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1、核心素养系列（四）数学运算设而不求整体变换思想在圆锥曲线综合问题中的应用1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求【典例1】（2020阳春市第一中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF
2、|,则该双曲线的渐近线方程为_【素养指导】把x22py（p0）代入双曲线1a2y22pb2y+a2b20根与系数的关系抛物线的定义及其性质求双曲线的渐近线方程【解析】由抛物线方程与双曲线方程联立得因此该双曲线的渐近线方程为【素养点评】联立抛物线与双曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解【素养专练】【原创】已知抛物线C：y24x的焦点为，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E两点，则四边形MDNE面积的最小值为（ ）A12B16C24D36【答案】D【解析】由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为yk（x1）由，得k2x2
3、（2k2+4）x+k200，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则|MN|x1+x2+24（1+）；同理设D（x3，y3）、E（x4，y4），直线为，则|DE|x3+x4+24（1+k2）四边形MDNE的面积S|MN|DE|8（2+k2+）32当且仅当k1时，四边形BCDE的面积取得最小值32，故选D.类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【典例2】已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）Ax245+y236=1Bx236+y227=1Cx2
4、27+y218=1Dx218+y29=1【素养指导】设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆的方程两式相减根据线段AB的中点坐标为（1，1）求出斜率确定求方程【答案】D【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0，x1+x2a2+y1-y2x1-x2y1+y2b2=0x1+x22，y1+y22，kAB=y1-y2x1-x2=-1-01-3=122a2+12-2b2=0，化为a22b2，又c3=a2-b2，解得a218，b29椭圆E的方程为x218+y29=1故选D【素养点评
5、】本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题【素养专练】1.（2017莆田第九中学高二期中（理）椭圆内有一点P（3,2），过P点的弦恰好以P点为中点，则此弦所在的直线方程为 【答案】【解析】设过点的直线与椭圆交于两点其中点，则将两点代入题意方程作差可得：，即所以直线方程为，整理可得，故答案为2.抛物线y22x上存在两点关于直线ym（x4）对称，则m的范围是【答案】(-6，6)【解析】设抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线ym（x4）对称，A，B中点M（x，y），则当m0时
6、，有直线y0，显然存在点关于它对称当m0时，y12=2x1y22=2x2，可得y1-y2x1-x2=2y1+y2=1y=-1m，所以ym，所以M的坐标为（3，m），因为M在抛物线内，则有23（m）2，得-6m6且m0，综上所述，m(-6，6)类型三求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_.【素养指导】设出直线方程联立方程组求解距离的和利用基本不等式求解即可
7、【答案】8【解析】由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：xty，则直线l1的斜率为，联立方程得，消去x得y22ty10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22t，y1y21.所以|AB|2t22，同理得，用替换t可得|DE|2，所以|AB|DE|24448，当且仅当t2，即t1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.【素养点评】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多【素养专练】已知F为椭圆C：的左焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形ADBE的面积最小值为（ ）A4BCD【答案】C【解析】椭圆的左焦点为（1）当直线斜率为0时，直线的方程为，或当直线斜率为0时，直线的方程为，把代入椭圆方程得，四边形ADBE的面积为（2）当直线有斜率且斜率不为0时，设直线的方程为，直线的方程为联立方程组，消元得：，设，则，用替换k可得，四边形ADBE的面积为，令，则，当即时，S取得最小值综上，四边形ABDE的面积的最小值为故选C5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！