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1、1/19绝密绝密启用前启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）（浙江卷）（适用地区：浙江）数数 学学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）一、单选题一、单选题1设集合1Ax x，12Bxx，则AB（）A1x x B1x x C11xx D12xx2已知aR，13ai ii
2、，(i 为虚数单位)，则a（）A1B1C3D33已知非零向量,a b c ，则“a cb c ”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A32B3C3 22D3 25若实数 x，y 满足约束条件1002310 xxyxy ，则12zxy的最小值是（）A2B32C12D1102/196如图已知正方体1111ABCDABC D，M，N 分别是1AD，1D B的中点，则（）A直线1A D与直线1D B垂直，直线/MN平面ABCDB直线1A D与直线1D B平行，直线MN 平面11BDD BC直线1A D与直
3、线1D B相交，直线/MN平面ABCDD直线1A D与直线1D B异面，直线MN 平面11BDD B7已知函数21(),()sin4f xxg xx，则图象为如图的函数可能是（）A1()()4yf xg xB1()()4yf xg xC()()yf x g xD()()g xyf x8 已知,是互不相同的锐角，则在sincos,sincos,sincos三个值中，大于12的个数的最大值是（）A0B1C2D39已知,R,0a bab，函数 2R()f xaxb x.若(),(),()f stf sf st成等比数列，则平面上点,s t的轨迹是（）A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线
4、10已知数列 na满足111,N1nnnaaana.记数列 na的前 n 项和为nS，则（）A100332SB10034SC100942SD100952S第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）二、填空题二、填空题11我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形3/19拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方形的面积为1S，小正方形的面积为2S，则12SS_.12已知Ra，函数24,2()3,2,xxf xxa x若63ff，则a _.13已知平面向量,(0)a b c c 满足1,2,0,0aba b
5、abc.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为 x，y，da 在c方向上的投影为 z，则222xyz的最小值为_.三、双空题三、双空题14已知多项式344321234(1)(1)xxxa xa xa xa，则1a _，234aaa_.15 在ABC中，60,2BAB，M 是BC的中点，2 3AM，则AC _，cosMAC_.16袋中有 4 个红球 m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则mn_，E_.17已知椭圆22221(0)xyabab，焦点1(,0)Fc，2(,0)F c(0)c，若过1F的直线和圆2221
6、2xcyc相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且2PFx轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_.四、解答题四、解答题18设函数 sincos(R)f xxx x.（1）求函数22yfx的最小正周期；（2）求函数()4yf x fx在0,2上的最大值.19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，120,1,4,15ABCABBCPA，M，N 分别为,BC PC的中点，,PDDC PMMD.4/19（1）证明：ABPM；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.20已知数列 na的前 n 项和为nS，194a ，且1439nnSS.（1）求数列 na的通项；（2）设数列 nb满足*
7、3(4)0()nnbnanN，记 nb的前 n 项和为nT，若nnTb对任意Nn恒成立，求实数的取值范围.21如图，已知 F 是抛物线220ypx p的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且2MF，（1）求抛物线的方程；（2）设过点 F 的直线交抛物线与 AB 两点，斜率为 2 的直线 l 与直线,MA MB AB，x 轴依次交于点 P，Q，R，N，且2RNPNQN，求直线 l 在 x 轴上截距的范围.22设 a，b 为实数，且1a，函数 2R()xf xabxex（1）求函数 fx的单调区间；（2）若对任意22be，函数 fx有两个不同的零点，求 a 的取值范围；（3）当ae时，证明：
8、对任意4be，函数 fx有两个不同的零点12,x x，满足2212ln2bbexxeb.(注：2.71828e 是自然对数的底数)5/19参考答案参考答案1D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：|12ABxx.故选：D.2C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值.【详解】213ai ii aiiaaii +=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3aa.故选：C.3B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,OAa OBb OCc BAab ,当ABOC时，ab与c垂直，所以成立，此时a
9、b，不是ab的充分条件，当ab时，0ab，00abcc rrrr r,成立，是ab的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.6/194A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCDABC D，其高为 1，底面为等腰梯形ABCD，该等腰梯形的上底为2，下底为2 2，腰长为 1，故梯形的高为12122，故1 1 1112322 21222ABCD A BC DV，故选：A.5B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22yxz，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1
10、002310 xxyxy 的可行域，如下图所示：7/19目标函数12zxy化为22yxz，由12310 xxy ，解得11xy，设(1,1)A，当直线22yxz过A点时，12zxy取得最小值为32.故选：B.6A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1/,MN AB AD 平面1ABD，即可得出结论.【详解】连1AD，在正方体1111ABCDABC D中，M 是1AD的中点，所以M为1AD中点，又 N 是1D B的中点，所以/MN AB，MN 平面,ABCD AB 平面ABCD，所以/MN平面ABCD.8/19因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面11BDD B，所以选项 B
11、,D 不正确；在正方体1111ABCDABC D中，11ADA D，AB 平面11AAD D，所以1ABAD，1ADABA，所以1AD 平面1ABD，1D B 平面1ABD，所以11ADD B，且直线11,AD D B是异面直线，所以选项 C 错误，选项 A 正确.故选：A.7D【分析】由函数的奇偶性可排除 A、B，结合导数判断函数的单调性可判断 C，即可得解.【详解】对于 A，21sin4yf xg xxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 A；对于 B，21sin4yf xg xxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 B；对于 C，21sin4yf x g xxx，则2
12、12 sincos4yxxxx，当4x时，22120221642y，与图象不符，排除 C.故选：D.8C【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sincossincossincos2，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法 1：由基本不等式有22sincossincos2，同理22sincossincos2，22sincossincos2，故3sincossincossincos2，9/19故sincos,sincos,sincos不可能均大于12.取6，3，4，则116161sincos,sincos,sincos424242，故三式中大于
13、12的个数的最大值为 2，故选：C.法 2：不妨设，则coscoscos,sinsinsin，由排列不等式可得：sincossincossincossincossincossincos，而13sincossincossincossinsin222，故sincos,sincos,sincos不可能均大于12.取6，3，4，则116161sincos,sincos,sincos424242，故三式中大于12的个数的最大值为 2，故选：C.9C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()()f st f stf s，即2222()()a
14、 stba stbasb，对其进行整理变形：22222222asatastbasatastbasb，222222(2)0asatbastasb，22222 22240asatb ata s t，22 22 42220a s ta tabt，所以22220asatb或0t，其中2212stbbaa为双曲线，0t 为直线.故选：C.10/1910A【分析】显然可知，10012S，利用倒数法得到2111111124nnnnaaaa，再放缩可得11112nnaa，由累加法可得24(1)nan，进而由11nnnaaa局部放缩可得113nnanan，然后利用累乘法求得6(1)(2)nann，最后根据裂项相
15、消法即可得到1003S，从而得解【详解】因为111,N1nnnaaana，所以0na，10012S由211111111241nnnnnnnaaaaaaa21111111122nnnnaaaa，即11112nnaa根据累加法可得，111122nnna，当且仅当1n 时取等号，12412(1)3111nnnnnnaanaaannan113nnanan，由累乘法可得6(1)(2)nann，当且仅当1n 时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S，即100332S故选：A1125【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【
16、详解】由题意可得，大正方形的边长为：23345a，则其面积为：21525S，11/19小正方形的面积：212543 412S ，从而1225251SS.故答案为：25.122【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】6642233ffffa，故2a，故答案为：2.1325【分析】设(1,0),(0 2),(,)abcm n，由平面向量的知识可得252xyz，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(0 2),(,)abcm n，则20abcmn，即2mn，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为 x，y，所以,dx y，所以da 在c方向上的投影
17、221()22|5m xnydacxyzcmn，即252xyz,所以22222222221122152510105xyzxyzxyz，当且仅当215252xyzxyz即251555xyz时，等号成立，所以222xyz的最小值为25.故答案为：25.145;10.【分析】12/19根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4)xx的展开式，即可得出结论.【详解】332(1)331xxxx，4432(1)4641xxxxx，所以12145,363aa ，34347,1 10aa ，所以23410aaa.故答案为：5,10.152 132 3913【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC，进而可得AC，
18、再由余弦定理可得cosMAC.【详解】由题意作出图形，如图，在ABM中，由余弦定理得2222cosAMABBMBM BAB，即21124222BMBM，解得=4BM（负值舍去），所以=2=2=8BCBMCM，在ABC中，由余弦定理得22212cos4642 2 8522ACABBCAB BCB ，所以2 13AC；在AMC中，由余弦定理得22252 12 162 39cos2132 2 32 13ACAMMCMACAM AC.故答案为：2 13；2 3913.16189【分析】13/19根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n的值，再根据随机变量的分布列即可求出 E【详解】224422446
19、1(2)366m nm nm nCPCCC ，所以49mn，P 一红一黄114244133693mm nCCmmmC,所以2n,则1mn由于112455229914 55105(2),(1),(0)63693618CCCPPPCC155158()2106918399E 故答案为：1；89172 5555【分析】不妨假设2c，根据图形可知，122sin3PFF，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan55kPFF；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率【详解】如图所示：不妨假设2c，设切点为B，12112sinsin3ABPFFBF AF A，122222tan5532PFF所以2 55k
20、,由21212,24PFkFFcFF，所以28 55PF，2112112 5=sin5PFPFPF F，于是124 52PFaPF，即2 5a，所以2552 5cea故答案为：2 55；5518（1）；（2）212.【分析】14/19（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin2yx，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得2sin 242yx，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sincos2sin4f xxxx，则2223332sin2sin1 cos 21 sin22442yfxxxxx ，所以该函数的最小正周期22T;（2）由题意，2sin
21、2sin2sinsin444yf x fxxxxx2222sinsincos2sin2sin cos22xxxxxx1 cos2222222sin2sin2cos2sin 22222242xxxxx，由0,2x可得32,444x，所以当242x即38x时，函数取最大值212.19（1）证明见解析；（2）156【分析】（1）要证ABPM，可证DCPM，由题意可得，PDDC，易证DMDC，从而DC 平面PDM，即有DCPM，从而得证；（2）取AD中点E，根据题意可知，,ME DM PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向
22、量公式求出【详解】（1）在DCM中，1DC，2CM，60DCM，由余弦定理可得3DM，所以222DMDCCM，DMDC 由题意DCPD且PDDMD，DC平面PDM，而PM 平面PDM，所以DCPM，又/ABDC，所以ABPM（2）由PMMD，ABPM，而AB与DM相交，所以PM 平面ABCD，因为7AM，所以2 2PM，取AD中点E，连接ME，则,ME DM PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,0,2 2),(3,0,0)APD,(0,0,0),(3,1,0)MC又N为PC中点，所以313 35,2,22222NAN.15/19由（1）得CD平
23、面PDM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为5|152sin6|2725244AN nAN n20（1）33()4nna ；（2）31.【分析】（1）由1439nnSS，结合nS与na的关系，分1,2nn讨论，得到数列na为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0nnbna结合(1)的结论，利用错位相减法求出nT，nnTb对任意Nn恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于n的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n 时，1214()39aaa，229272749,4416aa ，当2n 时，由1439nnSS，得1439nnSS，得143
24、nnaa122730,0,164nnnaaaa，又213,4naaa是首项为94，公比为34的等比数列，1933()3()444nnna ；（2）由3(4)0nnbna，得43(4)()34nnnnban，所以234333333210(4)44444nnTn ，16/192413333333321(5)(4)444444nnnTnn ，两式相减得234113333333(4)4444444nnnTn 1193116493(4)34414nnn 111993334(4)44444nnnnn ，所以134()4nnTn，由nnTb得1334()(4)()44nnnn恒成立，即(4)30nn恒成立，
25、4n 时不等式恒成立；4n 时，312344nnn ，得1；4n 时，312344nnn ，得3；所以31.21（1）24yx；（2）,74 374 3,11,.【分析】（1）求出p的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB xty，1122,A x yB xy，,0N n，联立直线AB的方程和抛物线的方程后可得12124,4y yyyt，求出直线,MA MB的方程，联立各直线方程可求出,PQRyyy，根据题设条件可得222134121ntnt，从而可求n的范围.【详解】（1）因为2MF，故2p，故抛物线的方程为：24yx.（2）设:1AB xty，1122,A x yB xy，,0N n，所以
26、直线:2yl xn，由题设可得1n 且12t.由214xtyyx可得2440yty，故12124,4y yyyt，17/19因为2RNPNQN，故21111+1+1+444RPQyyy，故2RPQyyy.又11:11yMA yxx，由11112yyxxyxn可得1112122Pnyyxy，同理2222122Qnyyxy，由12xtyyxn可得2121Rnyt，所以2212211212121=212222nnynytxyxy，整理得到2212221112112222y yntnxyxy，22221214 212222tyyyy2222222121212112214 212134+2+442ttt
27、y yyyyyy yy yyy故222134121ntnt，令21st，则12st且0s，故22222234242411331+444421tsssssst，故213141nnn即214101nnn，解得74 3n 或74 31n 或1n.故直线l在x轴上的截距的范围为74 3n 或74 31n 或1n.22(1)0b 时，()f x在R上单调递增；0b 时，函数的单调减区间为,loglnaba，单调增区间为log,lnaba；(2)21,e；(3)证明见解析.18/19【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函
28、数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数 a 的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()lnxxf xbfaxeaxab，若0b，则()ln0 xfxaab，所以()f x在R上单调递增；若0b，当,loglnabxa 时，0,fxf x单调递减，当log,lnabxa时，0,fxf x单调递增.综上可得，0b 时，()f x在R上单调递增；0b 时，函数的单调减区间为,loglnaba，单调增区间为log,lnaba.(2)()f x有 2 个不同零点20 xabxe有 2 个不同解ln20 xaebxe有 2 个不
29、同的解，令lntxa，则220,0lnlnttbbeeeetaatt，记22222(1)(),()tttteteeeee teg tg tttt，记2()(1),()(1)10tttth te te h te tee t ，又(2)0h，所以(0,2)t时，()0,(2,)h tt时，()0h t，则()g t在(0,2)单调递减，(2,)单调递增，22(2),lnlnbbgeaae，22222,ln,21bbeaaee.即实数a的取值范围是21,e.(3)2,()xae f xebxe有 2 个不同零点，则2xeebx，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有 2 个不同零点，记较大者为2x，
30、较小者为1x，1222412xxeeeebexx，注意到函数2xeeyx在区间0,2上单调递减，在区间2,上单调递增，故122xx，又由5245eee知25x，19/19122211122xeeeebxxxb，要证2212ln2bbexxeb，只需22lnexbb，222222xxeeebxx且关于b的函数 2lneg bbb在4be上单调递增，所以只需证22222222ln52xxe xexxxe，只需证2222222lnln02xxxe xeexe，只需证2lnln202xe xxe，242e，只需证4()lnln2xxh xxe在5x 时为正，由于11()44410 xxxh xxeeexxx，故函数 h x单调递增，又54520(5)ln5l20n2ln02hee，故4()lnln2xxh xxe在5x 时为正，从而题中的不等式得证.