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1、专题03 不等式4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题03 不等式4题型分类1不等式的性质（1）对称性：abbb，bcac（3）可加性：abacbc（4）可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd（6）同向同正可乘性：ab0，cd0acbd（7）同正可乘方性：ab0anbn(nN，n2)2两个实数比较大小的方法作差法 (a，bR)3基本不等式（1）基本不等式：（2）基本不等式成立的条件：a0，b0（3）等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立（4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数4几个重要的不等式（1）a2b22ab(
2、a，bR)（2）2(a，b同号)（3）ab (a，bR)（4）(a，bR)5三个“二次”的关系判别式000二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根不等式的解集x|xx2x|xR6分式不等式与绝对值不等式（1）0(0(a(a0)的解集为(,a)(a,)，|x|0)的解集为(a,a)（一）不等式的性质1常用结论（1）若ab0，且abb0，m0a0，m02判断不等式的常用方法（1）利用不等式的性质逐个验证（2）利用特殊值法排除错误选项（3）作差法（4）构造函数，利用函数的单调性题型1：不等式的性质1-1（2024高三上广东期末）已知，则的取
3、值范围为（）ABCD1-2（2024全国）若ab，则Aln(ab)0B3a0Dab1-3（2024山东）若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是A B C D （二）比较大小1不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）（3）分析法（4）平方法（5）分子（或分母）有理化（6）利用函数的单调性（7）寻找中间量或放缩法（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法题型2：比较大小2-1（2024全国）已知，则（）ABCD2-2（2024高三全国课后作业）（1）已知ab0，cd0，求证：；（2）设x，比较与的大小.
4、2-3（2024高一上江苏南京阶段练习）（1）试比较与的大小；（2）已知，求证：（三）基本不等式1基本不等式（1）基本不等式：( a0，b0)（2）等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立2几个重要的不等式（1）a2b22ab(a，bR)（2）2(a，b同号)（3）ab (a，bR)（4）(a，bR)3基本不等式求最值（1）前提：“一正”“二定”“三相等”（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法题型3：基本不等式3-1（2024高一下广西柳州期末）若，则
5、的最小值为 .3-2（2024高三河北学业考试）若，且，则的最大值为 3-3（2024高三上湖南娄底期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为 3-4（2024天津南开一模）已知实数，则的最小值为 .3-5（2024高三上江苏常州开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 .3-6（2024上海浦东新二模）函数在区间上的最小值为 3-7（2024上海长宁二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图则至少需要 米栅栏（四）不等式的求解1含参一元二次不等式的解法（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类（2）根据判别式与0的关系判断根的个数（3）有
6、两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论2一元二次不等式恒成立问题（1）弄清楚自变量、参数一般情况下，求谁的范围，谁就是参数（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论题型4：不等式的求解4-1（2024全国）已知集合则（）ABCD4-2（2024高一下广东阳江期末）不等式的解集为（）ABCD4-3（2024高三全国专题练习）解下列关于的不等式4-4（2024高三全国专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 .4-5（2024高二下吉林期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 4-6（2024广西模拟
7、预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 4-7（2024高三上北京期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .一、单选题1（2024高一上吉林延边期末）已知，则的取值范围是（）ABCD2（2024辽宁二模）数学命题的证明方式有很多种利用图形证明就是一种方式现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，用该图形能证明的不等式为（）ABCD3（2024黑龙江哈尔滨三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（）ABCD4（2024高二上宁夏期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）已知，求的最小值；解答过程：
8、；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4A0个B1个C2个D3个5（2024高三下重庆渝中阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD66（2024高三下浙江期中）设，若，则的最大值为（）ABCD7（2024高三上河北承德阶段练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（）ABCD8（2024全国模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）ABCD9（2024高一下浙江湖州开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）AB不等式的解集为CD不等式的解集
9、为10（2024高一上上海浦东新期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是()ABCD安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）ABCD12（2024北京海淀模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（）ABC若关于x的不等式的解集为，则D若关于x的不等式的解集为，且，则13（2024高三上江苏南通期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A2B1C2D814（2024山东）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（）ABCD15（2024全国）已知集合，则ABCD
10、16（2024四川成都三模）设为正项等差数列的前项和若，则的最小值为（）ABCD17（2024北京房山二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）ABCD18（2024海南海口模拟预测）若正实数，满足则的最小值为（）A12B25C27D3619（2024湖北荆门模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（）A5B9C13D1820（2024湖南长沙一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（）ABCD21（2024浙江杭州二模）已知，且，则ab的最小值为（）A4B8C16D3222（2024河南安阳三模）已知，则下列命题错误的是（）A若，则B若，则的最小值为4C若，则的最大值为2D若，则的最大值为23（
11、2024广东湛江二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（）ABCD二、多选题24（2024重庆模拟预测）已知，则下列关系式一定成立的是（）ABCD25（2024山东二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（）ABCD26（2024高三上山东泰安期末）若，则下列结论正确的是（）ABCD27（2024高三上江苏阶段练习）已知实数x，y满足则（）A的取值范围为B的取值范围为C的取值范围为D的取值范围为28（2024高三下河北衡水阶段练习）已知，且满足，则的取值可以为（）A10B11C12D2029（2024高三重庆沙坪坝阶段练习）已知，则（）ABCD30（2024全国模拟预测）已知实数a，b满足，
12、则（）ABCD的最小值为131（2024江苏模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）ABCD32（2024全国）若x，y满足，则（）ABCD33（2024重庆模拟预测）若实数，满足，则（）ABCD34（2024高三下湖北阶段练习）已知，且，则（）A的最小值为4B的最小值为C的最大值为D的最小值为35（2024云南红河一模）已知，且，则下列说法正确的是（）ABCD36（2024山西一模）设，则下列结论正确的是（）A的最大值为B的最小值为C的最小值为9D的最小值为37（2024山东）已知a0，b0
13、，且a+b=1，则（）ABCD38（2024全国模拟预测）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（）ABC若，则D39（2024高一上浙江温州期中）已知，且则下列结论一定正确的有（）ABCab有最大值4D有最小值940（2024高一上江苏苏州阶段练习）下列说法正确的是（）A若且，则，至少有一个大于2B，C若，则D的最小值为241（2024云南曲靖模拟预测）若实数满足，则（）A且B的最大值为C的最小值为7D三、填空题42（2024高一全国单元测试）若,则将从小到大排列为 .43（2024高二全国单元测试）如果ab，给出下列不等式：；a3b3；2ac22bc2；1；a2b21abab.其中一定成立
14、的不等式的序号是 44（2024高三上上海普陀期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是 45（2024浙江）已知实数、满足，则的最大值为 .46（2024山西一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“”“”）47（2024内蒙古呼和浩特一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个
15、糖水不等式 .48（2024高三上天津南开阶段练习）若，且，则的最小值是 49（2024重庆模拟预测）已知，则的最小值为 .50（2024高三全国专题练习）若，则的最小值为 51（2024高三下上海浦东新阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 52（2024高三上重庆沙坪坝阶段练习）若，则的最小值为 .53（2024高二下浙江期中）已知，满足，则的最小值是 54（2024天津一模）若，则的最小值为 55（2024高三上浙江宁波期中）已知，则取到最小值为 56（2024安徽蚌埠二模）若直线过点，则的最小值为 57（2024高三下河北阶段练习）已知，则的最小值为 .58（2024高一上山
16、东烟台阶段练习）已知，且，则的最小值为 .59（2024高三下浙江开学考试）已知正实数a，b，c，则的最小值为 60（2024天津滨海新模拟预测）已知，则的最大值是 .61（2024上海金山二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 .62（2024高三全国课后作业）不等式的解集为 63（2024高一下湖北省直辖县级单位期末）函数的定义域为 64（2024高三全国课后作业）不等式的解集为 65（2024高一上上海松江阶段练习）不等式的解集为 66（2024江西）不等式的 的解集是 67（2024上海崇明二模）若不等式，则x的取值范围是 68（2024上海浦东新三模）不等式的解集是 69（2024高
17、三下上海杨浦阶段练习）已知集合，则 70（2024高一上全国专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 71（2024高一全国专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是 .72（2024高三全国专题练习）已知，则的取值范围为 .73（2024高三全国专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 四、解答题74（2024高三江苏专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 75（2024高三下河南阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：(1)若，则；(2)若，则76（2024四川绵阳二模）已知函数，若的解集为.(1)求实数，的值；(2)已知，均为正数，且满足，求证：.
18、77（2024高二下江苏期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？78（2024高一上贵州安顺期末）某企业采用新工艺，把企业生
19、产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？79（2024高一下湖北孝感开学考试）截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着
20、时间（单位：）.的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到，参考数据：，）(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米.房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？专题03 不等式4题型分类1不等式的性质（1）对称性：abbb，bcac（3）可加性：abacbc（4）可乘性：
21、ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd（6）同向同正可乘性：ab0，cd0acbd（7）同正可乘方性：ab0anbn(nN，n2)2两个实数比较大小的方法作差法 (a，bR)3基本不等式（1）基本不等式：（2）基本不等式成立的条件：a0，b0（3）等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立（4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数4几个重要的不等式（1）a2b22ab(a，bR)（2）2(a，b同号)（3）ab (a，bR)（4）(a，bR)5三个“二次”的关系判别式000二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2
22、没有实数根不等式的解集x|xx2x|xR6分式不等式与绝对值不等式（1）0(0(a(a0)的解集为(,a)(a,)，|x|0)的解集为(a,a)（一）不等式的性质1常用结论（1）若ab0，且abb0，m0a0，m02判断不等式的常用方法（1）利用不等式的性质逐个验证（2）利用特殊值法排除错误选项（3）作差法（4）构造函数，利用函数的单调性题型1：不等式的性质1-1（2024高三上广东期末）已知，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得，即可得的取值范围.【详解】解：设，所以，则，又，所以，由不等式的性质得：，则的取值范围为.故选：D.1-2（202
23、4全国）若ab，则Aln(ab)0B3a0Dab【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，所以，知C正确；取，满足，知D错【详解】取，满足，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，所以，故选C【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断1-3（2024山东）若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是A B C D 【答案】B【详解】因为，且，所以设，则，所以单调递增，所以 ，所以选B.【名师点睛】比较幂或
24、对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.（二）比较大小1不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）（3）分析法（4）平方法（5）分子（或分母）有理化（6）利用函数的单调性（7）寻找中间量或放缩法（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法题型2：比较大小2-1（2024全国）已知，则（）ABCD【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数
25、函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，然后由指数函数的单调性即可解出【详解】方法一：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.方法二：【最优解】（构造函数）由，可得根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解2-2（2024高三全国课后作业）（1）已知ab0，cd0，求证：；（2）设x，比较与的大小.【答案】（1
26、）证明见解析（2）答案见解析【分析】（1）由不等式的性质即可证明.（2）要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果.【详解】（1）由ab0，cd0，得cd0，acbd0，从而得.又ab0，所以.（2）因为，当且仅当xy时等号成立，所以当xy时，；当时，.2-3（2024高一上江苏南京阶段练习）（1）试比较与的大小；（2）已知，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.【详解】（1）由题意，所以（2）证明：因为，所以，即，而，所以，则得证（三）基本不等式1基本不等式（1）基本不等式：( a
27、0，b0)（2）等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立2几个重要的不等式（1）a2b22ab(a，bR)（2）2(a，b同号)（3）ab (a，bR)（4）(a，bR)3基本不等式求最值（1）前提：“一正”“二定”“三相等”（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法题型3：基本不等式3-1（2024高一下广西柳州期末）若，则的最小值为 .【答案】0【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：03-2
28、（2024高三河北学业考试）若，且，则的最大值为 【答案】【分析】根据基本不等式得即可解决.【详解】由题知，且因为，所以，所以，即，当且仅当，即时，取等号，故答案为： 3-3（2024高三上湖南娄底期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为 【答案】6【分析】利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.【详解】由已知条件得，当且仅当，即，时取等号故答案为：6.3-4（2024天津南开一模）已知实数，则的最小值为 .【答案】【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.【详解】，当且仅当即时取等号.故答案为：.3-5（2024高三上江苏常州开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 .【答案】8【分析】根据
29、结合基本不等式即可得解.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8.故答案为：8.3-6（2024上海浦东新二模）函数在区间上的最小值为 【答案】【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：3-7（2024上海长宁二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图则至少需要 米栅栏【答案】【分析】设矩形植物种植园的宽、长为，由题意结合均值不等式求解即可.【详解】设矩形植物种植园的宽、长为，所以，则，当且仅当“”时取等.故至少需要米栅栏故答案为：（四）不等
30、式的求解1含参一元二次不等式的解法（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类（2）根据判别式与0的关系判断根的个数（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论2一元二次不等式恒成立问题（1）弄清楚自变量、参数一般情况下，求谁的范围，谁就是参数（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论题型4：不等式的求解4-1（2024全国）已知集合则（）ABCD【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题
31、，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.4-2（2024高一下广东阳江期末）不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.4-3（2024高三全国专题练习）解下列关于的不等式【答案】见解析【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.【详解】方程： 且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述, 当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：4-4（2024高三全国专
32、题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 .【答案】【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.【详解】可转化为.设，则是关于m的一次型函数.要使恒成立，只需，解得.故答案为：4-5（2024高二下吉林期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】【分析】根据题意，使关于的不等式成立，则，即，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围【详解】解：，使关于的不等式成立，则，即，令，则对勾函数在上单调递增，所以，故 故答案为：4-6（2024广西模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 【答案】【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区
33、间的最值，即可求出a的取值范围【详解】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：4-7（2024高三上北京期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .【答案】【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.【详解】因为，所以由得，因为关于的不等式在区间上有解，所以只需小于等于的最大值，当时，当时，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.一、单选题1（2024高一上吉林延边期末）已知，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.【详解
34、】因为，所以，由，得.故选：A.2（2024辽宁二模）数学命题的证明方式有很多种利用图形证明就是一种方式现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，用该图形能证明的不等式为（）ABCD【答案】C【分析】由为等腰直角三角形，得到，然后在中，得到CD判断.【详解】解：由图知：，在中，所以，即，故选：C3（2024黑龙江哈尔滨三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（）ABCD【答案】D【分析】根据基本不等式判断【详解】x，y都是正数，由基本不等式，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒
35、成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立故选：D4（2024高二上宁夏期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4A0个B1个C2个D3个【答案】A【分析】利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案【详解】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，此时，当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；对：，当且仅当，即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误；对：，当且仅当，即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数
36、是0个，故选：.5（2024高三下重庆渝中阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD6【答案】B【分析】根据变形得，进而转化为，用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.6（2024高三下浙江期中）设，若，则的最大值为（）ABCD【答案】D【分析】法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可.【详解】解：法一：（基本不等式）设，则，条件，所以，即.故选：D.法二：（三角换元）由条件，故可设，即，由于，故，解得所以，所以,当且仅当时取等号.故
37、选：D.7（2024高三上河北承德阶段练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（）ABCD【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由得：，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，当时，不满足；当时，不满足；当时，若，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.8（2024全国模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.【详解】不等式即 ，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故，当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是 ，故，故实数m的取值范围为，故选：C9（2024高一下浙江湖州开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）AB不等式的解集为CD不等式的解集为【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项