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1、2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2014四川）已知集合A=x|x2x20，集合B为整数集，则AB=（）A1，0，1，2B2，1，0，1C0，1D1，02（5分）（2014四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A30B20C15D103（5分）（2014四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行一定1个单位长度4（5分）（2014四川）若
2、ab0，cd0，则一定有（）ABCD5（5分）（2014四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（）A0B1C2D36（5分）（2014四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A192种B216种C240种D288种7（5分）（2014四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A2B1C1D28（5分）（2014四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，
3、1C，D，19（5分）（2014四川）已知f（x）=ln（1+x）ln（1x），x（1，1）现有下列命题：f（x）=f（x）；f（）=2f（x）|f（x）|2|x|其中的所有正确命题的序号是（）ABCD10（5分）（2014四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A2B3CD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2014四川）复数=_12（5分）（2014四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=_13（5分）（2014四川）如图，
4、从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）14（5分）（2014四川）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mxym+3=0交于点P（x，y）则|PA|PB|的最大值是_15（5分）（2014四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数M，使得函数（x）的值域包含于区间M，M例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时
5、，1（x）A，2（x）B现有如下命题：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”；函数f（x）B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）+g（x）B若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则f（x）B其中的真命题有_（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2014四川）已知函数f（x）=sin（3x+）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求co
6、ssin的值17（12分）（2014四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200分）设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因18（12分）（2014四川）三棱锥ABCD及其侧视
7、图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值19（12分）（2014四川）设等差数列an的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（nN*）（1）若a1=2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列an的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn20（13分）（2014四川）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭
8、圆C的左焦点，T为直线x=3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标21（14分）（2014四川）已知函数f（x）=exax2bx1，其中a，bR，e=2.71828为自然对数的底数（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间0，1上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2014四川）已知集合A=x
9、|x2x20，集合B为整数集，则AB=（）A1，0，1，2B2，1，0，1C0，1D1，0考点：交集及其运算菁优网所有专题：计算题分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得解答：解：A=x|1x2，B=Z，AB=1，0，1，2故选：A点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分2（5分）（2014四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A30B20C15D10考点：二项式系数的性质菁优网所有专题：二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+
10、x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数然后求解即可解答：解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15故选：C点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用牢记公式是基础，计算准确是关键3（5分）（2014四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网所有专题
11、：三角函数的图像与性质分析：根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论解答：解：y=sin（2x+1）=sin2（x+），把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题4（5分）（2014四川）若ab0，cd0，则一定有（）ABCD考点：不等式比较大小；不等关系与不等式菁优网所有专题：不等式的解法及应用分析：利用特例法，判断选项即可解答：解：不妨令a=3，b=1，c=3，d=1，则，A、B不正确；，=，C不正确
12、，D正确故选：D点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确5（5分）（2014四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（）A0B1C2D3考点：程序框图菁优网所有专题：计算题；算法和程序框图分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2故选：C点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键6（5分）（2014
13、四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A192种B216种C240种D288种考点：排列、组合及简单计数问题菁优网所有专题：应用题；排列组合分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种故选：B点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）（2014四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A2B1C1D2考点
14、：数量积表示两个向量的夹角菁优网所有专题：平面向量及应用分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案解答：解：向量=（1，2），=（4，2），=m+=（m+4，2m+2），又与的夹角等于与的夹角，=，=，=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档8（5分）（2014四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，1C，D，1考点：直线与平面所成的角菁优网所有专题：空间角分析：由题意可得：
15、直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是不妨取AB=2在RtAOA1中，=sinC1OA1=sin（2AOA1）=sin2AOA1=2sinAOA1cosAOA1=，=1sin的取值范围是故选：B点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题9（5分）（2014四川）已知f（x）=ln（1+x）ln（1x），x（1，1）现有下列命题：f（x）=f（x）；f（）=2f（x）|f（x）|2|x|其中的所有正确命题的序号是（）ABCD考点
16、：命题的真假判断与应用菁优网所有专题：函数的性质及应用分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案解答：解：f（x）=ln（1+x）ln（1x），x（1，1），f（x）=ln（1x）ln（1+x）=f（x），即正确；f（）=ln（1+）ln（1）=ln（）ln（）=ln（）=ln（）2=2ln（）=2ln（1+x）ln（1x）=2f（x），故正确；当x0，1）时，|f（x）|2|x|f（x）2x0，令g（x）=f（x）2x=ln（1+x）ln（1x）2x（x0，1）g（x）=+2=0，g（x）在0，1）单调递增，g（x）=f（x）2xg（
17、0）=0，又f（x）2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨2丨x丨成立，故正确；故正确的命题有，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档10（5分）（2014四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A2B3CD考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题解答：解：
18、设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（0，m），由y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，从而，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又，SABO+SAFO=当且仅当，即时，取“=”号，ABO与AFO面积之和的最小值是3，故选B点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等
19、式时，应注意“一正，二定，三相等”二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2014四川）复数=2i考点：复数代数形式的乘除运算菁优网所有专题：数系的扩充和复数分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果解答：解：复数=2i，故答案为：2i点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题12（5分）（2014四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=1考点：函数的值菁优网所有专题：计算题分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值解答：解：f（x）是定义在R上的周期为
20、2的函数，=1故答案为：1点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”13（5分）（2014四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用菁优网所有专题：应用题；解三角形分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在RtACD、RtABD中利用三角函数的定义，算出C
21、D、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则RtACD中，C=30，AD=46mCD=4679.58m又RtABD中，ABD=67，可得BD=19.5mBC=CDBD=79.5819.5=60.0860m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题14（5分）（2014四川）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mxym+3=0交于点P（x，y）则|PA|PB|的最大值是5考点：点到直线的距离公式菁优网所有专题：直线与圆分析：先
22、计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PAPB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|PB|的最大值解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10故|PA|PB|=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求
23、解得出直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题15（5分）（2014四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数M，使得函数（x）的值域包含于区间M，M例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）A，2（x）B现有如下命题：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”；函数f（x）B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）+g（x）B若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则f
24、（x）B其中的真命题有（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域菁优网所有专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论解答：解：（1）对于命题“f（x）A”即函数f（x）值域为R，“bR，aD，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”命题是真命题； （2）对于命题若函数f（x）B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包
25、含于区间M，MMf（x）M例如：函数f（x）满足2f（x）5，则有5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值命题“函数f（x）B的充要条件是f（x）有最大值和最小值”是假命题； （3）对于命题若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）值域为R，f（x）（，+），并且存在一个正数M，使得Mg（x）Mf（x）+g（x）R则f（x）+g（x）B命题是真命题 （4）对于命题函数f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，假设a0，当x+时，0，ln（x+2）+，aln（x+2）+，则f（x）+与题意不符； 假设a0，当x2时，ln（x+2），aln（x+2）
26、+，则f（x）+与题意不符a=0即函数f（x）=（x2）当x0时，即；当x=0时，f（x）=0；当x0时，即即f（x）B故命题是真命题故答案为点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2014四川）已知函数f（x）=sin（3x+）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求cossin的值考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性菁优网所有专题：三角函数的求值分析：（1）
27、令 2k3x+2k+，kz，求得x的范围，可得函数的增区间（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+），又f（）=cos（+）cos2，可得sin（+）=cos（+）cos2，化简可得 （cossin）2=再由是第二象限角，cossin0，从而求得cossin 的值解答：解：（1）函数f（x）=sin（3x+），令 2k3x+2k+，kz，求得 x+，故函数的增区间为，+，kz（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+），又f（）=cos（+）cos2，sin（+）=cos（+）cos2，即sin（+）=cos（+）（cos2sin2），sincos+cossin=（cos2sin2）（s
28、in+cos）又是第二象限角，cossin0，当sin+cos=0时，此时cossin=当sin+cos0时，此时cossin=综上所述：cossin=或点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题17（12分）（2014四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200分）设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至
29、少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网所有专题：概率与统计分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可解答：解：（1）X可能取值有200，10，20，100则P（X=200）=，P（X=10）=P（X=20）=，P（X=100）=，故分布列为： X200 10 2
30、0100 P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（200）+10+20100=这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力18（12分）（2014四川）三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值考点：二面角
31、的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角菁优网所有专题：空间向量及应用分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角ANPM的余弦值解答：解：（1）由三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥ABCD中：平面ABD平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OABD，OCBD 所以BD平面OACBDAC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MNBD，MNNP，故BDNP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD平面ABC，这与DBC=60
32、矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，0）于是，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos=所以二面角ANPM的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题19（12分）（2014四川）设等差数列an的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（nN*）（1）若a1=2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列an的前n项和Sn；（2）若a
33、1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn考点：数列的求和；数列与函数的综合菁优网所有专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d再利用等差数列的前n项和公式即可得出（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2进而得到an，bn再利用“错位相减法”即可得出解答：解：（1）点（a8，4b7）在函
34、数f（x）=2x的图象上，又等差数列an的公差为d，=2d，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，=b8，=4=2d，解得d=2又a1=2，Sn=2n+=n23n（2）由f（x）=2x，f（x）=2xln2，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，解得a2=2d=a2a1=21=1an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n，bn=2nTn=+，2Tn=1+，两式相减得Tn=1+=点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题20
35、（13分）（2014四川）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网所有专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定
36、点T的坐标解答：解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1（2）设T（3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），证明：由F（2，0），可设直线PQ的方程为x=my2，由（m2+3）y24my2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证由两点间距离公式得，由弦长公式得=，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=1，此时点T的坐标为（3，1）或（3，1）点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或
37、x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题21（14分）（2014四川）已知函数f（x）=exax2bx1，其中a，bR，e=2.71828为自然对数的底数（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间0，1上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点菁优网所有专题：导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）
38、在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点解答：解：f（x）=exax2bx1，g（x）=f（x）=ex2axb，又g（x）=ex2a，x0，1，1exe，当时，则2a1，g（x）=ex2a0，函数g（x）在区间0，1上单调递增，g（x）min=g（0）=1b；当，则12ae，当0xln（2a）时，g（x）=ex2a0，当ln（2a）x1时，g（x）=ex2a0，函数g（x）在区间0，ln（2a）上单调递减，在区间ln（2a），1上单调递增，g（x）min=gln（2a）=2a2aln（2a）b；当时，则2ae，g
39、（x）=ex2a0，函数g（x）在区间0，1上单调递减，g（x）min=g（1）=e2ab，综上：函数g（x）在区间0，1上的最小值为；（2）由f（1）=0，eab1=0b=ea1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a或a时，函数g（x）在区间0，1上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求若，则gmin（x）=2a2aln（2a）b=3a2aln（2a）e+1令h（x）= （1xe）则由0xh（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+0，即gmin（x）0 恒成立，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，又，所以e2a1，综上得：e2a1点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点是一道导数的综合题，难度较大参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日