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1、 1/10 绝密启用前绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（天津天津卷卷）数数 学学 第第 I 卷卷 注意事项：注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()()=+P ABP AP B 如果事件A、B相互独立，那么()()()P ABP A P B=球的体积公式313VR=，其中R表示球的半径 圆锥的体积公式13VSh=，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高 一、选择题，在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合1,0,11,3,5,0,2,4ABC=，则()ABC=（）A.0 B.0,1,3,5 C.0,1,2,4 D.0,2,3,4 2.已知aR，则“6a”是“236a”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不允分也不必要条件 3.函数2ln|2xyx=+的图像大致为（）A B.C.D.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：)66,70、)70,74、L、94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分
3、在区间)82,86内的影视作品数量是（）A.20 B.40 C.64 D.80 5.设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4abc=，则 a，b，c的大小关系为（）A.abc B.cab C.bca D.acb 6.两个圆锥底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3 B.4 C.9 D.12 7.若2510ab=，则11ab+=（）2/10 A.1 B.lg7 C.1 D.7log 10 8.已知双曲线22221(0,0)xyabab=的右焦点与抛物线22(0)ypx p=的焦点重合，抛物线的准线交双曲线
4、于 A，B 两点，交双曲线的渐近线于 C、D 两点，若2|CDAB=则双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.2 D.3 9.设aR，函数22cos(22).()2(1)5,xaxaf xxaxaxa=+，若()f x在区间(0,)+内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（）A.95 112,42 4 B.5711,2,42 4 C.9112,344 D.11,2,3447 第第 II 卷卷 二、填空题，本大题共二、填空题，本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分，分，试题中包含两个空的，答对试题中包含两个空的，答对 1 1 个的给个的给 3 3 分，全
5、部分，全部答对的给答对的给 5 5 分分 10.i是虚数单位，复数92i2i+=+_ 11.在6312xx+的展开式中，6x的系数是_ 12.若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆()2211xy+=相切于点B，则AB=_ 13.若0,0ab，则21abab+的最小值为_ 14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为_ 15.在边长为 1 的等边三角形 ABC中，
6、D为线段 BC上的动点，DEAB且交 AB于点 E/DF AB且交 AC于点 F,则|2|BEDF+的值为_；()DEDFDA+的最小值为_ 三、解答题，本大题共三、解答题，本大题共 5 5 小题，共小题，共 7575 分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤 16.在ABC，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知sin:sin:sin2:1:2ABC=，2b=（I）求 a 的值；（II）求cosC的值；（III）求sin 26C的值 17.如图，在棱长为 2正方体1111ABCDABC D中，E为棱 BC的中点，F 为棱 CD 的中点 （I
7、）求证：1/D F平面11AEC；（II）求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值（III）求二面角11AACE的正弦值 3/10 18.已知椭圆()222210 xyabab+=的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2 55，且5BF=（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P若/MP BF，求直线l的方程 19.已知 na是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 nb是公比大于 0 的等比数列，1324,48bbb=（I）求 na和 nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN=+，（i）证明22nncc是等比
8、数列；（ii）证明()*11222 2nkkkkkanNcac+=20.已知0a，函数()xf xaxxe=（I）求曲线()yf x=在点(0,(0)f处切线方程：（II）证明()f x存在唯一的极值点（III）若存在 a，使得()f xab+对任意xR成立，求实数 b 的取值范围 4/10 参考答案参考答案 1.【答案】C【详解】1,0,11,3,5,0,2,4ABC=，1AB=，()0,1,2,4ABC=.故选：C 2.【答案】A【详解】由题意，若6a，则236a，故充分性成立；若236a，则6a 或6a ，推不出6a，故必要性不成立；所以“6a”是“236a”的充分不必要条件.故选：A.
9、3.【答案】B【详解】设()2ln|2xyf xx=+，则函数()fx的定义域为0 x x，关于原点对称，又()()()2ln|2xfxf xx=+，所以函数()fx为偶函数，排除 AC；当()0,1x时，2ln|0,10 xx+，所以()0fx，排除 D 故选：B.4.【答案】D【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间)82,86内的影视作品数量为400 0.05 480=.故选：D.5.【答案】D【详解】22log 0.3log 10=，0a，122225log 0.4log 0.4loglog 212=，1b，0.3000.40.41=，01c，acb.故选：D.6.【答案】B【详解】如
10、下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD=，设球的半径为R，则343233R=，可得2R=，所以，44ABADBDBD=+=，所以，1BD=，3AD=，CDAB，则90CADACDBCDACD+=+=，所以，CADBCD=，又因为ADCBDC=，所以，ACDCBD，所以，ADCDCDBD=，3CDAD BD=，因此，这两个圆锥的体积之和为()2113 4433CDADBD+=.故选：B.7.【答案】C 5/10 【详解】2510ab=，25log 10,log 10ab=，251111lg2lg5lg101log 10log 10ab+=+=+
11、=.故选：C.8.【答案】A【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab=与抛物线22(0)ypx p=的公共焦点为(),0c，则抛物线22(0)ypx p=的准线为xc=，令xc=，则22221cyab=，解得2bya=，所以22bABa=,又因为双曲线的渐近线方程为byxa=，所以2bcCDa=，所以222 2bcbaa=，即2cb=，所以222212acbc=，所以双曲线的离心率2cea=.故选：A.9.【答案】A【详解】()222150 xaxa+=最多有 2个根，所以()cos 220 xa=至少有 4个根，由22,2xakkZ=+可得1,24kxa kZ=+，由1024kaa+
12、可得11222ak，（1）xa时，当15242a 时，()f x有 4个零点，即7944a；当16252a ，()f x有 5个零点，即91144a；当17262a ，()f x有 6个零点，即111344a；（2）当xa时，22()2(1)5f xxaxa=+，()()224(1)4582aaa=+=，当2a 时，()f x无零点；当2a=时，0=，()f x有 1个零点；当2a 时，令22()2(1)5250f aaa aaa=+=+，则522a，此时()f x有 2个零点；所以若52a 时，()f x有 1 个零点.综上，要使()f x在区间(0,)+内恰有 6 个零点，则应满足 794
13、4522aa或91144522aaa=或或1113442aa，则可解得 a 的取值范围是95 112,42 4.二、填空题，本大题共二、填空题，本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对分，试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5分分 10.【答案】4i 6/10 【详解】()()()()92i2i92i205i4i2i2i2i5+=+.故答案为：4i.11.【答案】160【详解】6312xx+的展开式的通项为()63618 4166122rrrrrrrTCxCxx+=，令1846r=，解得3r=，所以
14、6x的系数是3362160C=.故答案为：160.12.【答案】3【详解】设直线AB的方程为3yxb=+，则点()0,Ab，由于直线AB与圆()2211xy+=相切，且圆心为()0,1C，半径为1，则112b=，解得1b=或3b=，所以2AC=，因为1BC=，故223ABACBC=.故答案为：3.13.【答案】2 2【详解】0,0ab，221122222 2aabbababbbbb+=+=，当且仅当21aab=且2bb=，即2ab=时等号成立，所以21abab+的最小值为2 2.故答案为：2 2.14.【答案】.23 .2027【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253=；则在 3
15、 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为23232122033327C+=.故答案为：23；2027.15.【答案】.1 .1120【详解】设BEx=，10,2x，ABC为边长为 1 的等边三角形，DEAB，30,2,3,12BDEBDx DEx DCx=，/DF AB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，22222(2)4444(1 2)cos0(1 2)1BEDFBEBE DFDFxxxx+=+=+=，|2|1BEDF+=，2()()()DEDFDADEDFDEEADEDF EA+=+=+222311(3)(1 2)(1)53151020 xxxxxx=+=+=+，所以当310 x=
16、时，()DEDFDA+的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共三、解答题，本大题共 5 小题，共小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤 7/10 16.【答案】（I）2 2；（II）34；（III）3 21 116【详解】（I）因为sin:sin:sin2:1:2ABC=，由正弦定理可得:2:1:2a b c=，2b=，2 2,2ac=；（II）由余弦定理可得2228243cos242 2 22abcCab+=；（III）3cos4C=，27sin1 cos4CC=，733 7sin22sincos2448CC
17、C=，291cos22cos121168CC=，所以sin 2sin2coscos2sin666CCC=3 73113 21 1828216=.17.【答案】（I）证明见解析；（II）39；（III）13.【详解】（I）以A为原点，1,AB AD AA分别为,x y z轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A,()10,0,2A,()2,0,0B,()2,2,0C,()0,2,0D,()12,2,2C,()10,2,2D，因为 E为棱 BC 的中点，F为棱 CD 的中点，所以()2,1,0E，()1,2,0F，所以()11,0,2D F=,()112,2,0AC=,()12,1,2AE=
18、,设平面11AEC的一个法向量为()111,mx y z=，则11111111202202mxymxyAAEzC+=+=，令12x=，则()2,2,1m=，因为1220mD F=，所以1mD F，因为1D F 平面11AEC，所以1/D F平面11AEC；（II）由（1）得，()12,2,2AC=，设直线1AC与平面11AEC所成角为，则11123sincos,93 2 3m ACACmmCA=；（III）由正方体的特征可得，平面11AAC的一个法向量为()2,2,0DB=，则82 2cos,33 2 2DB mDB mDBm=，所以二面角11AACE的正弦值为211 cos,3DB m=.1
19、8.【答案】（1）2215xy+=；（2）60 xy+=.【详解】（1）易知点(),0F c、()0,Bb，故225BFcba=+=，8/10 因为椭圆的离心率为2 55cea=，故2c=，221bac=，因此，椭圆的方程为2215xy+=；（2）设点()00,M xy为椭圆2215xy+=上一点，先证明直线MN的方程为0015x xy y+=，联立00221515x xy yxy+=+=，消去y并整理得220020 xx xx+=，2200440 xx=，因此，椭圆2215xy+=在点()00,M xy处的切线方程为0015x xy y+=.在直线MN的方程中，令0 x=，可得01yy=，由
20、题意可知00y，即点010,Ny，直线BF的斜率为12BFbkc=，所以，直线PN的方程为012yxy=+，在直线PN的方程中，令0y=，可得012xy=，即点01,02Py，因为/MP BF，则MPBFkk=，即20000002112122yyx yxy=+，整理可得()20050 xy+=，所以，005xy=，因为222000615xyy+=，00y，故066y=，05 66x=，所以，直线l的方程为66166xy+=，即60 xy+=.19.【答案】（I）21,nannN=，4,nnNbn=；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【详解】（I）因为 na是公差为 2的等差数列，其
21、前 8项和为 64 所以12818 782642aaaa+=+=，所以11a=，所以()12121,nnnnNaa=+=；设等比数列 nb的公比为(),0q q，所以()221321484qbbbqqbq=，解得4q=（负值舍去），所以114,nnnbqnNb=；（II）（i）由题意，221441nnnnnbcb=+=，所以22224211442 444nnnnnnncc=+=，9/10 所以220nncc，且21222212 442 4nnnnnncccc+=，所以数列22nncc是等比数列；（ii）由题意知，()()221222221 214142 42 22 2nnnnnnnnnannc
22、ca+=，所以2122124212 222 22nnnnnnnannancc+=，所以111122122nkknkkkkkakcca+=，设10121112322222nnknkknT=+，则123112322222nnnT=+，两式相减得21111111122121222222212nnnnnnnnnT+=+=，所以1242nnnT+=，所以111112211242 22222nnkknkkkkkakncca+=+=.20.【答案】（I）(1),(0)yax a=；（II）证明见解析；（III）),e+【详解】（I）()(1)xfxaxe=+，则(0)1fa=，又(0)0f=，则切线方程为(
23、1),(0)yax a=；（II）令()(1)0 xfxaxe=+=，则(1)xaxe=+，令()(1)xg xxe=+，则()(2)xg xxe=+，当(,2)x 时，()0g x，()g x单调递减；当(2,)x+时，()0g x，()g x单调递增，当x时，()0g x，()10g=，当x+时，()0g x，画出()g x大致图像如下：所以当0a 时，ya=与()yg x=仅有一个交点，令()g ma=，则1m ，且()()0fmag m=，当(,)xm 时，()ag x，则()0fx，()f x单调递增，当(),xm+时，()ag x，则()0fx，()f x单调递减，xm=为()f
24、x的极大值点，故()f x存在唯一的极值点；（III）由（II）知max()()f xf m=，此时)1(1,mam em+=，所以()2max()()1(1),mf xaf mammem=，令()2()1,(1)xh xxxex=，若存在 a，使得()f xab+对任意xR成立，等价于存在(1,)x +，使得()h xb，即min()bh x，10/10 ()2()2(1)(2)xxh xxxexxe=+=+，1x ，当(1,1)x 时，()0h x，()h x单调递减，当(1,)x+时，()0h x，()h x单调递增，所以min()(1)h xhe=，故be，所以实数 b 的取值范围),e+.