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1、环际大联考“逐梦计划”20232024学年度第二学期期中考试高二数学试题（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中
2、拟合效果最好的模型是（ ）A. 模型：相关系数r为B. 模型：相关系数r为0.81C. 模型：相关系数r为D. 模型：相关系数r为0.532 已知数列满足，若，则n等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 63. 设函数，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 4. 已知x与y之间一组数据：x0123y2356则y与x的线性回归方程必过（ ）A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著张邱建算经有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以
3、此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）A. 145B. 165C. 185D. 1956. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”如表示二进制数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制的形式是（ ）A. B. C. D. 7. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（ ）A. B. C. D. 8. 某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题
4、，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列求导正确的是（ ）A. B. C D. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）A. 若，则是等差数列B. 若，则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且，则11. 已知某物体的运动方程为（），则（ ）A. 该物体在时的平均速度是32B. 该物体在时的瞬时速度是64C. 该物体位移的最大值为34D. 该物体在时的瞬时速度是80三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5）
5、，则回归直线的方程为 13. 在等比数列中，则_.14. 由下列数阵可以看出，第n行最右边的数是，那么第20行所有数的和是_.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：物理方向历史方向总计男生13a23女生72027总计bc50（1）计算a，b，c的值；（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？附：，.0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0
6、722.7063.8415.0246.6357.87910.82816. 已知曲线，求：（1）的导数；（2）曲线在点处的切线方程.17. 设数列的前n项和为，已知，（）.（1）求数列的通项公式；（2）求数列前n项和.18. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：第x天14916253649高度y/cm0479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x回归方程类型?(给出判断即可，不必说
7、明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).附：，参考数据：140285628319. 已知数列中，（）.（1）求证：数列是等比数列.（2）求数列的通项.（3）若数列的前n项和为，试比较与的大小.环际大联考“逐梦计划”20232024学年度第二学期期中考试高二数学试题（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答
8、非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A. 模型：相关系数r为B. 模型：相关系数r为0.81C. 模型：相关系数r为D. 模型：相关系数r为0.53【答案】A【解析】【分析】根据相关系数与拟合效果的关系即可求解.【详解】相关系数越大，拟合效果越好.故选：A.2. 已知数列满足，若，则n等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】
9、B【解析】【分析】根据等差数列的定义求得通项公式，即可求得的值.【详解】由可得，数列为等差数列，且公差为5.所以，令，所以.故选：B.3. 设函数，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的导数，求解即可.详解】，故可得，又 .故选：B.4. 已知x与y之间的一组数据：x0123y2356则y与x的线性回归方程必过（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用线性回归方程必过样本中心点即可判断.【详解】因为，所以与线性回归方程必过.故选：D5. 我国古代数学名著张邱建算经有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四
10、钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）A. 145B. 165C. 185D. 195【答案】D【解析】【分析】构造等差数列，结合等差数列前项和以及通项公式基本量的计算，根据已知条件，求解即可.【详解】设表示给第个人给的钱，由题可知，数列为首项，公差为的等差数列；又，故，即，解得.故选：D.6. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”如表示二进制数
11、，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制的形式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合题意，运用等比数列求和公式计算即可得.【详解】.故选：C.7. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数几何意义，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.【详解】因为，故，则，即所求直线斜率为，则过点，斜率为的直线方程为：，即.故选：C.8. 某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）A. B. C. D
12、. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，结合放缩即可得解.【详解】，由，故，由，故，即有.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列求导正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据导数运算法则，对每个选项进行逐一求解，即可判断和选择.【详解】对A：，故A错误；对B：，故B正确；对C：，故C正确；对D：，故D错误.故选：BC.10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）A. 若，则是等差数列B. 若，则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若
13、是等比数列，且，则【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列，等比数列的定义，以及其性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，当时，两式作差可得：当时，；又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，A错误；对B：，当时，两式作差可得：当时，；又满足，故，且，故数列为等比数列，B正确；对C：是等差数列，故，故C正确；对D：是等比数列，且，不妨取，故，故D错误.故选：BC.11. 已知某物体的运动方程为（），则（ ）A. 该物体在时的平均速度是32B. 该物体在时的瞬时速度是64C. 该物体位移最大值为34D. 该物体在时的瞬时速度是80【答案】ABD【解析】【分析】由平均速度的定义
14、代数计算可得A正确；由导数的意义计算可得BD正确；求导后判断单调性，再求最值可得C错误.【详解】A：该物体在时的平均速度是，故A正确；B：，所以该物体在时的瞬时速度是，故B正确；C：因为，所以恒成立，故在上为增函数，所以，故C错误；D：，所以该物体在时的瞬时速度是，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程为 【答案】【解析】【详解】设回归直线方程为=1.23x+a所以，所以回归直线方程为13. 在等比数列中，则_.【答案】16【解析】【分析】利用等比数列中性质成等比数列得解【
15、详解】，成等比数列故答案为：16【点睛】本题考查等比数列和的性质当或且为奇数时是等比数列，其公比为14. 由下列数阵可以看出，第n行最右边的数是，那么第20行所有数的和是_.【答案】14859【解析】【分析】根据数阵排列与等差数列求和即可求解.【详解】因为第n行最右边的数是，所以第19行的最后一个数为，第20行的第一个数为362，又因为第20行的最后一个数为，由数阵的排列可得，第20行共有个数，所以第20行所有数字之和为.故答案为：14859四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选
16、修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：物理方向历史方向总计男生13a23女生72027总计bc50（1）计算a，b，c的值；（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？附：，.0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）， （2）有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关【解析】【分析】（1）借助列联表数据计算即可得；（2）计算卡方，与3.841比较大小即可得.【小问1详解】由，得，由，得，由，得；【小问
17、2详解】，因为，故有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关16 已知曲线，求：（1）的导数；（2）曲线在点处的切线方程.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可；（2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可.【小问1详解】；故；则故【小问2详解】切线的斜率为函数在处的导数，又，所以曲线在点的切线方程为，即.17. 设数列的前n项和为，已知，（）.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据递推公式，判定为等比数列，结合等比数列的通项公式，直接写出
18、即可；（2）根据（1）中所求，利用错位相减法，结合等比数列的前项和公式，求解即可.【小问1详解】因为（）所以，当时，（），两式相减得，即，当时，又当时，而，则，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.【小问2详解】由（1）得，则.则，两式相减得，即，所以，.18. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：第x天14916253649高度y/cm0479111213作出这组数的散点图如下(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度
19、y关于时间x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).附：，参考数据：1402856283【答案】(1) 更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2) ；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【解析】【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.【详解】解：(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型； (2)令，则构造新的成对数
20、据，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易计算，通过上表计算可得：因此 回归直线过点(，)，故y关于的回归直线方程为 从而可得：y关于x的回归方程为令x=144，则， 所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.【点睛】本题主要考查非线性回归方程，先将问题转化为线性回归方程，根据最小二乘法求出参数的估计值，即可得出结果，属于常考题型.19. 已知数列中，（）.（1）求证：数列是等比数列.（2）求数列的通项.（3）若数列的前n项和为，试比较与的大小.【答案】（1）证明见解析. （2）（）. （3）.【解析】【小问1详解】，（），由，令，此时，则当时，,又因为，故数列是首项为2，公比为2的等比数列.【小问2详解】由（1）得，即则,，.累加法得：.则.故数列的通项公式为（）.【小问3详解】因为.所以.当时，.