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1、专题7：圆锥曲线中的距离最值问题（解析版）一、单选题1已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（ ）ABCD1【答案】D【分析】由可得，设，由，可得.【详解】由可得，设，由，可得，所以且，所以，解得，所以，所以点M到y轴的距离为1.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.2已知为椭圆上一点，、为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）AB3C6D2【答案】D【分析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程组，解方程组求得，进而求得两个向量的数量积.【详解】根据椭圆方程可知，设，由椭圆定义和余弦定理得，解得，故.故选：D.
2、【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查余弦定理解三角形，考查向量的数量积运算，属于中档题.3已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由的平分线交长轴于点，得到，再结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围.【详解】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，由的平分线交长轴于点，显然，又，所以，即，由，得，设，则，而，即，也就是，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，以及圆的方程、角平分线性质等知识的综合应用，着重考查
3、推理论证能力及运算求解能力，属于难题.4过抛物线的焦点作倾斜角为30的直线，与抛物线交于、两点（点在轴左侧），则的值为（ ）A3BC1D【答案】B【分析】首先设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出，即可得出结论【详解】设直线l的方程为：，由，代入，可得，从而，故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，得出是解题的关键，属于简单题目.5已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）A3B4CD【答案】B【分析】利用抛物线的定义，将的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案.【详解】因为抛物线上的点到
4、准线的距离等于到焦点的距离所以过焦点作直线的垂线则到直线的距离为的最小值，如图所示：所以故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.6过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，O为坐标原点，则（ ）ABC4D【答案】A【分析】画出图像,分别作关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作关于准线的垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有.设,故,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关
5、系求解,属于中档题.7已知为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，则的最小值为（ ）A4B3C2D1【答案】D【分析】设出的坐标，利用距离公式转化求解的表达式，利用三角函数的最值求解的最小值.【详解】解：由题意：椭圆，设，是椭圆的两个焦点，.，当且仅当时，取等号.即的最小值为1.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力.属中档题，8已知分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，且轴.若点是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由题意可知，代入椭圆得，继而得出，设，即可表示出，进而求出范围.【详解】由题意可知，将代入椭圆方
6、程得，解得，所以椭圆方程为，所以椭圆的焦点为，由在圆上，设，所以，所以的取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的长度关系，属于中档题.9抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是（ ）ABCD【答案】C【分析】设，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围【详解】设，在上的射影分别为，则，故，又，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，故故选：C【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题10椭圆上
7、的点到直线：的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】A【分析】设点的坐标为，由点到直线的距离公式、三角恒等变换即可得解.【详解】设点的坐标为，其中，则点到直线的距离，其中，当时，等号成立，所以点到直线：的距离的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中三角换元的应用及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（ ）.ABCD【答案】A【分析】求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值【详解】解：抛物线的准线方程为，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代
8、入抛物线方程可得不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为故选：A【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题12已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）A9BC8D7【答案】C【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值.【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，所以，当且仅当，三点共线时取得等号故选：C.【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距
9、离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.二、填空题13设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为_.【答案】5【分析】求出抛物线的准线方程，把到焦点距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线性质得最小值【详解】如图，过作与准线垂直，垂足为，则，易知当三点共线时，最小，最小值为的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离14已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，若为线段的中点，为坐标原点，连接并延长，交抛物线于点，则的取值范围为_【答案】【分析】联立，设，求出，
10、 ，再求出，即得解.【详解】抛物线的焦点，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，消去，整理得：，设，则，则，则直线的方程为，联立，解得：，由，则，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【详解】由已知得，故，的面积为，又，又，.即的取值范围为.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的简
11、单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题16已知椭圆：（），为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为，、为左、右顶点，是椭圆上任意一点，直线和满足，过作圆：的两条切线，切点分别为、，则的最小值为_【答案】【分析】设，代入椭圆方程，另外用表示出，从而可得，再结合椭圆中的关系，进而可求出，明确椭圆的方程，根据椭圆的性质可得当为椭圆的上顶点时，所求数量积最小，结合二倍角的余弦公式即可求出最小值.【详解】解：由题意知，不妨设，则，整理得，又，所以联立两方程可得，即，又，解得，即椭圆方程为，因为表示以为圆心，为半径的圆，则，因为，所以到距离越大，越大，此时越大，则越小，设
12、，则，到圆心距离，因为，所以当时，取最大值，即到距离最大，此时，则，所以，则故答案为: 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解，考查了椭圆的几何性质，考查了平面向量的数量积公式，考查了斜率公式，考查了二倍角的余弦公式，属于中档题.本题的关键是根据已知条件求出椭圆的标准方程.三、解答题17如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：和椭圆：，其中，的离心率分别为，且满足，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）与椭圆相切的直线交椭圆与点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，可得得，化为，从而， ，则直线的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得，从
13、而可得答案；（2）当直线的斜率不存在时，易得，当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆：联立并消去，利用韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合配方法可得答案.【详解】（1）由题意知，因为，所以，将等号两边同时平方，得，即，所以，又，所以，所以，所以直线的方程为，与椭圆：联立并消去，得，整理得，所以，因为，所以，得，所以，椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，易得.当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆：联立并消去，得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得，将直线与椭圆方程联立并消去，得，由式可得.设，则，所以，设，则，所以当，即时，最大，且最大值为.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件
14、确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.18设，分别是椭圆的左、右焦点，焦点坐标分别为，（1）求椭圆C的标准方程，离心率e；（2）直线，椭圆C上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据焦点坐标和的取值先计算出的值，则椭圆的方程可求，离心率也可求；（2）考虑直线与椭圆相切的情况，由此分析出椭圆上的点到已知直线的最小距离.【详解】（1）因为，所以，所以椭圆
15、方程为：，离心率；（2）设存在一点满足条件，设与平行的直线，当直线与椭圆相切时则有：，所以，所以，所以，所以，取切线，此时切点到直线的距离最小，所以.【点睛】本题考查椭圆方程求解、离心率计算、椭圆上点到定直线的最短距离，主要考查学生的理解和计算能力，难度一般.19已知椭圆E：过点，离心率为（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线分别与轴相交于点，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意得，再离心率即可解得答案；（2）设，则，将直线与椭圆方程联立得，故，进而得，故【详解】解：（1）因为椭圆过点，所以；又，所以.即椭圆方程为.（2）法一：设，
16、则由，得，所以，在直线中，令，则，即，直线，令， 则，即，所以，即 （2）法二：设，则，由A，B，P三点共线，则有，即所以；由B，M，Q三点共线，则有，即所以所以 因为A，B在椭圆E上，所以，所以，同理，代入（1）中，得即【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，是中档题.20在直角坐标系xOy中，曲线D的参数方程为（t为参数，）点，点，曲线E上的任一点P满足以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线D的普通方程和曲线E的极坐标方程；（2）求点P到曲线D的距离的最大值【答案】（1）曲线D的普通方程为，曲线E的极坐标方程为；（2）【分析】（1）消参得到曲
17、线D的普通方程，利用两点间的距离公式求得曲线E的直角坐标方程，并利用极值互化公式化为极坐标方程；（2）根据直角坐标系中的普通方程，判定曲线D，E分别为直线和圆，并求得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求得E的圆心到直线D的距离，判定直线与圆的位置关系，进而得到所求.【详解】解：（1）由曲线D的参数方程，代入消参易得曲线D的普通方程为设为所求轨迹上任意一点，由已知式子有，经化简得，由代入方程得曲线E的极坐标方程为（2）由（1）知曲线E的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，曲线D为直线，所以点E到直线D的距离，故直线与圆相离，所以距离的最大值为圆心E到直线D的距离加半径，即【点睛】本题考查参数与普通
18、方程的转化，极坐标方程的转化，求曲线的方程，涉及两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查与圆和直线有关的最值问题，属中档题，难度一般.21已知，是椭圆的左、右焦点，点是的上顶点，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，.若与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先，由线的斜率求得，再求得后可得椭圆方程；（2）当，的斜率都存在时，设，代入椭圆方程，化简可得，恒成立，设，由韦达定理得，计算弦长，同理得，相加是的函数，由函数的性质可得取值范围，当，中有一个斜率不存在时，直接计算出，最后可得结论【详解】解：（1）由题意知，则，又，
19、可得，所以的方程为.（2）当，其中一条的斜率不存在，其中一条的斜率为0时，两条弦长分别为，则.当，的斜率都存在时，设，联立，化简可得，恒成立，设，所以，所以.同理可得，所以.令，则，根据得.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，设直线方程，设交点坐标，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得（或），由弦长公式计算弦长，最终目标式化为参数的函数，从而可求得其范围22已知椭圆的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于、两点，求的最小值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）根据题意求得、的值，由此可得出椭圆的方程；（2）设点、，由直线与圆相切得出，由两点间的距离公式可得，同理得出，再将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】（1）右焦点，所以，又，故，所以，所以椭圆；（2）直线与圆相切，则，.设、，由于点在椭圆上，则，可得.则，同理，.联立，得显然成立 ，则，又，故，令，则，所以，.所以的最小值为2.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.25原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！