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1、1/4清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 1 1180 分钟 280 分可能用到的数学公式和科学常数：1.?ln?t2.?k?t?，?3.t?t?d?;t?t?d?4.重力加速度为?书?5.普适气体常数：R?8.3?J书molK一（30 分）如图所示，将一根内半径为?，外半径为?的匀质玻璃管插入水中，已知玻璃管的长度为?，插入深度为?，玻璃密度为?，水的密度为?，表面张力系数为?，设水与玻璃完全浸润。（1）试求出玻璃管内水的升高量h。（2）若?t?，管内的水是否会不断涌出而构成永动机？试回答并作解释。（3）求出为了让匀质玻璃管保
2、持平衡所要施加的外力 F。二（35 分）我们来研究磁偶极子，磁偶极子所等效的电流环的磁矩为，m?IS。安培曾经证明，一个圆状导线框通入电流 I，在远处产生的磁感应强度 B 可以由一个小磁针（磁偶极子）来完全代替。现在，真空中有两个相同的小磁针，其中心被固定可以做定点转动，取图示时刻，1 号磁针所指方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系；取 O为参考点，沿着三根主轴方向的转动惯量张量为：I?Ixx?Iyy?Izz空间中，它们分别位于（?，?，?）和（?，L?，?）处，且一号磁针的 N 极所指的方向为 x 轴正方向，2 号磁针 N 指向和 z 轴正方向平行，且 Ll（l 为磁针的线度），除了小磁
3、针之间磁相互作用外，其他相互作用一概不考虑。（1）求出对于给定的远处的空间坐标序列 x?,?,?、?,y?,?、?,?,z?的磁感应强度B?、B?、B3?（x?,?,?）（2）求最后两个小磁针的平衡位置（用针尖的指向给出）（3）分析平衡位置附近的运动，为方便讨论和简化计算，假定 2 号磁针从此以后固2/4定不动（保持在平衡位置时候的状态），按照 1 号磁针平衡位置的指向重新建立坐标系 xyz（y和 y 平行），此时针尖位于该坐标系的（?，?,?），施加微扰使 N 的指向变为（?，?，?）（?，?），以此为初条件，将针尖的坐标写成含时间参量 t 的形式注：在解决（1）中，存在一个小阻力（矩）来渐
4、渐耗散能量提示，安培得到的结果为：磁矩为m?磁偶极子的远处场强可以写作：Br?3cos?;B?3sin?三（35 分）脱离墙面的三角板：如图所示，一边长为?匀质等腰直角三角板靠在墙角，墙与地面均是光滑的，图中各个参量已经标出.（1）若此时三角板恰好平衡，求?（2）给予三角板一个微扰，若给定了以及?，试求出 A 点和 B 点的速度大小 VA?，VB?（3）经过一段时间后此时 BC 边和墙面成角，是否存在 B 点与墙面分离的可能性，如果存在，试求出的值使 B 与墙面分离（角度制写出）四（35 分）如下图所示，一半径为?的介质球的相对介电常数为r，在绝对粗糙的地面上以恒定的角速度?进行滚动，现外加一
5、个匀强电场，电场方向与?方向相互垂直，空气的相对介电常数为 1（1）略去表面电荷相对运动产生的磁场，求出介质球表面的极化电荷分布（2）若介电球表面的二维电导率为，试求出整个介质球此时的发热功率（3）由于发热会导致动能的减少，求出当介质球的角速度变为原来一半时所需要的时间3/4五（35 分）选用钠灯进行杨氏双缝干涉，钠灯双黄线波长分别为 589.0nm 及 589.6nm.由于存在一个很小的波长差，将会导致屏幕上高级的干涉条纹变得模糊不清，若不考虑狭缝本身的宽度，引入衬比度函数?t?th?th来衡量干涉的清晰度，当?时，条纹将会变得模糊不清；除此以外，若作为背景的光强变成系统最大可能光强的?书e
6、 时，也会导致观测者主观上的干涉条纹过暗导致的模糊不清。（1）若双缝的宽度为 2cm，屏幕到双缝的水平距离为 1m，求出条纹第二次变得模糊不清的位置（设双黄线的光强是一样的）（提示，在使用衬比度函数时，注意其局域性）（2）采用滤波片将波长为 589.0nm 的光线滤掉，由于钠灯内部分子的热运动导致了谱线的展宽，若钠灯温度为 500K，钠的相对原子质量为 23，试计算条纹第一次变得模糊不清的位置，由此说明对于热运动来说，产生的效果是很小的，假设钠原子满足麦克斯韦速度分布律六（30 分）在一本科普书上记载着一个星际航行的故事，以下文字选自这本书：飞船的火箭将一路保持地球重力加速度（1 个 g），这
7、样你和你的船员在飞船里就能处在舒适的地球重力作用下。在前一半的旅程里，飞船加速飞向银河系的中心，然后调转 180度，以一个 g 的加速度（相对瞬时静止参考系而言）减速完成另一半的旅程。整个旅程 30100 光年，在地球看来，要 30102 年，但是在飞船看来，只要 20 年。通过计算，判断有下划线的数据是否正确，若不正确，请给出正确的数值.4/4七（40 分）一个 1mol 理想气体的循环过程如图所示，p?，V?，V?3。（1）求出循环中温度的最高点（2）指出循环中的多方过程和多方指数（3）求出循环的效率（4）我们把AC 的斜率记作1，若将三角形的循环过程绕C旋转一定角度?襨?襨?，是否存在一个?使得 AB 段处于纯吸热（放热）？如果存在，给出?数值和对应的循环效率。八（40 分）如图所示，蒸汽机的飞球调速器是由两个质量为 m 的求通过 4 根长为?的铰臂，与套在竖直轴上、下两个套筒连接而构成，上面的套筒固定，下面的套筒质量为 M，可以沿着轴无摩擦地上下滑动，整个装置绕着数值轴以恒定的角速度?匀速转动，忽略各个铰臂的质量和套筒的转动惯量。（1）求平衡时 M 到上套筒之间的距离（2）求在平衡位置附近的小振动的周期，并给出小球空间轨迹闭合的条件（3）若轴可以自由转动，而系统以初角速度?稳定转动，若给予 M 一个上下的小扰动，再求系统在平衡位置附近的小振动周期