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1、2022年河南省,普通高等题号.四五总分602050146150本卷须知：答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：中（93分）选择：3/4/7/8/9/10/11/12/15/16/17/18/20/21/22/23/24/26易（24分） 选择： 1/2/5/6/13/14/29 填空： 31/32/33/34/36 计算： 应用： 证明：/30填空：35/37/38/39/40 计算：41/42/43/44/48 应用：51/52 证明： 53难（33分） 选择： 19/25/27/28 填空： 计算： 45/46
2、/47/49/50 应用： 证明：34.函数fM= Jr在点X = 0.99处的近似值为.不定积分Jsin(x+l)at =旦11.定积分fdx =.1 + x.函数z = xy /一)2在点(0,)处的全微分阂(0)=g.37 .与向量2,1,2同向平行的单位向量是.39,微分方程y + xy2=0的通解是.00 y2.幕级数的收敛半径为.n= 3三、计算题(每题5分，共50分) 240 .计算极限lim(l-九尸. X-().求函数y = V2-cosx的导函数.2 In x -1.计算不定积分fdx.J X 71.计算定积分xsinAz/x.(x + 2y + 3z = 0.设直线/:,
3、求过点A(0,l,2)且平行于直线/的直线方程.3x + 5y + 7z = 1.函数z = /(x, y)由方程xz-yz-x+y = 0所确定，求全微分dz.43 . D=(x,y)0x2+y2 0得x oo X1xf 8口 1.【答案】DXX 11【解析】x f0 时，sin ax - ax , lim= lim= _= 2 ,即 =应选 D. sin axax a6 .【答案】Ai【解析】lim2 N,conHma一,；。幻=31im= 那么=匕 应选 A- e ax d ax a x ax-07 .【答案】B【解析】要是函数/(%)在x= 1处连续，那么由连续的定义必有lim/(x)
4、/(l),即7lim厂+1 =2,当 a = 2 时，limXfl X 1x1lim厂+1 =2,当 a = 2 时，limXfl X 1x1%2-2%+1 = lim (x-1)2 = lim(x -1) = 0 2 ,不满 x -1 e x -1 e足连续的定义，所以当。=2时，/Q)不连续，应选B.8 .【答案】C【解析】由以幻在 = 0处可导，可知初幻在x = 0处连续，那么夕/1、. f(X) jf ( I ). (X I ) (px I ) 0 1 . M 、. 4f (1) = lim7= lim *= hm姒xl)=奴0),应选 C.Rl X 1戈-1X 11I.【答案】Df
5、2 - x, x 1【解析】fx=-x-=,显然/(x)在x= 1处连续，又X, Xo,即函数/(x)在(o,+8)上单调递增；当xo时,yx,由定积分保序性可知:X2x,由定积分保序性可知:【解析】考查定积分性质:当尤(1,2)时, 2 ?2xdx xdx ,即 / / ,应选 b.ji ji21.【答案】D-【解析】向量a=0,1,0+0,0,1=0,1,1C2 0 二。方向余弦为:，2+12cos B =1Vi2 +i21, cosy =4i1J2 +2二那么。/分别为t，匕412 4选D.22 .【答案】A【解析】因为eT是该微分方程的一个解，故6一“满足该微分方程，令丁 = 6-,那
6、么 / = y = eT,代入该微分方程有厂1+ 2ex = 0 ,且有e-09那么有1一 3a + 2 = 0 ,解得 =1 ,应选 A.23 .【答案】B【解析】对于B选项，/ =移/ ,别离变量得 空 =xexdx，故y=孙F-卢是可别离 *变量的微分方程，选项A,C,D均不可进行别离变量，应选B. 24.【答案】C【解析】已= 3f+y2 , 0(31+ y2)dxdxdy QyMon=2 y ,应选C.25 .【答案】B【解析】设水箱的长、宽、高分别为?尤？?y?z又有盖长方体水箱表面积为2肛;+ 2yz + 2xz = 54 ,也即为 肛;+ yz + xz = 27 ,水箱体积为
7、V = xyz ,目标函数为:G = yz +4 y + z)fy=XZ+ Z(X +Z)F (阳 y, z) = xyz + 2(xy + yz + xz - 27),创,解得：x = 3 ,F = xy + x)I Z尼=xy+ yz + xz-21y = 3, z = 3,由于驻点(333)唯一，且实际问题中驻点唯一必有最值，故当x = 3, y = 3, z = 3时这个长方体水箱的体积最大，最大值为V = xyz = 27,应选B.26 .【答案】D3【解析】由二重积分的性质可知： dxdy =dxdy =4SD= 4 -兀=3兀，应选D.DD4.【答案】A【解析】由题意知积分区域D
8、为：0xl, OWyW%,也可表示为：OWyWl,1 1yxl,故交换积分次序后1J/(x,y)dcr=，我!公，应选A.27 .【答案】B【解析】由两点可求得L的方程为：y= 0,0%=立132.【答案】一235 .【答案】一COS（x + l） + C【解析】【解析】sin36 .【答案】ln2ri 1r1 11【解析】Jdx = Jd(x + l) = ln + l = In2-0 = In2.x+lx+l0.【答案】dx - 2dyaaa【解析】z = y_2x, z=x 2y,故 dz =& dx+_ dy = dx-2dy.dx(0,1)(o,i)(0.1)cc a2 12、37
9、.【答案】:I， I【解析】设该向量为a,【解析】设该向量为a,U 3 3 J2其中c为任意常数.x + C40.【答案】3【解析】P = linl1 =limL.H，故收敛半径H = l=3.+l2+22 = 3,故与向量晌向平行得的单位向QQ21 2二7777979.【答案】y 二M0V2 一 一9dy1x+C/x=多【解析】方程别离变量得, xdx,两边同时积分得 =+G，整理得:- y253+13三、计算题（每题5分,共50分）、选择题（每题2分，共60分） 在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂就.1.函数/（） = 1的定义域是）.A. (-oo
10、,-lB. (co, l)C. (-00,1D. (-00,1)2,函数/(x) = x 2d 是().A.奇函数C.非奇非偶函数B.偶函数D.无法判断奇便性. fM = -，那么/(%)=( )XA. 1-11B. x 1C. 1-%1Dx3 .以下极限不存在的是().Xlim 元一o元?1A. hm2 iX8X +1B. lim TX8C. lim 2X+841.【解析】lim(l-x) %= lim |1+(x)2) = /x0x042.【解析】【解析】J1=(2-cos 2Vsin x43.2 lnx-1dx =x J7144.)2 .(2-cosx) = -(2-cos) 2 -si
11、nx =2V2 - cos X21nx71-dx- -dxJ x1=j21nx671nx-j -dx = n2x-lnx + C.【解析J Txsin xdx = - rxdcosx = -xcosx- k*J71cos xdx = 0 + sin x071广=1.045.s【解析】设直线的方向向量为S ,那么3= -1,2,-112,12,又所求直线与直线/平行，故可取直线/的方向向量做为所求直线的方向向量，又所求直线过点A（0,1,2）,那么所求直线方程为： 1x y-2 z-246.【解析】F (x, y,z) =xz-x+ y,那么F = z-1； F =-z+l； F =x-y ；因
12、此,dzF= dx p，z1- ZSz F Z-1x-y dy p xy =zdz . dz j,那么 dzdx+dy =dx dy47.【解析】令rcos。，y = rsin。，那 l-x2-y24dxdy = J? J? J4 - r - rdr(1V= 2*4- r2d 4-r2D2(2 16=一兀 4-r2 23其中48.【解析】原式可化为：y+Ly=i,该微分方程为一阶线性非齐次微分方程, XpM = L, 9（x） = 1,那么其通解为:Xy ep( x)dx dxex dx+CJqx249.【解析】p = lim=lim=1,那么收敛半径为H 1=1,/Ifx-1 1,即0x2,
13、故收敛区间为（0,2）.50.【解析】先求收敛域,p =那么收敛半径为R00=1,那么收区间为（-1,1），在端点x = -1处，基级数为Z r ，此级数收敛；在端点 n= n=1处，塞级数为X1，此级数发散，因此，幕级数的收敛域为-i，d . n= noo令 S(x) = Zn=0000, gM=y ，n= n77=1 几00对两边同时求导，得gM = z-in=00X 所以 g(x) = j力=ln(lx),那么 S (%) = -x ln(l-x),xJ。1-t四、应用题（每题7分，共14分）e 1e51.解析S = dx = xix =1.。1 x I152.【解析】设工厂的利润为L(
14、x),那么 L(x) = R(x) - C(x) = 80x - 0.03X2 - 7500 - 50% + 0.02a2 = 30% - 0.0Lx2 - 7500 , 令r(x) = -0.02x + 30 = 0,得x = 1500,且驻点唯一，在实际问题中，此点即为最大值点，所以当日产量为1500台时，利润最大.五、证明题(每题6分，共6分)53.【解析】令F(x) = 4x + 3x3 - x5,因为/(x)在一2,0上连续，在(2,0)内可导，那么/(x) = 4 + 925x3由题意可知：/(2) = 0,又有/(0) = 0,根据罗尔定理可知，至少存在一点J (2,0),使得/
15、(1)=4 + 942_544=0 ,即方程4 + 9/-5/ = 0必有一个大于2的根.1 2x jc5.极限lim的值是).A. 0B. 1C. 1D. 2x6极限lim = 2,那么的值是(.sin axA.lE. -121D.-27.当x -0时，2-2cosx 那么的值是).A. 1B. 21 C.-2F. 18,函数/()=X1.那么在点X=1处，以下结论正确的选项是(.A. q = 2时，/(%)必连续C = l时,/连续B. = 2时，/(%)不连续D. = 1时，/(x)必连续9.函数9(x)在点x =。处可导，函数/(x) = (xl)dj1),那么尸二).A. 0(0)B
16、. 013.设函数/(%)在区间(-1,1)内连续,假设e(l,O)时,f(x) 0 ,那么在区间(1,1)内).A. /(0)是函数/(x)的极小值c. /(0)不是函数/(x)的极值B. 7(0)是函数/(%)的极大值D. /(0)不一定是函数f(x)的极小值14.设函数y=/(x)在区间(0,2)内具有二阶导数，假设了(，1)时，/。) 0 ,那么().A. 7(I)是函数/(x)的极大值B.点(1 ,/(1)是曲线y = /(x)的拐点C. 7(I)是函数/(%)的极小值D.点(1,/(1)不是曲线y = /(X)的拐点15.曲线y = %4,那么).A.在(-oo,0)内y = x4
17、单调递减且形状为凸B.在(8。)内y = /单调递增且形状为凹C.在(0, + 8)内y = x4单调递减且形状为凸D.在(0, + 8)内y = /单调递增且形状为凹16./(%)是/(%)的一个原函数，那么不定积分1)公=1. A.F(x-1) + CC.尸(x1) + CB. F (x) + CD. -F(x) + C17.设函数/(x) = j(e-+)力，那么广=).A. -3C. ex+x2B. c + 2xD. ex+ 2x18.定积分j xe A dx =().J-aA. 2aeC. 0一 2B. aeD. 2a.由曲线丁 =欠与直线x = 0, x = l, y = 0所围成
18、的平面图形的面积是().A. e-1B. 1C. 1- /D. 1+ 1.设定积分人=Jj公，/ 2 = /羽人，那么).C. / ，2D.不能确定/与，2的大小 f - -21.向量4 = /+左的方向角是).71 , 兀，兀A. 442C乌，乌，乌 ,42471 ,兀.71B.一-22D.巴-4422 . e-x是微分方程y+3殴+2y = 0的一个解，那么常数。= O . A. 1B. -1C. 3D. - 1323 .以下微分方程中可进行别离变量的是1 ).A. / = (x 4- y)ex+yC. yr = xyexyB. y = xyex+ yD. y = (%+ y)exy_1也
19、Z24.设二元函数Z =+盯2 + y3 , 那令 =().dxdy127. JJ7（尸）如工时）B. 3x2C. 2yD. 2x 25.用钢板做成一个外表积为54机2的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，那么水箱的A. 18m2 B.27m2C. 6mD. 9mx, y) 1 %2 + y2 0, j 0 ,A. 6兀B. 8兀C. 4兀D. 3兀XA.A.C.B.1 1X 1 dyQ f (x, y)dxi y上矶 f(y)dx1 XD.zh/(x, y)dy ,那么交换积分次序后jj/(x, y)da= 1 ) .A. 1B. 2c. 3D. 7329.以下级数发散的是1 ) . 001
20、0011n 1A1n B- E(-D 1n= n=oo 1oo1_ 1n 1C.Z/ D.Z(-D几2n= n=0030.级数，那么以下结论正确的选项是().n=8、 ,A.假设lim%=0,那么收敛-8 n= ooB.假设局部和数列S有界，那么Z%收敛 n=C.假饭收敛,那么lim%=0?00 n=ooooD.假设收敛，那么2 %收敛 n=1n=1二、填空题(每题2分，共20分)31 .函数f(x) = x3的反函数是y =旦 n -132 .极限lim=卫.n2n +1 -2 -羽 x w 033 .函数/(%) =,那么点X = 0是/(X)的.间断点.1, x = Q1-117?1【解析】lim 1 = lim_=8 2n +18 2+ 工2n33.【答案】可去【解析】limf(x) = lim /(%) =lim/(%)= lim(2 x) =2 ,且 /(0) = 1,左极限等于右极X-o+R-0 -R-()R-()限，故 = 0是/(X)的可去间断点.34.【答案】L01【解析】取用=1, Ax =-0.01,有 f(x0+ Ax) =/(O.99)/(xo) +/(x0)Ax= l-b(-0,01)= 1.01 .