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1、 专题09 解三角形 一、解三角形问题知识框架 二、解三角形题型分析（一） 三角形中的求值问题 1正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理2求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键3已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程
2、求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解4. 以平面几何为载体的解三角形问题解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围1.例题【例1】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA，且bc，则b( )A B2 C2 D3【例2】在中，角，的对边分别为，若，则角（ ）ABCD【例3】在中，角，的对边分别是，则的面积为_【例4】（2017全
3、国高考真题（理）ABC的内角的对边分别为, 已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.【例5】如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019全国高考真题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=（ ）A6B5C4D3【练习2】（2018全国高考真题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则ABC的面积为_【练习3】 在中，已知边上的中线
4、，且，成等差数列，则的长为_.【练习4】在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1 B C D2【练习5】已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积S【练习6】 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ccos B(3ab)cos C(1)求sin C的值；(2)若c2，ba2，求ABC的面积（二）三角形中的最值或范围问题 解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围1.例题【例1】在ABC中，已知c
5、2，若sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，则ab的取值范围为_【例2】已知在锐角中，角，的对边分别为，若，则的最小值为（ ）ABCD【例3】已知ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosCcsinC，则ABC面积的最大值为( )ABCD【例4】在中，角，的对边分别为，且，的面积为，则周长的最小值为_.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）ABCD【练习2】 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccos A0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为()A2 B2C3
6、 D3【练习3】已知的面积为,且满足，则边的最小值为_.【练习4】在中，已知边上的中线，则面积的最大值为_（三）解三角形的实际应用 必备知识：实际测量中的有关名称、术语来源:学科网ZXXK名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)南偏西60指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)n mile的B处有一艘走
7、私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏
8、西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为_米2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直
9、弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 三、课后自我检测 1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则()A BC D2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，c2，bsin Aacos则b()A1B.C.D.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，c3，tan B2tan A，则ABC的面积为()
10、A2B3C3D43如图，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足若DE2，则cos A等于()A BC D4在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B2A，则的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，4)5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45，若三角形有两解，则b的取值范围是_.6已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_7设ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，cos(AC)cos B，延长BC至点D，若BD2，则ACD面积的最
11、大值为_8(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_9若满足，=3， 恰有一解，则实数的取值范围是_10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且，则ABC面积的最大值为_11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2c2b2abcos Aa2cos B(1)求角B；(2)若b2，tan C，求ABC的面积12已知中，角的对边分别为，若 +（）求；（）若 ，求面积的最大值。13在 中，分 别 为 角的 对 边 ，且.（1）求角；（2）若，求的最大值.14某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里
12、的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？(参考数据：若sin ，当是锐角时，其近似值为3813)15如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处（1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离；（2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？