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1、辽宁辽宁 20232024 学年度（下）七校协作体高二联考学年度（下）七校协作体高二联考数学试题数学试题考试时间：考试时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.在正项等比数列 na中，已知21a，346aa，则14a a（）A.1B.2C.4D.82.如图，由观测数据12 3 4 5 6iixyi，的散点图可知，y与x的关系可以用模型lnyb xa拟合，设lnzx，利用最小二乘法求得y关于z的回归方程1
2、ybz.已知12123456ex x x x x x，1618iiy，则b（）A.1217eB.1212eC.1D.17123.图 1 是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图 2 所示的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OAA AA AA A，如果把图 2 中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为（）A.2nB.2nC.22nD.n4.下列说法中正确的有（）A.已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下 28 个数据的30%分位数可能等于原样本数据的30%分位数；B.若,A B两组成对数据的样本相关系数分别为
3、097,099ABrr，则A组数据比B组数据的线性相关性强；C.设随机变量23,2XN，则1511,12222EXDX；D.某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为 0.5，答对题数多于答错题数可得 4 分，否则得 2 分，则某人参加游戏得分的期望为 35.已知函数 exf xx m，曲线 yf x上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线yx平行，则实数m的取值范围是（）A.21 e,1B.21 e,1 C.2e,0D.21 e,6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是 2”为事件 A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被 3 整
4、除”为事件 C，则下列说法正确的是（）A.事件 A 与事件 B 互为对立事件B.16P C C.16P BC D.事件 B 与事件 C 相互不独立7.设数列 na的前n项和为11,1,321nnnSSSSnn，则下列说法正确的是（）A.na是等比数列B.36396,S SS SS成等差数列，公差为9C.当且仅当17n 时，nS取得最大值D.0nS 时，n的最大值为 338.设函数 2ln(2)f xxaxax，若不等式 0f x 恰有两个整数解，则实数a的取值范围是A.6ln3 4ln2,)126B.6ln3 4ln2(,)126C.4ln2,16D.4ln2,16二二、多选题多选题：本题共本
5、题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符有多项符合题目要求，全部选对得合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.已知数列 na的前n项和为*nSnN，下列说法正确的是（）A.若 na是等差数列，151615170,0aaaa，则使0nS 的最大正整数n的值为 15B.若 na是等比数列，5nnSc（c为常数），则必有1c C.若 na是等比数列，则111nnaqSqD.若111402,4nnnaSSna，则数列1nS为递增等差数列10.甲、乙、丙、丁
6、四名同学相约去电影院看春节档热映的热辣滚烫，飞驰人生 2，第二十条三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看飞驰人生 2”，则（）A.四名同学看电影情况共有43种B.“每部电影都有人看”的情况共有 72 种C.16P B A D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是142711.已知函数2()2 lnf xxxx，()eln2xg xx，下列说法正确的是（）A.函数 g x存在唯一极值点0 x，且01,12xB.令()()g()f xh xx，则函数()h x无零点C.若 2g xm恒成立，则2mD.若0a，0b，则ln()ln 1
7、2babaabba三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.设等差数列 na的前n项和为nS，若1181183,3aaSS，则使0na 的最小正整数n的值是_13.函数 323,lnf xxxa g xx x.对于12210,3,eexx，都有 12f xg x，则实数a的取值范围是_.14.已知有,A B两个盒子，其中A盒装有 3 个黑球和 3 个白球，B盒装有 3 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若 2 个球同色，则甲胜，并将取出的2 个球全部放入A盒中，若 2 个球异色，则乙胜，并
8、将取出的 2 个球全部放入B盒中按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有 7 个球的概率是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知函数 1exf xaxaR（1）讨论函数 yf x的单调性；（2）设函数 sing xf xx，若函数 yg x在0,上为增函数，求实数a的取值范围16.已知数列 na为等差数列，23a，1453aa，数列 nb的前n项和为nS，且满足231nnSb（1）求 na和 nb的通项公式；（2）若nnncab，数列 nc的前n项和为nT，求nT；若31nnnT
9、nm对nN恒成立，求实数m的取值范围17.某学校号召学生参加“每天锻炼 1 小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于 3 小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”（1）请完成上面22列联表，并依据小概率值0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为 0 小时的称为“极度缺乏锻炼”在抽取的 60 名同学中有 5 人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取
10、 20 名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为 X，求 X 的数学期望E X和方差D X；（3）将一周参加锻炼 6 小时以上的同学称为“运动爱好者”在抽取的 60 名同学中有 10 名“运动爱好者”，其中有 7 名男生，3 名女生为进一步了解他们的生活习惯，在 10 名“运动爱好者”中，随机抽取 3 人进行访谈，设抽取的 3 人中男生人数为 Y，求 Y 的分布列和数学期望附：22n adbcabcdacbd，nabcd 0.10.050.01x2.7063.8416.63518.已知函数2()(2)lnf xxaxa x，常数0a（1）当1x 时，函数()f x取得极小值2，求函数()f x的极大
11、值（2）设定义在D上的函数()yh x在点00(,()P x h x处的切线方程为:()lyg x，当0 xx时，若0()()0h xg xxx在D内恒成立，则称点P为()h x的“类优点”，若点(1,(1)f是函数()f x的“类优点”求函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程求实数a的取值范围19.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”.（1）已知等比数列an满足：245132,440a aa aaa，求证：数列an为“M-数列”；（2）已知数列bn满足：1111,2nnnnnb bbSbb，其中 Sn为数列bn的前 n 项和.求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存
12、在“M-数列”nc，对任意正整数 k，当km时，都有1kkkcbc成立，求 m 的最大值.20232024 学年度（下）七校协作体高二联考学年度（下）七校协作体高二联考数学试题数学试题考试时间：考试时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一一、单选题单选题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.在正项等比数列 na中，已知21a，346aa，则14a a（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比q，进而化简14a
13、a求值即可【详解】设等比数列 na的公比为q2234226aaa qa qqq，2q或3q （舍）则221421422aa aa qq故选：B2.如图，由观测数据12 3 4 5 6iixyi，的散点图可知，y与x的关系可以用模型lnyb xa拟合，设lnzx，利用最小二乘法求得y关于z的回归方程1ybz.已知12123456ex x x x x x，1618iiy，则b（）A.1217eB.1212eC.1D.1712【答案】C【解析】【分析】利用已知数据可求得样本中心点2,3，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出1b.【详解】由1618iiy可得：1618366iiyy，由1212345
14、6ex x x x x x 可得：1126123456123456lnlnlnlnlnlnlnlne12266666iizxxxxxxx x x x x xz，由回归方程1ybz必过样本中心点,z y，即过点2,3，所以321b，解得1b，故选：C.3.图 1 是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图 2 所示的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OAA AA AA A，如果把图 2 中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为（）A.2nB.2nC.22nD.n【答案】B【解析】【分析】记12,nOAOAOA的长度构成的数列为 na，依题意
15、可得2211nnaa，即可得到 2na是以1为首项，1为公差的等差数列，从而求出na，再由面积公式计算可得.【详解】记12,nOAOAOA的长度构成的数列为 na，由题意知，11223781OAA AA AA A，且122378,OA AOA AOA A都是直角三角形，所以11a，且2211nnaa，所以数列 2na是以1为首项，1为公差的等差数列，所以2111nann ，由0na，所以nan.所以第n个三角形的面积为1122nna .故选：B4.下列说法中正确的有（）A.已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下 28 个数据的30%分位数可能等于原样本数据的30%
16、分位数；B.若,A B两组成对数据的样本相关系数分别为097,099ABrr，则A组数据比B组数据的线性相关性强；C.设随机变量23,2XN，则1511,12222EXDX；D.某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为 0.5，答对题数多于答错题数可得 4 分，否则得 2 分，则某人参加游戏得分的期望为 3【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的计算方法，可得判定 A 错误；根据相关系数的概念，可判定 B 错误，根据正态分布的定义和期望、方差的性质，可得判定 C 错误；设得分为随机变量X，得到X的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望，可判定 D 正确.【详解】对
17、于 A 中，原来 30 个样本数据，从小到大排列，设为12330,a a aa，可得30 30%9，所以30%分位数为9102aa，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下 28 个数据，可得2329,a aa，可得28 30%8.4，所以30%分位数为9a，其中91092aaa，所以 A 不正确；对于 B 中，若,A B两组成对数据的样本相关系数分别为097,099ABrr，可得ABrr，所以则B组数据比A组数据的线性相关性强，所以 B 不正确；对于 C 中，设随机变量23,2XN，可得3,4E XD X，则21151111,1122222EXE XDXD X，所以 C 不正确；对于 D 中，设得
18、分为随机变量X，则X的可能取值为2,4，可得0312331111(2)C(1)C()(1)2222P X，2233331111(4)C()(1)C()2222P X，所以参加游戏得分的期望为1124322E X ，所以 D 正确.故选：D.5.已知函数 exf xx m，曲线 yf x上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线yx平行，则实数m的取值范围是（）A.21 e,1B.21 e,1 C.2e,0D.21 e,【答案】A【解析】【分析】求导 1 exfxmx，问题转化为11 exmx 有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果.【详解】因为 exf xx
19、 m，则 1 exfxmx，令1 e1xmx，整理得11 exmx，设 1 exg xx，则 2 exgxx，2x 时，0gx；，即22()2()ln()2 lnabababaaa，整理得222 ln2 ln 1babbbabaa，不等式两边同除以2b得，lnln 12babaabba，故 D 正确，故选：ABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.设等差数列 na的前n项和为nS，若1181183,3aaSS，则使0na 的最小正整数n的值是_【答案】10【解析】【分析】设等差数列 na的公差为d，根据题意，列出方程组求得18,
20、1ad，得到 na的通项公式为9nan，令0na，即可求解.【详解】设等差数列 na的公差为d，因为1181183,3aaSS，可得91011103333daaaa，即1191dad，解得18,1ad，所以数列 na的通项公式为8(1)19nann ，令0na，即90n，解得9n，又因为Nn，所以10n，所以使0na 的最小正整数n的值是10.故答案为：10.13.函数 323,lnf xxxa g xx x.对于12210,3,eexx，都有 12f xg x，则实数a的取值范围是_.【答案】e4a【解析】【分析】利用导数求出 f x在0,3x上的最小值和 g x在21,eex上的最大值，由
21、题意 minmaxf xg x，列式求解即可.【详解】因为 323f xxxa，0,3x，所以 23632fxxxx x，所以02x时，()0fx，23x时，()0fx，即 f x在0,2上单调递减，在2,3上单调递增，所以 min24f xfa，因为 lng xx x，21,eex，所以 1 lngxx，所以211eex时，()0g x，1eex时，()0g x，即 g x在21 1,ee上单调递减，在1,ee上单调递增，又2212eeg，eeg，所以 maxeg x，对于12210,3,eexx，都有 12f xg x，则 minmaxf xg x，所以4ea，即e4a.故答案为：e4a
22、14.已知有,A B两个盒子，其中A盒装有 3 个黑球和 3 个白球，B盒装有 3 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若 2 个球同色，则甲胜，并将取出的 2 个球全部放入A盒中，若 2 个球异色，则乙胜，并将取出的 2 个球全部放入B盒中按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有 7 个球的概率是_【答案】77300【解析】【分析】确定出两次取球后B盒中恰有 7 个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.【详解】若两次取球后，B盒中恰有 7 个球，则两次取球均为乙获胜；若
23、第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为121255，第一次取球后A盒中有 2 个黑球和 3 个白球，B盒装有 4 个黑球和 2 个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为22348565615；此时B盒中恰有 7 个球的概率为18851575；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为1332510，第一次取球后A盒中有 3 个黑球和 2 个白球，B盒装有 3 个黑球和 3 个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为3323156562；此时B盒中恰有 7 个球的概率为31310220；所以B盒中恰有 7 个球的概率为83777520300.故答案为：7730
24、0【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，B盒中恰有 7 个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知函数 1exf xaxaR（1）讨论函数 yf x的单调性；（2）设函数 sing xf xx，若函数 yg x在0,上为增函数，求实数a的取值范围【答案】（1）答案见解析（2）1,【解析】【分析】（1）对函数进行求导，参数a进行分类讨论，再利用
25、函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数 yg x在0,上为增函数，1 ecos0 xgxax 在0,上恒成立，再利用导数求函数的最值即可.【小问 1 详解】由题意得，1 e,xfxax R，当1a 时，1 e0 xfxa，函数 f x在R上单调递增；当1a时，令 1 e0 xfxa，解得ln 1xa，1 e0 xfxa，解得ln 1xa，所以函数 f x在ln 1,a上单调递增，在,ln 1a上单调递减；综上，当1a 时，函数 f x在R上单调递增；当1a时，函数 f x在,ln 1a上单调递减，在ln 1,a上单调递增，【小问 2 详解】因为函数 yg x在0,上为增函数，所以，1
26、 ecos0 xgxax 在0,上恒成立即1ecosxax在0,上恒成立令 ecosxh xx，当0,x时，esin0 xh xx，所以，ecosxh xx在0,上单调递增，min00h xh所以，10a，解得1a，所以，实数a的取值范围为1,16.已知数列 na为等差数列，23a，1453aa，数列 nb的前n项和为nS，且满足231nnSb（1）求 na和 nb的通项公式；（2）若nnncab，数列 nc的前n项和为nT，求nT；若31nnnTnm对nN恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）21nannN，13nnbnN（2）1 31nnTn；8,2【解析】【分析】（1）根据等差数列通项
27、公式可构造方程求得公差d，由此可得na；利用nb与nS关系可证得数列 nb为等比数列，由等比数列通项公式可求得nb；（2）由（1）可得nc，采用错位相减法可求得nT；分别在n为奇数和n为偶数的情况下分离参数，根据数列单调性可求得m的取值范围.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为d，由23a，1453aa得：221233adad，即3 123 33dd，解得：2d，2232221naandnnn N；当1n 时，1112231Sbb，解得：11b；当2n且nN时，11122231 3133nnnnnnnbSSbbbb ，13nnbb，数列 nb是以1为首项，3为公比的等比数列，13nnbn
28、N.【小问 2 详解】由（1）得：121 3nncnn N；012211 33 35 323321 3nnnTnn ，123131 33 35 323 321 3nnnTnn ，11213 1 321233321 31221 31 3nnnnnTnn 1 3321 32232nnnnn ，1 31nnTn；由知：1 3131 31nnnnnnm 对nN恒成立；当n为奇数时，31nm，31n为递增数列，当n为奇数时，1min31312n，2m；当n为偶数时，1 3nm ，1 3n为递减数列，当n为偶数时，2max1 31 38n ，8m；综上所述：实数m的取值范围为8,2.17.某学校号召学生参
29、加“每天锻炼 1 小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于 3 小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”（1）请完成上面22列联表，并依据小概率值0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为 0 小时的称为“极度缺乏锻炼”在抽取的 60 名同学中有 5 人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取 20 名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为 X，求 X 的
30、数学期望E X和方差D X；（3）将一周参加锻炼 6 小时以上的同学称为“运动爱好者”在抽取的 60 名同学中有 10 名“运动爱好者”，其中有 7 名男生，3 名女生为进一步了解他们的生活习惯，在 10 名“运动爱好者”中，随机抽取 3 人进行访谈，设抽取的 3 人中男生人数为 Y，求 Y 的分布列和数学期望附：22n adbcabcdacbd，nabcd 0.10.050.01x2.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2）53E X，5536D X（3）分布列见解析，2.1E Y【解析】【分析】（1）先根据题意完成22列联表，代入公式可
31、得23.5902.706，即可得到结论；（2）依题意可得 X 近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为112P，从而可得120,12XB，即可求得E X和D X；（3）依题意可得 Y 的所有可能取值为 0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到 Y 的分布列和期望值【小问 1 详解】根据题意可得22列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生141630合计213960零假设为0H：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得2220.160 7 1623 14607 301403.5902.70621 3
32、9 30 3021 39 30 3039x，根据小概率值0.1的独立性检验，推断0H不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过 0.1【小问 2 详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 X 近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率516012P，即可得120,12XB，故1520123E X，1115520121236D X【小问 3 详解】易知 10 名“运动爱好者”有 7 名男生，3 名女生，所以 Y 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 Y 服从超几何分布：0373310C C10C120P Y，1273310C C2171C120
33、40P Y，2173310C C21 3212C12040P Y，3071310C C3573C12024P Y 故所求分布列为Y0123P11207402140724可得 172173 701232.112040402410E Y 18.已知函数2()(2)lnf xxaxa x，常数0a（1）当1x 时，函数()f x取得极小值2，求函数()f x的极大值（2）设定义在D上的函数()yh x在点00(,()P x h x处的切线方程为:()lyg x，当0 xx时，若0()()0h xg xxx在D内恒成立，则称点P为()h x的“类优点”，若点(1,(1)f是函数()f x的“类优点”求
34、函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程求实数a的取值范围【答案】（1）51ln42；（2）()1g xa ；2a.【解析】【分析】（1）求出函数()f x的导数，利用给定的极值点及极值求出a，进而求出极大值.（2）利用导数的几何意义求出切线方程；利用给定的定义可得当0,11,x时，()01F xx恒成立，再利用导数分类探讨函数的单调性及函数取值情况即可判断得解.【小问 1 详解】依题意，(1)1(2)2fa ，解得1a，函数2()3lnf xxxx定义域为(0,)，求导得1(1)(21)()23xxfxxxx，当102x或1x 时，()0fx；当112x时，()0fx，所以()f x在1
35、(0,)2，(1,)上严格增，在1(,1)2上严格减，所以当12x 时，()f x有极大值51ln42【小问 2 详解】函数2()(2)lnf xxaxa x的定义域为(0,)，求导得(2)(1)()2(2)axa xfxxaxx，则()01f，而(1)1(2)1faa ，所以函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程为 1g xa .若点(1,(1)f是函数 f x的“类优点”，令2()()()(2)ln1F xf xg xxaxa xa，常数0a，则当0,11,x时，恒有()01F xx，又(1)0F，且(2)(1)()2(2)axa xF xxaxx，令()0F x，得1x 或,02a
36、xa，（i）当2a 时，0,FxF x在(0,)上严格增，则当(0,1)x时，()(1)0F xF，当(1,)x时，()(1)0F xF，因此当1x 时，恒有()01F xx成立；（ii）当2a 时，由()0F x，得12ax ，则()F x在(1,)2a上严格减，()(1)0F xF，所以12ax 时，01F xx不成立；（iii）当02a时，由()0F x，得12ax，()F x在(,1)2a上严格减，()(1)0F xF，所以12ax时，()01F xx不成立综上可知，若点(1,(1)f是函数()f x的“类优点”，则实数2a.19.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
37、（1）已知等比数列an满足：245132,440a aa aaa，求证：数列an为“M-数列”；（2）已知数列bn满足：1111,2nnnnnb bbSbb，其中 Sn为数列bn的前 n 项和.求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M-数列”nc，对任意正整数 k，当km时，都有1kkkcbc成立，求 m 的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）nbn;5【解析】【分析】（1）根据题意列出方程求出首项和公比即可证明；（2）根据1nnnbSS可得112nnnbbb，即可判断数列 nb为等差数列，即可求出通项公式；根据题意有lnlnln1kkqkk，构造函数ln()(1)xf xxx，利
38、用导数可得maxln3()(3)3f kf，即可求解.【小问 1 详解】设等比数列 na的公比为q，所以10,0aq，由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq，所以数列 na为“M-数列”；【小问 2 详解】因为1111,2nnnnnb bbSbb，则1 2112122bbSbbb，则22b，当2n时，由1nnnbSS，得11112nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb，所以数列 nb是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以nbn；由知，,kbk kN，因为数列 nc为“M-数列”，设公比为q，所以11,0cq，因为1kkkcbc，所以1kkqk q，其中1,2,3,km，当1k 时，有1q；当2,3,km时，有lnlnln1kkqkk，设ln()(1)xf xxx，则21 ln()xfxx，当1,ex，()0fx，f x单调递增；当e,x，0fx，f x单调递减，因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf，取33q，当1,2,3,4,5k 时，lnlnkqk，即kk q，经检验知1kqk也成立，因此所求m的最大值不小于 5，若6m，分别取3,6k，得33 q，且56q，从而15243q且15216q，所以q不存在，所以6m，综上，所求m的最大值为 5.