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1、专题专题 7 7：圆锥曲线中的距离最值问题（解析版）：圆锥曲线中的距离最值问题（解析版）一、单选题一、单选题1 1已知抛物线已知抛物线C C：y y2 2=2=2x x的焦点为的焦点为 F F，点，点MM，N N分别在抛物线分别在抛物线 C C上上.若若MF 2FN，则，则点点 MM到到 y y轴的距离为（轴的距离为（）A A12B B35C C23D D1 1【答案】【答案】D【分析】21y12y2由y 2x可得F(,0)，设M(,y1)，N(,y2)，由MF 2FN，可得x11.2222【详解】21y12y2由y 2x可得F(,0)，设M(,y1)，N(,y2)，22222y21y121由
2、MF 2FN，可得(,y1)2(,y2)，22221y122所以 y21且y1 2y2，22y123y12y122所以，解得y1 2，所以x11，2242所以点 M到 y轴的距离为 1.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.x2y22 2已知已知P为椭圆为椭圆1上一点，上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若为该椭圆的两个焦点，若F1PF2 60，43则则PFPF2（）1A A32B B3 3C C6 6D D2 2【答案】【答案】D【分析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程组，解方程组求得PF1,PF2，进而求得两个向量的数量积.【详解】根据椭圆
3、方程可知a 2，2a 4，c 1,2c 2mn 2a设PF1 m,PF2 n，由椭圆定义和余弦定理得，解2222c m n 2mncos60 1得mn2，故PF1PF2 mncos60 4 2.2故选：D.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查余弦定理解三角形，考查向量的数量积运算，属于中档题.x2y23 3已知椭圆已知椭圆C:221a b 0的两个焦点的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点与短轴的两个端点B1，B2ab都在圆都在圆x y 1上，上，P是是C上除长轴端点外的任意一点，上除长轴端点外的任意一点，F1PF2的平分线交的平分线交C的的长轴于点长轴于点M，则，则MB1 MB2的
4、取值范围是（的取值范围是（）A A2,5【答案】【答案】B【分析】由F1PF2的平分线交C长轴于点M，得到圆的定义，得到MB1 MB2 2【详解】由椭圆C的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x y 1上，得2222B B2,6C C2,7D D2,2 2PF1 PF2FM F2M1，再结合椭PF2F2M21，进而求得MB1 MB2的取值范围.x2b c 1，则a b c 2，所以椭圆C的方程为 y21，故B10,1，2222B20,1，由F1PF2的平分线交C长轴于点M，显然，SPFN1SPF2MF1MF2M，又SPFN1SPF2M1PF1PM sinF1PMPF12，1PF2
5、PM sinF2PMPF22PF1F1MPF1 PF2F1M F2M所以，即，PF2F2MPF2F2MMF1 MF2 2c 2，得PF2由PF1 PF2 2a 2 2，2 F2M，设M,011，则F2M 1，而ac PF2 ac，即2 1 PF22 1，也就是2 1212 1，所以22，22所以MB1 MB2 221，0 2，12所以2 MB1 MB26.故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，以及圆的方程、角平分线性质等知识的综合应用，着重考查推理论证能力及运算求解能力，属于难题.4 4 过抛物线过抛物线x 2pyp 0的焦点的焦点F作倾斜角为作倾斜角为 3030的直线，的直线
6、，与抛物线交于与抛物线交于A、B两两2点（点点（点A在在y轴左侧）轴左侧），则，则AF的值为（的值为（）BF13C C1 1D DA A3 3【答案】【答案】B【分析】B B12首先设出直线 l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定pAF2，即可得出结论义得出FBy p22y1【详解】设直线 l的方程为：x p 3y，Ax1,y1，Bx2,y2，2由x p 3y，代入x2 2py，可得12y220py 3p2 0，2 y13pp，y2，26py 1AF12从而，p3FBy22故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，得出pAF
7、2是解题的关键，属于简单题目.FBy p22y125 5 已知抛物线已知抛物线y 4x上一点上一点P到准线的距离为到准线的距离为d1，到直线到直线l：4x3y 16 0为为d2，则则d1d2的最小值为（的最小值为（）A A3 3【答案】【答案】B【分析】利用抛物线的定义，将d1d2的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案.【详解】因为抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离所以过焦点F作直线4x3y 16 0的垂线则F到直线的距离为d1d2的最小值，如图所示：B B4 4C C5D D7所以d1d2min故选：B【点睛】|4016|4 322 4本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.6
8、6过抛物线过抛物线C:x 2pyp 0的焦点的焦点 F F的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于A、B两点，若两点，若2AF（）3 AF BF，O O为坐标原点，则为坐标原点，则OFA A43B B34C C4 4D D54【答案】【答案】A【分析】画出图像,分别作A,B关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作A,B关于准线的垂线,垂足分别为D,E,直线AB交准线于C.过A作BE的垂线交BE于G,准线与y轴交于H.则根据抛物线的定义有AF AD,BF BE.设AF AD t,BF BE 3t,故BG 2t,AB 4t,故cosABG BG1.AB2故BC
9、 2BE 6t,故FH是CBE边BE的中位线,故OF 113FH BE t.244AF故OFt43t3.4故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.x27 7 已知已知P为椭圆为椭圆则则|PF1|PF2|的的 y21上任意一点，上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，4最小值为（最小值为（）A A4 4【答案】【答案】D【分析】设出P的坐标，利用距离公式转化求解|PF1|PF2|的表达式，利用三角函数的最值求解|PF1|PF2|的最小值.B B3 3C C2 2D D1
10、1【详解】x2解：由题意：椭圆设P(2cos,sin)，F1，F2是椭圆的两个焦点(3，y21，40).PF1 PF2(2cos3)2(sin)2(2cos3)2(sin)2(3cos244 3cos)(3cos244 3cos)(3cos24)248cos2(3cos24)2 43cos21，当且仅当cos 1时，取等号.即|PF1|PF2|的最小值为 1.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力.属中档题，x2y28 8已知已知F1 F2分别是椭圆分别是椭圆C:221(a b 0)的左的左 右焦点，过右焦点，过F1的直线的直线l交椭交椭a
11、b22|DF1|5|F1E|，圆于圆于D E两点，两点，且且DF2 x轴轴.若点若点P是圆是圆O:x y 1|DF2|2，上的一个动点，则上的一个动点，则PF1 PF2的取值范围是（的取值范围是（）5A A3，5B B2，4C C2，4D D3，【答案】【答案】A【分析】由题意可知D c,2,E7222c,a 8,b 4，继而得出，代入椭圆得55F1(2,0),F2(2,0)，设P(cos,sin)，即可表示出PF1 PF2，进而求出范围.【详解】由题意可知D c,2,E72c,，55c221a2b222a 8,b 4，将D,E代入椭圆方程得，解得249c2125a225b2x2y2所以椭圆方
12、程为1，84所以椭圆的焦点为F1(2,0),F2(2,0)，由P在圆x y 1上，设P(cos,sin)，所以PF1 PF2(cos2)2sin2(cos2)2sin2所以PF1 PF2的取值范围为3,5.故选：A.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的长度关系，属于中档题.9 9抛物线抛物线x2 4y的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足是抛物线上的两个动点，且满足222516cos2，AF BF，P为线段为线段AB的中点，的中点，设设P在在l上的射影为上的射影为Q，则则2333PQ的最大值是的最大值是（）ABD DA AB BC C2232【答案】【
13、答案】C【分析】设AF a，BF b，连接 AF、BF，由抛物线定义得PQ ab，由勾股定理可2PQ得|AB|=a b，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取AB222值范围【详解】设AF a，BF b，A，B在l上的射影分别为M，N，则AF AM，BF BN，故PQ 又AF BF，所以AB 22222AM BNab，22AF BFa2b2，2(ab)2(ab)2因为a b (ab)2ab (ab)，22所以a2b22(ab)，当且仅当a b时等号成立，2PQabab2故AB22 a2b222(ab)2故选：C【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最
14、值等知识，属于中档题x2y21010椭圆椭圆1上的点上的点P到直线到直线l：4x3y 18 0的距离的最小值为（的距离的最小值为（）94A A186 55B B1855C C1855D D186 55【答案】【答案】A【分析】设点P的坐标为3cos,2sin，由点到直线的距离公式、三角恒等变换即可得解.【详解】设点P的坐标为3cos,2sin，其中0,2，则点P到直线l的距离d 12cos6sin1856 5sin1856 5sin186 5 18，其中tan 2，55当sin 1时，等号成立，所以点P到直线l：4x3y 18 0的距离的最小值为故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中三角换元的应用
15、及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.1111已知抛物线已知抛物线C:y 6 5 18.512x的焦点为的焦点为F，O为坐标原点，点为坐标原点，点A在抛物线在抛物线C上，且上，且4AF 2，点，点P是抛物线是抛物线C的准线上的一动点，则的准线上的一动点，则PA PO的最小值为（的最小值为（）.A A13【答案】【答案】A【分析】求出A点坐标，做出O关于准线的对称点M，利用连点之间相对最短得出|AM|为B B2 13C C3 13D D2 6|PA|PO|的最小值【详解】解：抛物线的准线方程为y 1，|AF|2，A到准线的距离为 2，故A点纵坐标为 1，把y 1代入
16、抛物线方程可得x 2不妨设A在第一象限，则A(2,1)，点O关于准线y 1的对称点为M(0,2)，连接AM，则|PO|PM|，于是|PA|PO|PA|PM|AM|故|PA|PO|的最小值为|AM|22 3213故选：A【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题x2y20，B是圆是圆x y 41上的点，点上的点，点P在双曲线在双曲线1212已知已知A3,1的右支的右支4522上，则上，则PA PB的最小值为（的最小值为（）A A9 9【答案】【答案】C【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出PA PB的最小值.【详解】如图所示：设圆心为C
17、，双曲线右焦点为A3,0，且PB PC 1，PA PA 4，所以PB PA PC PA 3 AC 38，当且仅当A，B，C三点共线时取得等号故选：C.B B2 5 4C C8 8D D7 7【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.二、填空题二、填空题1313设设P是抛物线是抛物线y2 4x上的一个动点，上的一个动点，F是焦点，若是焦点，若B4,2，则，则PB PF的最的最小值为小值为_._.【答案】【答案】5【
18、分析】求出抛物线的准线方程，把P到焦点F距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线性质得最小值【详解】如图，过P作PM与准线x 1垂直，垂足为M，则PF PM，PF PB PM PB，易知当B,P,M三点共线时，PM PB最小，最小值为4(1)5PB PF的最小值为 5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离1414已知过抛物线已知过抛物线C：y28x的焦点的焦点F的直线的直线l交抛物线交抛物线C于于A、B两点，若两点，若P为为线段线段AB的中点，的中点，O为坐标原点，连接为坐标原点，
19、连接OP并延长，交抛物线并延长，交抛物线C于点于点Q，则，则值范围为值范围为_【答案】【答案】0,【分析】OPOQ的取的取12y k(x2)联立2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，Q(x3，y3)，求出y 8x|OP|142(k2 2)2(k2 2)2y x0 x，再求出，即得解.2302|OQ|k 2k2kk【详解】抛物线C:y 8x的焦点F(2,0)，直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为y k(x 2)，联立2y k(x2)2222，消去y，整理得：k x 4(k 2)x 4k 0，2y 8x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，Q(x3
20、，y3)4x1 x22(k22)4(k22)y k(x 2)x 则x1 x2，则，00022k2kkkOQy02k2，x0k 22kxy 22k2(k2 2)2x，联立k 2，解得：x3则直线OQ的方程为y 2，2k 2k2y 8x|OP|x0112，由k2 0，则|OQ|x3k 22所以OPOQ的取值范围为0,.12故答案为：0,【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12x2y21515已知椭圆已知椭圆221a b 0的短轴长为的短轴长为 2 2，上顶点为，上顶点为A，左顶点为，左顶点为B，左、，左、ab右焦点分别是右
21、焦点分别是F1，F2，且，且F1AB的面积为的面积为23，点，点P为椭圆上的任意一点，则为椭圆上的任意一点，则211的取值范围是的取值范围是_._.PF1PF2【答案】【答案】1,4【分析】b，c 的值，根据F1AB的面积和短轴长得出a，从而得出PF得到1的范围，关于PF1的函数，从而求出答案【详解】由已知得2b 2，故b 1，F1AB的面积为11PF1PF223，2123222，ac 23，又a c acacb 1，acb 22a 2，c 3，2a4PF1 PF211，PF14 PF1 PF124 PF1PF1PF2PF1PF2又2 3 PF1 23，1 PF14 PF1 4，2111 4.
22、PF1PF211即的取值范围为1,4.PF1PF2故答案为1,4【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题x2y21616已知椭圆已知椭圆C1：221（a b 0），F1为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距为左焦点，椭圆上的点到左焦点的距ab离最大值为离最大值为23，A1、A2为左、右顶点，为左、右顶点，P是椭圆是椭圆G上任意一点，直线上任意一点，直线PA1和和PA2满足满足kPA1kPA2 12，过，过P作圆作圆C2：x2y3 2的两条切线的两条切线PM，PN切点分切点分4别为别为M、N，则，则C2M C2N的最小值为的最小值为_【答案】【答
23、案】【分析】2b1设Px0,y0，代入椭圆方程，另外用a表示出kPA1kPA2，从而可得2，再结合a432椭圆中a,b,c的关系，进而可求出a,b,c，明确椭圆的方程，根据椭圆的性质可得当P为椭圆的上顶点时，所求数量积最小，结合二倍角的余弦公式即可求出最小值.【详解】解：由题意知，A2F1a,0,A2a,0，不妨设Px0,y0，1 ac 23，Ay0y1x02y02b220，则221，整理得y02x02a2，又kPA1kPA2x0a x0a4aab所以联立两方程可得kPAkPA12b21b21 2，即2，又ac 23，a4a4x2 y21，c a b，解得a 2,b 1,c 3，即椭圆方程为4
24、222因为x2y3 2表示以0,3为圆心，2为半径的圆，则C2M C2N 22，因为cosMC2P MC22，所以P到C2距离越大，MC2P越大，PC2PC2此时MC2N 2MC2P越大，则cosMC2N越小，2x02设Px0,y0，则 y01，到圆心C2距离422d x0y033y06y013，22因为1 y01，所以当y01时，3y06y013 3y0116取最大值，2即P0,1到C2距离最大，此时PC2 4，则cosMC2P 22，4所以cosMC2N cos2MC2P 2cos MC2P1，则C2M C2N C2M C2N cosMC2N 343322 24故答案为:【点睛】32本题考
25、查了椭圆标准方程的求解，考查了椭圆的几何性质，考查了平面向量的数量积公式，考查了斜率公式，考查了二倍角的余弦公式，属于中档题.本题的关键是根据已知条件求出椭圆的标准方程.三、解答题三、解答题x2y21717如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆中，已知椭圆C1：221和椭圆和椭圆C2：abx2y221，其中，其中a c b 0，a2 b2c2，C1，C2的离心率分别为的离心率分别为e1，e2，且，且2cb满足满足e1:e2 2:3，A，B分别是椭圆分别是椭圆C2的右、下顶点，直线的右、下顶点，直线AB与椭圆与椭圆C1的另一的另一个交点为个交点为P，且，且PB 18.5（
26、1 1）求椭圆）求椭圆C1的方程；的方程；（2 2）与椭圆）与椭圆C2相切的直线相切的直线MN交椭圆交椭圆C1与点与点M，N，求，求MN的最大值的最大值.x2y23 2.【答案】【答案】（1）（2）1；932【分析】（1）由e1:e2 2:3，可得得3c48a2c24a4 0，化为a 232c，从而a23b，c 2b，A2b,0，B0,b，则直线AB的方程为y 2xb，与椭圆方程23，从而可得答案；联立，利用弦长公式求得b（2）当直线MN的斜率不存在时，易得MN 2，当直线MN的斜率存在时，设直x2y2线MN：ykxmk 0，与椭圆C2：1联立并消去y，利用韦达定理、63弦长公式表示出弦长，结
27、合配方法可得答案.【详解】2222cc b2c a（1）由题意知e1，e2，accc2c2a2因为e1:e2 2:3，所以3 2，2a 2c2a23c2，ac将等号两边同时平方，得3c48a2c24a4 0，即2a c22322222a 3c 0a c，所以23b，c 又a2 b2c2，所以a所以直线AB的方程为y 222b，所以A2b,0，B0,b，2xb，222xy22xb 3b与椭圆C1：221联立并消去y，得x 3，3bb26 2b b6 2P,x 0整理得1，x2，b，所以55518因为PB，所以5得b 26 2b18，b5b05523，所以a 3，22xy椭圆C1的方程为1.93（
28、2）当直线MN的斜率不存在时，易得MN 2.x2y2当直线MN的斜率存在时，设直线MN：ykxmk 0，与椭圆C2：163联立并消去y，得12k2x24knx2m26 0，22因为直线MN与椭圆C2相切，所以 16k m 4 12k整理得6k 3m 0*，2222m26 0，222将直线MN与椭圆C1方程联立并消去y，得13kx 6kmx3m 9 0，由*式可得 36k m 4 13k2223m29129k23m236k2.6km3m29设MxM,yM，NxN,yN，则xM xN，xMxN，13k213k236k2 6所以MN 1kxM xN 1k 213k22k4k213k22，t2t 21
29、193 2，3 2，2设13k t，则t 1，MN 62 2 229t2t482所以当t 4，即k 1时，MN最大，且最大值为【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组，解出23 2.2a,b,，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.x2y21818设设F1，F2分别是椭圆分别是椭圆C:221(a b 0)的左、右焦点，焦点坐标分别为的左、右焦点，焦点坐标分别为abF14,0，F24,0，a
30、 5（1 1）求椭圆）求椭圆 C C的标准方程，离心率的标准方程，离心率 e e；（2 2）直线直线l:4x 5y 40 0，椭圆椭圆 C C上是否存在一点，上是否存在一点，它到直线它到直线 l l的距离最小？最小距的距离最小？最小距离是多少？离是多少？4x2y215 41.【答案】【答案】（1）（2）1，e；525941【分析】（1）根据焦点坐标和a的取值先计算出b2的值，则椭圆的方程可求，离心率也可求；（2）考虑直线与椭圆相切的情况，由此分析出椭圆上的点到已知直线的最小距离.【详解】a2 25x2y2（1）因为c 4,a 5，所以2，所以椭圆方程为：1，离22b a c 9259心率e c
31、4；a5（2）设存在一点满足条件，设与l:4x 5y 40 0平行的直线l:4x5y m 0，4x5ym 0 x2y2当直线l与椭圆，1相切时则有：229x 25y 225259所以25x28mxm2225 0，所以 64m 100 m 225 0，所以m25，所以l:4x5y 25 0，22取切线4x5y25 0，此时切点到直线l:4x 5y 40 0的距离最小，所以dmin【点睛】本题考查椭圆方程求解、离心率计算、椭圆上点到定直线的最短距离，主要考查学生的理解和计算能力，难度一般.4025425215 41.41x2y221919已知椭圆已知椭圆 E E：221(a b 0)过点过点0,1
32、，离心率，离心率e为为ab2（1 1）求椭圆方程；）求椭圆方程；（2 2）已知不过原点的直线已知不过原点的直线l：y kxtk 0与椭圆与椭圆E相交于相交于A,B两点，两点，点点A关于关于x轴的对称点为轴的对称点为M，直线，直线AB,MB分别与分别与x轴相交于点轴相交于点P,Q，求，求OP OQ的值的值x2【答案】【答案】（1）y21；（2）OP OQ 2.2【分析】（1）根据题意得b 1，再离心率e c22,a b2c2即可解得答案；a2（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则M(x1,y1)，将直线与椭圆方程联立得4kt2t22(12k)x 4ktx 2t 2 0，故x1 x2，x1
33、x2，进而得12k212k2222t2kP(,0)，Q(,0)，故OP OQ 2kt【详解】x2y2解：（1）因为椭圆E:221(a b 0)过点0,1，所以b 1；ab又e c22,a b2c2，所以a2 2.a2x2即椭圆方程为 y21.2（2）法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则M(x1,y1)x2 y21222由 2，得(12k)x 4ktx 2t 2 0，y kxt 16k2t24(12k2)(2t22)04kt所以x1 x2，212k2t22x1x212k2在直线l:y kxt(k 0)中，令y 0，则x 直线lMB:y y2tt，即P(,0)，kky2 y1(x x2)
34、，令y 0，x2 x1则x x1y2 x2y12kx1x2t(x1 x2)4k2k2k,0)，即Q(y1 y2k(x1 x2)2t2tttt2k()2，kt所以OP OQ 即OP OQ 2（2）法二：设A(m,n),B(s,t),M(m,n),P(p,0),Q(q,0)，则AB(sm,tn),AP(pm,n)，MB(sm,t n),MQ(qm,n)由 A，B，P 三点共线，则有AB/AP，即所以p mntnmsm pn(ms)nsmt；ntnt由 B，M，Q三点共线，则有MB/MQ，即t nnsmqm所以q mn(sm)mt nst nt nnsmt mt nsn2s2m2t2所以OP OQ
35、pq ntt nn2t2因为 A，B在椭圆 E 上，(1)m2所以n21，所以m2 22n2，同理s2 22t2，2n2s2m2t2n2(22t2)(22n2)t2 2代入（1）中，得OP OQ 2222n tn t即OP OQ 2【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，是中档题.2020在直角坐标系在直角坐标系 xOyxOy中，曲线中，曲线 D D的参数方程为的参数方程为x t（t t为参数，为参数，tR R）点）点y t 2|PA|1以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x x|PB|3A1,0，点，点B1,0，曲线，曲线 E E上的任一点上的任一点 P P满足满
36、足轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系（1 1）求曲线）求曲线 D D的普通方程和曲线的普通方程和曲线 E E的极坐标方程；的极坐标方程；（2 2）求点）求点 P P到曲线到曲线 D D的距离的最大值的距离的最大值【答案】【答案】（1）曲线 D 的普通方程为x y2 0，曲线 E 的极坐标方程为225cos2 0；（2）【分析】613 28（1）消参得到曲线 D 的普通方程，利用两点间的距离公式求得曲线E 的直角坐标方程，并利用极值互化公式化为极坐标方程；（2）根据直角坐标系中的普通方程，判定曲线 D，E 分别为直线和圆，并求得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求得E 的圆
37、心到直线 D的距离，判定直线与圆的位置关系，进而得到所求.【详解】解：（1）由曲线 D 的参数方程，代入消参易得曲线D的普通方程为x y2 0设Px,y为所求轨迹上任意一点，(x1)2 y21，由已知式子有(x1)2 y29经化简得x y 225x1 0，2由x cos522代入方程x y x1 0得曲线 E的极坐标方程为2y sin225cos2 0（2）由（1）知曲线 E 的轨迹为以点E曲线 D为直线x y2 0，35,0为圆心，r 为半径的圆，445213 23所以点 E 到直线 D的距离，4d r842故直线与圆相离，所以距离的最大值为圆心E到直线 D 的距离加半径，即d r【点睛】本
38、题考查参数与普通方程的转化，极坐标方程的转化，求曲线的方程，涉及两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查与圆和直线有关的最值问题，属中档题，难度一般.613 28x2y2,0是椭圆是椭圆C:221a b 0的左、的左、右焦点，右焦点，点点P是是2121已知已知F11,0，F21abC的上顶点，且直线的上顶点，且直线PF2的斜率为的斜率为 3.（1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（2 2）过点）过点F2作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1，l2.若若l1与与C交于交于A，B两点，两点，l2与与C交于交于D，E两点，求两点，求AB DE的取值范围的取值范围.48x2y2【答案】【答
39、案】（1）（2）,7.1；743【分析】（1）首先c 1，由线PF2的斜率求得b，再求得a后可得椭圆方程；（2）当l1，l2的斜率都存在时，设l1:x my1m 0，代入椭圆方程，化简可得3m24 y26my9 0，恒成立，设Ax1,y1，Bx2,y2，由韦达定理得6m9y y，计算弦长AB，同理得CD，相加AB DE12223m 43m 4y1 y2是m的函数，由函数的性质可得取值范围，当l1，l2中有一个斜率不存在时，直接计算出AB DE，最后可得结论【详解】解：（1）由题意知c 1，b 3，则b 3，c又a2 b2c2，可得a 2，x2y2所以C的方程为1.43（2）当l1，l2其中一条
40、的斜率不存在，其中一条的斜率为0时，两条弦长分别为2a，2b2，a2b2则AB DE 2a 7.ax my1当l1，l2的斜率都存在时，设l1:x my1m 0，联立x2y2，化简可得13 43m24 y26my9 0，恒成立，设Ax1,y1，Bx2,y2，所以y1 y26m9y y，123m243m24所以AB 1m2y1 y2 1m2212m21366m.2223m 43m 43m 4同理可得DE 12m214m 32，12m2112m21所以AB DE 223m 44m 322m 1112.12m 12842223m 44m 33m 44m 3令m 1t1,，2222m 1tAB DE
41、8484则3m244m233t 14t 1t21，842842114912t t 14 t2148AB DE,7.0,1根据得t7综上，AB DE的取值范围是,7.7【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，设直线方程，设交点坐标(x1,y1),(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得48x1 x2,x1x2（或y1 y2,y1y2），由弦长公式计算弦长，最终目标式化为参数的函数，从而可求得其范围x2y232222已知椭圆已知椭圆C:221a b 0的离心率为的离心率为e，右焦点，右焦点Fab2（1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；3
42、,0.（2 2）若直线若直线l:y kxmkm0与圆与圆O:x y b相切，相切，且与椭圆且与椭圆C交于交于M、N222两点，求两点，求MF NF的最小值的最小值.x2【答案】【答案】（1）（2）2.y21；4【分析】（1）根据题意求得a、b的值，由此可得出椭圆C的方程；（2）设点Mx1,y1、Nx2,y2，由直线l与圆O相切得出m2 k21，由两点间的距离公式可得MF 233x1，同理得出NF 2x2，再将直线l的方程与椭22圆C的方程联立，利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得MF NF的最小值.【详解】（1）右焦点Fc33,0，所以c 3，又e，故a 2，所以b2 a2c21，a2x2
43、所以椭圆C:y21；4222（2）直线l:y kxmkm0与圆O:x y b相切，则mk 12b 1，m2 k21.x12x1222设Mx1,y1、Nx2,y2，由于点M在椭圆C上，则 y11，可得y11.44则MF x 312 y 21x 312x123x12312 3x1 4 x12442 23x1，2同理，NF 233x2，MF NF 4x1 x2.22y kxm22214kx 8kmx4m 4 0，0显然成立，则联立x2，得2 y 1 4x1 x2 8km，214k又km 0，故x x 128 km1 4k28 k2k214k 12，22344 311令t 4k211，则x1 x2 2 12 2 3，tt33t3所以，MF NF 43x1 x2 2.2所以MF NF的最小值为 2.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.