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1、数学模拟三一、单选题1已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件2年某高校有名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有人，本科生有人，研究生有人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为人，则等于（）ABCD3年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（）A成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人B成绩第1-名的人中，高一人
2、数不超过一半C成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多4已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（）ABCD5已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则6有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A甲地：总体均值为4，中位数为3 B乙地：总体均值为5，总体方差为12C丙地：中位数为3，众数为2 D丁地：总体均值为3，总体方差大于07如图，在正
3、四棱台中，记直线与CD所成角为，直线与平面ABCD所成角为，二面角所成角为，则下列关系正确的是（）A，B，C，D，8如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（）A B C D二、多选题9已知一组样本数据的方差，则（）A这组样本数据的总和等于100 B这组样本数据的中位数一定为2C数据，的标准差为3sD现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大10如图，边长为的正三角形的中线与中位线交于点.已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是（）A动点在平面上的射影在线段上 B三棱锥的体积有最大值C恒有平面平面 D异面直线与不可能互相垂直11已知直四棱柱的侧棱长
4、为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（）A若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为B若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为C若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为D经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4三、填空题12如图，在三棱锥中，平面BDC，则点B到平面ACD的距离等于 .13已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为 .14如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则
5、， .四、解答题15如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点(1)求证：直线平面；(2)过点，的平面与棱交于点，求证：是的中点.16为了监控生产线上某种零件的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：）记样本平均数为，样本标准差为下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，(1)计算该组数据的分位数；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
6、生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查根据以上信息判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据组成一个新样本，计算新样本的平均数与方差（精确到，）17如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.18某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图(1)请根据频率分布直方图，求m的值，并求出该天运动步数不少于
7、15000步的人数；(2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数；(3)如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图19如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，.(1)当为线段的中点时，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；(2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由.第1页 共4页 第2页 共4页学科网（北京）股份有限公司数学模拟三参考答案1A【详解】若l与相交，则l与只有一个公共点，故充分性成立，若l与至多有一个公共点，则l与相交或者，故必要性不成立，故“l与相交
8、”是“l与至多有一个公共点”的充分非必要条件，故选:A2C【详解】每个个体被抽到的概率为，则.故选：C.3D【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多(人).故选项A判断正确；由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等，因此高一人数为，故选项B判断正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为,因此高三最多有32人. 故选项C判断正确；成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误.故选：D4C【详解】在平行六面体中，连接，则四边形是平行四边形，于是是异面直线与所成角或其补角，由，棱两两的夹角均为，得都是正三角形，即，则，所以异面直线与所成角为.故选：C5C【
9、详解】若，则或与相交，故A错误；若，则或与相交，故B错误；若，则，故C正确；若，则与相交，不一定是垂直，故D错误故选：C6B【详解】解：对于A，均值为4，中位数为3，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，A不符合该标志；对于B，均值为5，方差为12时，假设这10个数据分别是，则有，而能成立，没有矛盾，即所有数据不超过15，B符合该标志；同理，对于C、D，都不能保证10个数据中每个数据不超过15，C、D也不符合题意故选：B7C【详解】如图，连接AC，过作，垂足为O，则由正四棱台的结构特征，可得平面ABCD，则，在平面ABCD中，过O作，连接，由三垂线定理可得，则为二面角的平面角，等于，又，在
10、与中，而，均为锐角，；在与中，而，均为锐角，.又，且，而，均为锐角，.结合选项可得：，.故选：C.8B【详解】因为直线与分别交于点，且，则线段的长即为异面直线的距离，连接，由条件可知，又因为平面，平面，所以平面，所以异面直线的距离，即为直线到平面的距离，由平面可知，直线到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，由题意可知平面，所以到平面的距离为的长，由得，由正方体的棱长为1，可知，所以，所以，所以，所以线段的长为.故选：B.9AC【详解】对于A，因为方差，故，所以这组样本数据的总和等于，故A正确.对于C，数据，的方差为，故其标准差为，故C正确.对于B，根据方差、均值无法求出中位数，故B错
11、误.对于D，新样本数据的极差为，故新的样本数据的极差比原样本数据的极差小，故D错误.故选：AC.10ABC【详解】对于A：过作，垂足为，则平面，又平面平面，平面平面，所以平面，故A正确；对于B：三棱锥的底面的面积是定值，高是点到平面的距离当平面时距离（即高）最大，三棱锥的体积最大，故B正确；对于C：在正三角形中，为中线，为中位线，所以，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面，故C正确；对于D：由得是异面直线与所成的角（或其补角）因为正三角形的边长为，所以.而，所以的长度的取值范围是，当时，所以，此时直线与互相垂直，故D错误故选：ABC.11AD【详解】如图，对于A，可知的轨迹是以为圆心，半径
12、为1的圆，所以点的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为，故A正确对于B，可知点在线段上，所以当点与点重合时，三棱锥体积最大，且最大值为，所以B错误对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为，所以C错误对于D，经过三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形，其中，可得设的中点为的中点为，连接，可得平面，所以，求得，所以，D正确故选：AD12【详解】因为平面BDC，所以，又，则，,平面,平面,所以平面，平面，所以，因为，所以，所以，所以，设到平面的距离为，因为，所以，解得 .13【详解】这组数据的极差为，中位数为，根据题意得，即，又它们的和为12，所以，解得，.因为为正整数且互不相
13、等，且，三个数的平均数即中位数，则得到，.因为，所以这4个数据的第75百分位数为.故答案是：.14 /0.5 /【详解】在正方体中，是棱的中点，延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，由，得，又，于是，由平面平面，平面平面，平面平面，则，又，因此，所以.故答案为：；15【详解】（1）取的中点，连接，因为，分别为，的中点，所以，因为底面是菱形，即，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）因为过点，的平面与棱交于点，又，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，所以，所以为的中点，即与中点重合，所以是的中点16(1)9.95 (2)需要
14、检查，平均数为10.02；方差为0.01【详解】（1）将16个数据排序为：9.22，9.91，9.92，9.95，9.95，9.96，9.96，9.98，10.01，10.02，10.04，10.04，10.05，10.12，10.13，10.26，该组数据的分位数为第4个和第5个数据的平均数即该组数据的分位数为（2）因为，所以，显然数据9.22不在区间内，故需要对当天的生产过程进行检查，法一：把这16个数据分为两层：第一层15个数据：，解得，第二层1个数据：，方差为，因为全部16个数据：，因为，即，解得法二：剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，剩下数据的样本方差为17(1)证明见解析
15、 (2)【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，又，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）在平面中过点作交于点，因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，即，又，所以，过点作交于点，连接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以因为为正方形，所以，则，所以，即，解得，又平面，平面，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值为.18(1)，(2)众数是12.5（千步）；平均步数为（千步）；中位数是（千步）(3)星期二【详解】（1）由图可知，解得；所以该天运动步数不少于15000的人数为（人）；（2）众
16、数是（千步）；全体职工在该天的平均步数为：（千步）由于前两组频率之和为，前三组频率之和为，故设中位数为x，则，即中位数是：（千步）（3）因为，假设甲的步数为千步，乙的步数为千步，由频率分布直方图可得：，解得（千步），解得（千步），所以可得出是星期二的频率分布直方图19(1)（i）证明见解析；（ii） (2)存在， 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质可推导出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii）取的中点为，的中点为，连接、，计算出点到平面的距离以及线段的长，即可得出直线与平面所成角的正弦值；（2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，根据已知条件得
17、出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算出三边边长，利用勾股定理求出的值，即可得出结论.【详解】（1）（i）由题意，四边形为直角梯形，且，所以，所以，取的中点，连接，则且，且，故四边形为矩形，则，且，所以，又由，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，则，所以，又，、平面，所以平面.（ii）取的中点为，的中点为，连接、，过在平面内作垂直于，垂足为，又平面平面，平面平面， 所以平面，为的中点，所以，所以平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，平面，所以，平面，得平面，因为，所以，由等面积法可得，延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则，所以，由，所以，；（2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，则平面平面，设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角，因为且，所以，点为的中点，则，过点作垂直于，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，是二面角的平面角，所以，由，得，所以、重合，由，得，设，则，由勾股定理可得，即，整理可得，解得或（舍），所以存在点，当，有成立.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点，使得，延长与交于点，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力.答案第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司