斯公式时，经过提升阶途径并不总能取得满意效果，为了改进求积公式精径并不总能取得满意效果，为了改进求积公式精度，一个行之有效方法是复化求积。度，一个行之有效方法是复化求积。将将 分为分为 等份，步长等份，步长 ，分点，分点所谓复化求积公式，就是先用低阶求积公式求得每所谓复化求积公式，就是先用低阶求积公式求得每个子段个子段 上积分值上
12、积分值 ，然后用，然后用 作为积作为积 近似值。复化梯形公式有以下形式：近似值。复化梯形公式有以下形式：其余项为：其余项为：21第21页 把把区间区间a，b分割成分割成 n 等分等分，分点，分点 得到得到 复化左矩形公式复化左矩形公式 复化求积公式(续1）22第22页复化求积公式(续2）23第23页梯形法递推化梯形法递推化 实际计算中，因为要事先给出一个适当步长往实际计算中，因为要事先给出一个适当步长往往很困难，所以我们往往采取变步长计算方案，即往很困难，所以我们往往采取变步长计算方案，即在步长逐步分半过程中，重复利用复化求积公式进在步长逐步分半过程中，重复利用复化求积公式进行计算，直到所求得
13、积分值满足精度要求为止。行计算，直到所求得积分值满足精度要求为止。设设 表示复化梯形求得积分值，其下标表示复化梯形求得积分值，其下标 是是等分数，由此则有递推公式等分数，由此则有递推公式 其中其中24第24页 梯形法加速 梯形法算法简单，但精度低，收敛速度缓提梯形法算法简单，但精度低，收敛速度缓提高收敛速度以节约计算量呢？高收敛速度以节约计算量呢？由复化梯形公式截断误差公式可得，由复化梯形公式截断误差公式可得，整理得，整理得，由此可知，由此可知，这么导出加速公式是辛甫生公式：这么导出加速公式是辛甫生公式：25第25页龙贝格算法 我们能够在步长逐步分半过程中将粗糙积分值我们能够在步长逐步分半过程
14、中将粗糙积分值逐步加工为精度较高积分值逐步加工为精度较高积分值 ：或者说将收敛迟缓梯形值序列或者说将收敛迟缓梯形值序列 加工成收敛快速加工成收敛快速积分值序列积分值序列 ，这种加速方法称为龙贝格算法。，这种加速方法称为龙贝格算法。26第26页 例例2 2用用RombergRomberg公式计算积分公式计算积分 解：按解：按RombergRomberg公式求积步骤进行计公式求积步骤进行计算，结果以下：算，结果以下：龙贝格算法例题27第27页龙贝格算法例题(续1）28第28页龙贝格算法例题(续2）29第29页 把区间再把区间再分半，重复步骤分半，重复步骤(4)，可算出，可算出结果：结果：至此得至此
15、得 ，因为计算只用小因为计算只用小数点后五位，故准确度只要求到数点后五位，故准确度只要求到0.00001因因此积分此积分 龙贝格算法例题(续3）30第30页高精度求积公式 不失普通性，设不失普通性，设 ，考虑下，考虑下列求积公式列求积公式 我们将会看到，适当选取求积节点我们将会看到，适当选取求积节点能够使上述求积公式含有能够使上述求积公式含有 次代数精度，次代数精度，这种高精度求积公式称为高斯（这种高精度求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式求积节点称为高斯点。公式，高斯公式求积节点称为高斯点。31第31页高斯点基本特征 尽管高斯点确实定标准上能够化为代数问题，不过由尽管高斯点确实定标准
16、上能够化为代数问题，不过由于所归结方程组是非线性，而它求解存在实质性于所归结方程组是非线性，而它求解存在实质性困难，所以我们要从研究高斯点基本特征着手处理高斯困难，所以我们要从研究高斯点基本特征着手处理高斯公式结构问题。公式结构问题。设设 是求积公式中高斯点，令是求积公式中高斯点，令 则有以下结论：则有以下结论：定理定理 节点节点 是高斯点充分必是高斯点充分必要条件是多项式要条件是多项式 与一切次数与一切次数 多项式多项式 正交，即成立正交，即成立32第32页勒让德多项式 以高斯点以高斯点 为零点为零点 次多项式次多项式称为勒让德称为勒让德(Legendre)多项式。多项式。普通，勒让德多项式
17、能够依据普通，勒让德多项式能够依据来求得。来求得。33第33页 牛顿牛顿柯特斯型求积公式是封闭型（区间柯特斯型求积公式是封闭型（区间a,b两端点两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距均是求积节点）而且要求求积节点是等距,受此限制，牛顿受此限制，牛顿柯特斯型求积公式代数准确度只能是柯特斯型求积公式代数准确度只能是n(n为奇数为奇数)或或n+1(n为偶为偶数数)。而假如对求积节点也适当选取。而假如对求积节点也适当选取,即在求积公式中不但即在求积公式中不但Ak而而且且xk也加以选取也加以选取,这就能够增加自由度，从而可提升求积公式这就能够增加自由度，从而可提升求积公式代数准确度。代数准确度。高斯公式高斯公式34第34页高斯公式高斯公式(续1）35第35页高斯公式高斯公式(续2）36第36页高斯公式高斯公式(续3）37第37页高斯高斯勒让德公式公式38第38页高斯高斯勒让德公式公式(续）39第39页带权高斯公式高斯公式40第40页高斯公式例题高斯公式例题41第41页高斯公式例题高斯公式例题(续)42第42页本讲结束！谢谢大家！再见！43第43页