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1、一一一一.无穷积分性质无穷积分性质无穷积分性质无穷积分性质2 无穷积分收敛性质与判别无穷积分收敛性质与判别收敛充要条件是收敛充要条件是:(无穷积分收敛柯西准则无穷积分收敛柯西准则)无穷积分无穷积分 定理定理11.111.1第1页性质性质性质性质2其中右边第一项为定积分其中右边第一项为定积分.第2页注注性质说明：绝对收敛级数本身一定收敛性质说明：绝对收敛级数本身一定收敛我们称收敛而不绝对收敛级数为条件收敛我们称收敛而不绝对收敛级数为条件收敛性质性质3但本身收敛级数但本身收敛级数,不一定绝对收敛不一定绝对收敛第3页二二二二.比较判别法比较判别法比较判别法比较判别法1 1、定理、定理11.2 11.
2、2（比较准则）（比较准则）第4页2 2、推论、推论1 1第5页3 3、柯西判别法、柯西判别法推论推论2 2第6页推论推论3则有则有:(i)(i)当当 时时,收敛收敛;(ii)(ii)当当 时时,发散发散.第7页定理定理11.3(狄利克雷判别法狄利克雷判别法)三三.狄利克雷达判别法与阿贝尔判别狄利克雷达判别法与阿贝尔判别法法若若在在上有界上有界,在在上当上当时单调趋于时单调趋于0,0,则则收敛收敛.第8页证证:由条件设由条件设任给任给因为因为所以存在所以存在当当时时,有有又因又因为单调函数为单调函数,利用积分第二中值定理利用积分第二中值定理,对于任何对于任何存在存在使得使得于是有于是有依据柯西准
3、则依据柯西准则:收敛收敛.第9页定理定理11.4(阿贝尔判别法阿贝尔判别法)例例1 1 讨论讨论与与收收敛敛性性.解解(i)(i)当当时时绝对绝对收收敛敛.因因为为而而当当时时收收敛敛,故由比故由比较较法法则则推知推知收收敛敛.第10页(ii)(ii)当当而而当当时单调趋于时单调趋于故由狄利克雷判别法推知故由狄利克雷判别法推知当当时总是收敛时总是收敛.又因为又因为其中其中满足狄利克雷判别条件满足狄利克雷判别条件,是收敛是收敛,而而是发散是发散,所以当所以当时该无穷积分不是绝对收敛时该无穷积分不是绝对收敛.所以它是条件收敛所以它是条件收敛.第11页例例2.讨论以下无穷积分收敛性，讨论以下无穷积分收敛性，解解(1)：依据柯西判别法依据柯西判别法解解()：依据柯西判别法依据柯西判别法第12页例例3解解依据比较标准，依据比较标准，第13页例例4解解依据极限判别法，所给反常积分发散依据极限判别法，所给反常积分发散例例5解解依据极限判别法，所给反常积分发散依据极限判别法，所给反常积分发散第14页证证即即收敛收敛.第15页例例5解解所以所给反常积分收敛所以所给反常积分收敛.第16页