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1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）（适用地区：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建）数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L 若集合 M=X6 4 ,N=x 3 x l,则 M n N=()A,x0 x2
2、 B.尤:x C.x3x16D.x-x 32.若 i(l-z)=l,则 z+2=()A.-2 B.-1C.1D.23.在aABC中，点。在边/8上，BD=2 D A.记a=通 丽=万，贝IJ而=()A.3m Ifi B.-Im +3n C.3m+2n D.2m+3n4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为IgQOkn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7 2.65）（）A.
3、1.0 IO9 m3 B.1.2109m3 C.1.4IO9m3 D.1.6109m35.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）最小正周期为 若-T 不，且y=（）的图象关于点5C.-D.32C.c a b D.ac 0)上，过点5(0,-1)直线交C 于 P,。两点，则()A.C 的准线为y =-l B.直线/8 与 C 相切C.OP-OQ O D.BP BQ BAl1 2 .已知函数/3 及其导函数/(X)的定义域均为R ,记 g(x)=(x),若口-2 x ,g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.g=。C./(-1)=/(4)D.g(T)=g(
4、2)Z)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.一上(X+y)8 的展开式中Y.的系数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (用数字作答).I XJ1 4 .写出与圆元2 +y 2 =1 和(x 3)2 +(,4)2 =6 都相切的一条直线的方程.1 5 .若曲线y =(x +a)ej f有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是.2 21 6 .已知椭圆。：，+方=13 人0),C 的上顶点为力,两个焦点为耳，F2,离 心 率 为 过 耳 且 垂 直 于A居的直线与C 交于。，E两点，|。后卜6,则力D E 的周长是.四、解答题：本题共6小题，共70分.
5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.f S 11 7.记 S,为数列,J 的前项和，已知L是公差为4的等差数列.an J (1)求 4 的通项公式；1(2)证明：一a+1 .l),直线/交C于尸，Q 两点，直线AP,A。的斜率之和u cC 1为 0(1)求/的斜率；(2)若 tanNPAQ=2J 5,求 P A Q 的面积.22.已知函数/(x)=0 T和 g(x)=r-ln X有相同的最小值.(1)求；(2)证明：存在直线y=。，其与两条曲线y=()和 y=g()共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.4/17参 考 答 案L【答案】D【解析】【分析】求出集合M,N
6、后可求M CN.【详解】M=%0%,故M CN=xgx,故选：D2.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+彳.1 【详解】由题设有l z=2=3 =T,故z=l+i,故z+5=(l+i)+(l i)=2,故选：D3.【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】因为点。在边/8上，B D =2 D A,所 以 丽=2次，即加 一 而=2(声 一 函)，所 以 而=3迎 一 2G5=35-2肩=2玩+3鼠故 选:B.4.【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为MN=I57.5
7、 1485=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台 hJRS=140.0km2=140106m2,下底面积S=ISSOkm)=18l6l2,.V=.S +S+7)=J9(140l()6+180 x1()6+J140X180X10 1=3(320+607)106(96+182.65)107=1.437109 1.4109(m3).故选：C.5.【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(
8、6,8),共 7 种，21-7 2故所求概率P=-=一 .21 3故选：D.6.【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.2万 2万 2 r【详解】由函数的最小正周期7满足一T 万，得一 乃，解得2 o 3,3 3 又因为函数图象关于点(当,2 对称，所 以 江/+二=Z%,Z Z,且。=2,12)2 45/17所以0=-+2左,4 Z,所以-1),因为/(x)=;1 =-，1+x 1+x当x (-4,0)时,(x)O,当x (O,+8)时/(x)O,所以函数F(X)=ln(l+x)X在(0,+8)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以/()
9、/(O)=，所以In#，ln?=ln .9,即人 c，所以/(一而)/(0)=0,所以In言+而 0,故 木 e。，所 以 自6。，故a b，1 f r2 1 ex 1设g(x)=Xet+ln(l-X)(O x l),则g,(x)=(x+l)e+一-=一-令 h(x)=er(x2-1)+1,h(x)=ev(x2+2 x-l),当O x-1 时，(x)0,函数z(x)=e(2-1)+1 单调递减，当 J-l x 0，函数?(X)=e(-i)+i 单调递增，又(O)=O,所以当0%后 一1时，2(x)0,所以当0 x 0,函数g(x)=xe*+ln(l-X)单调递增,所以g(01)g(0)=0,即
10、0.1ei -ln 0.9,所以c故选：C.8.【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为力，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】球的体积为36万，所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2 0,高为人，则=2.2+/，32=2a2+(3-)2,所以6 =尸，2a2=I2-h21 1 2 4 I2(Z6所以正四棱锥的体积 V=-Sh=-4a2 h=-(l-)-=4-3 3 3 36 6 91 36)6/17(/5、所以 V=-4/3-91 6lz3f2 4-当3 2 时，V,0.当2 3 5时，V,理 或X_曰,令 f(x)O 得 一
11、 旦 0,/(-2)=-50,即函数“X)在*,+8上无零点，综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；令(X)=X3-X,该函数的定义域为 R,z(-)=(-X)3 一(-X)=3+=一 (X),则Zz(X)是奇函数，(0,0)是力(X)的对称中心,将 近无)的图象向上移动一个单位得到/(X)的图象，所以点(0,1)是曲线y=/(X)的对称中心，故C正确；令r(x)=3 -1=2,可得=l,又/(1)=(-1)=1,当切点为(U)时，切线方程为y=2x-1,当切点为(一 1,1)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.故选：AC.11.【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联
12、立/8与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得l=2 p,所以抛物线方程为2=y,故准线方程为y=-；,A错误；1-(-1)心8=2=2,所以直线AB的方程为y=2x-l,y-2 x-l联立，可得f-2 x+l=0,解得尤=1,故B正确；X=y设过B的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，所以，直线/的斜率存在，设其方程为y=丘-1,(x,),Q(x2,y2),y=kx-联 立，得2-fct+=0,=y=2-4 0所以 2或攵 2=I CAp 故 C 正确；因为IB P I=JmTIXl|，52=1+FX2 I-
13、所以 IBPHBQ1=(1+/)Ux2b l+公 5,而 IBAl2=5,故 D 正确.故选：BCD12.【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.8/17【详解】因为一2无)，g(2+x)均为偶函数，所以 -2x=(m +2x)即/(g x)=(g +x)g(2+x)=g(2-x),所以 3 r)=x),g(4 x)=g(x),则/(-1)=/(4),故 C 正确；3函数/(),g()的图象分别关于直线X =-,%=2对称，2又g()=(),且函数f()可导,所以g-=O，g(3 x)=g(x),所以g(4-x)=g
14、(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以g(-g)=g(m)=0,g(-l)=g(l)=-g(2)，故 B 正确，D错误：若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值，故A错误.故选：BC.13.【答案】-28【解析】【分析】11 l(+y)8可化为(+y)8-2(x+y)8,结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为(l-J(+y)*=(+y)8(+y f,所以11-q 1 x+)8 的展开式中含 y 6 的项为 C52y6 _ 2 c53y5 =_2yf ,(1)，)8的展开式中尤2V的系数为一28
15、故答案为：-283 5 7 2514.【答案】y=jx +：或 =五 无 一 或 或x=1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆V+y2=的圆心为0(0,0),半径为1,圆(九一3)2+(y-4)2=16的圆心Oi为(3,4),半径为4，两圆圆心距为J32+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为/时，因为Z O a=所以勺=一d=,l fl=1 5。到/的距离 L W,解得:1+4V 16当切线为掰时，设直线方程为丘+y+P=一，T k =-由 题 意I I ，解得普伙+4+*P=至 I7 F I 24当切线为时，易知切线方程为x=-l,设方程为 =7
16、x+f(fO)4 43 5,所以/的方程为y=-x+，4 40.其中p 0,k=(/+1 +a)er(-x0),整理得：x+ax0-a =0,：切线有两条，.=。2+4。0,解得。E的周长，利 用 椭 圆 的 定 义 得 到 周 长 为D+E +DE=DF2 +EF21+|DFi+EFt=DFi+DF2 +EFt+EF2 =2a+2a=4a=.故答案为：13.*.n(n+17.【答案】(1)a=Ln 2(2)见解析【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得2 =1+或-1)=2,得至JSz,=5+2)4.,利用和与项的关系得到当 2时，4=S),=(+；_(+；”T,进 而 得:/=喏，
17、利用累乘法求得r =(；M)，检验对于=1也成立，得到,的通项公式为=?”；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到,+-=2(1 1 ,进而证得.l a1 an 卜 n+J【小 问I详解】5/4=1,S1=1=1 ,=,%又S 是公差为二II的等差数列,3,.-=+|(-)=4 当2 2时，H.C _(+2)4,3,Y=一 ,3a“=S-S“_(+2”“(+1)%33整理得：=(+l),a +1即-=-7,%-1/.a0,%a.ann=al -.-2 zla a2 an-2a n-13 4 n n+1 (+1)=lx -.-X-=-1 2 n-2 n-2显然对于=1也成立，,的通项公式an=
18、”,)；【小问2详解】11/17TT18.【答案】（1）；62 42-5【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cs=sn28 化成COS（A+5）=sin3,再1 +sin A l+cos2B 7TT结合0 B 一,即可求出；2（2）由（1）知，C=-+B,A=-2 B,再利用正弦定理以及二倍角公式将 之：“化成2 2 c24cos2+-5,然后利用基本不等式即可解出.C O s B【小 问1详解】r因-s为,-c-o-s-A-=-s-in-2-8-=-2-s-i-n-B-cosB sin 5 0Z-=-,即lsin A l+cos2B 2cos B cos Bsin B
19、=cos A cos B-SinA sin B=cos（A+3）=_ cos C=；，TT Ir而 0 8 0,所以一 C 兀,0 3 m-BA=2y=Q可取而=(1,0,-1),设平面BDC的一个法向量”=(,0,c),贝M ，)m-BC=2a=0可取7=(01,1),mn _ 1 _ 1Imln 2y2 2 所以二面角A-B O-C的正弦值为J l-(j)=当2 0.【答案】(1)答案见解析(2)(i)证明见解析；(ii)H=6;【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i
20、)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根 据(i)结合已知数据求R.【小 问1详解】由已知 K?=(=200(40 x90-60 x10)2=24(4+/?)(c+d)(a+C)S+d)50150100100又 P(K?N 6.635)=0.01,24 6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】13/17因为R=冬”哩=逊 S迹 M,P(BlA)P(BlA)P(A)P(AB)P(A)P(AB)所以R=所以R=P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AIB)P(A B)P(ZlB)P(A 旧)PP(AB)(ii)40
21、-由已知 P(AIB)=而，P(AIB)10100-60 90又P(AIB)=而P(AIB)=-)所以 R=3 1 0 UP(AlB)P(A B)21.【答案】(1)-1；G 1629【解析】【分析】(1)由点42,1)在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设/:丁=丘+加，P(xi,yi),Q(x2,y2),再根据原p+心o=。，即可解出/的斜率；(2)根据直线AP,AQ的斜率之和为O可知直线AP,A。的倾斜角互补，再根据tanNPAQ=2即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直,线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点
22、A到直线PQ的距离，即可得出X F kQ的面积.【小 问1详解】J21因 点42,1)在双曲线C：ar4上，所以fa2-l二1,解得=2,即双曲线2C:-X-y 2 =1,2易知直线/的斜率存在,设Ly=A+n,P(i,yi),Q(2,y2)y 二2Xkx-vm联立9 可得，(l-22)%2-4mkx-2m2-2-0 ,12y所以，X 1 +%=,2k -24mk2m2+22k2-l,xx2 2k2-l,=16m22-4(27+2)(22-l)0=-l+22 0所以由MP+K=O可得,%T I X T=0,X?-2 2即(芭-2)(仇 +w-l)+(x2-2)(fcq zn-l)=O,即 2k
23、xlx2+(m-l-2)(x1+x2)-4(m-l)=0,所以2%x2m2+22P-1 4(-1)=0,化简得，8k2+4%4+4加(k+1)=0,Bp(+1)(2-l+m)=0,所以Z=-I或 根=1-2Z,当初=1一2&时，直线Ly=依+w=Z(x-2)+1过点A(2,l),与题意不符，舍去,故攵二一1.【小问2详解】14/17 TT 不妨设直线PAAQ的倾斜角为,/a -O,当P,。均在双曲线左支时，Z P A Q =2 a,所以t a n 2=2 0,li J V t a n2 +t a n a-V 2=O 解得 t a n。=4?(负值舍去)2此时为与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支
24、无交点，舍去；当产,。均在双曲线右支时，因为1211/巳4 2=2夜，所以 t a n(c)=2 0,即 t a n 2a =_ 2j,ij,2 t a n2 a -t a n a -V 2=O 解 R Jt a n a =JI (负值舍去)，于是，直线尸A =y =(x-2)+l,直线4 Q:y =-(x-2)+1,y=V 2(x-2)+l联立3 2 可得，X2+2(2-4)+10-42=0,因为方程有一个根为2,所以X P =K)一；血,),产40 5 ,同理可得，X I o+40,)-4夜-5.3 3所以P Q:x +y-|=O,P Q =g,点A到直线P Q的距离)2 +1 3 22,
25、a=-二-故 他的面积为消,孚=萼22.【答案】(1)a=(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当6 1时，e*-x =b的解的个数、x l n x =b的解的个数均为2,构建新函数(x)=e +l n x-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得 x),g(x)的大小关系，根据存在直线y =b与曲线 =/(%)、y =g()有三个不同的交点可得6的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】/(%)=e v-ax 的定义域为 R,而 f x)=e v-a,若0,贝 J/(
26、X)0,此时f()无最小值，故。().g(x)=r -I n X 的定义域为(0,+e),而 s()=a-=-.X X当x l n 时，,(x)0,故/在(I n a,+8)上为增函数，故/(x)m i n =/(I n a)=。-。I n .1(当0 x一 时,g,()一时，g()O,故g()在I-,+8上为增函数，a a 15/17(1 1故 g(x)min=g =1 -In-.a J a因为/(x)=6-r和g(x)=cx-nx有相同的最小值，1a-1故l-ln-=-ln ,整理得到-=I n o,其中。0,a 1 +设g()=-ln 4,Q 0,则，(。)=/1 E =J_TT 0l+
27、(1+Q)a(l+)故g()为(0,+e)上的减函数，而g(l)=O,故g()=O的唯一解为=l,故土 工=Ina的解为。=1.1 +综上，a-.【小问2详解】由(1)可得f(x)=e-x和g(x)=x T n x的最小值为I-Inl=I-ln；=l.当b l时，考虑e-x =b的解的个数、X-InX=b的解的个数.设 S(X)=e-x-。，5,(%)=-1,当x()时，S(x)0时，S(x)O,故5(尤)在(一0)上为减函数，在(0,+。)上为增函数，所以 s(x：L =S(O)=I 一 ，而S()=e 0,S()=efc-2,设 =e-2 ,其中力 1,则”()=e-2 0,故他)在(l,
28、+)上为增函数，w()u(l)=e-2 0,故S(0)(),故S(X)=e-龙 有两个不同的零点，即e-x =b的解的个数为2.设T(X)=X-In尤一Z?,T,(x)=-,当()x l时，()1 时，T(x)Q,故T(X)在(0,1)上为减函数，在(1,m)上为增函数，所以 T(X)h=T(I)=I 匕 0,T(eb)=eb-2b,T(X)=X -In尤 一 b有两个不同的零点即X-Inx=/?的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得X-InX=匕、e*-X=A仅有一个解，当力、e-x =b均无根，故若存在直线y=6与曲线y=/(%)、y=g()有三个不同的交点，则。1.设z(x)=e*+
29、ln龙一2九，其中x 0,A,(x)=e+-2,X设S(X)=e*-x-l,x 0,则s(x)=e*-lO,故S(X)在(0,+8)上为增函数，故S(X)s(0)=0即e*x+l，所以I(X)龙+12 2-l 0,所以以x)在(0,+力)上为增函数，而入=e-2 0,(1)=e7-3-4 e-3-4 -故MX)在(0,+)上有且只有一个零点0,/1且：C16/17当 O x 玉)时,MX)O 即 e*-X X-In 尤即/(X)x0时，A(x)0 BJex-x x-n x B P /()g().因此若存在直线y=匕与曲线y=/()、y=g(X)有三个不同的交点，故=/(XO)=g(x0)l,此
30、时e*X=Z?有两个不同的根x,(X 0 /)，此时X-InX=b有两个不同的根与,尤4(入0 1 故 e*1-X l=6,e t-x0=b,x4-In x4-J=0,o-ln xo-=O所以 一人=InX4 即 e*i=z 即 e*T-8=()，故乂-匕为方程e*-X=/?的解，同理/-匕也为方程e x=6的解又e*-x=6可化为e*=x+6即X In(Xl+b)=0即(x+)-ln(x1+)-=0,故%+/?为方程X-InX=b的解，同理/+b也为方程尤一InX=/?的解，所以 玉,xt)=X()。,犬4一。，而人1，故 X1=x4-b，即斗 +4=2%0.xl=X0-b【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.17/17