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1、人教人教2019 A版版 选择性必修选择性必修 第第一册一册 1.1 空间向量及其运算 第一章空间向量与立体几何 章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。情境导学学习目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，
2、了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法,并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.5.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一空间向量的概念 思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.问题导学 答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.方向大小长度模长度空间向量 (2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_，记为0单位向量_的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，记
3、为a相等向量方向_且模_的向量称为相等向量，_且_的有向线段表示同一向量或相等向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长 知识点二空间向量的加减运算及运算律思考2.下面给出了两个空间向量a、b，作出ba，ba.问题导学 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.(2)空间向量加法交换律ab_空间向量加法结合律(ab)ca(bc)ba空间向量的加减运算及运算律 知识点三空间向量的数乘运算思考3.实数和空间向量a的乘积a的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？问题导学 答案0时，a和a方向相同；0时，a和a方向相反；a的长度是a的长度的|倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分
4、配律：(ab)ab，结合律：(a)()a.(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|_.当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)_；(ab)_；(12)a_(拓展).相反|a|()aab1a2a空间向量的数乘运算 知识点四共线向量与共面向量思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.问题导学 平行(共线)向量平行或重合ab方
5、向向量共面向量惟一pxayb1.如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.做一做典例解析知识点五空间向量数量积的概念问题导学 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_交换律ab_分配律a(bc)_abac(ab)ba空间向量数量积(3)空间向量的夹角AOB0，两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则ab_；若反向，则ab_.特别地，aa_或|a|若为a，b的夹角，则cos _|ab|a|b|空间向量的数量积的性质ab0|a
6、|b|a|b|a|2典例解析1.下列命题中，假命题是()A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等D解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.当堂达标当堂达标解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.A2.在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc.其中正确命题的个数为()A.0 B.1
7、C.2 D.3解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.D3.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()A.ab B.ab为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|38123456.已知a、b是异面直线，且ab，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为_.解析由ab，得ab0，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.67.BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.1利利用用向向量
8、量的的线性性运运算算和和空空间向向量量基基本本定定理理表表示示向向量量是是向向量量应用用的的基基础2利利用用共共线向向量量定定理理、共共面面向向量量定定理理可可以以证明明一一些些平平行行、共共面面问题；利利用数量用数量积运算可以解决一些距离、运算可以解决一些距离、夹角角问题3利用向量解立体几何利用向量解立体几何题的一般方法：把的一般方法：把线段或角度段或角度转化化为向量表示，向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或向量的运算或证明去解决明去解决问题其其中合理中合理选取基底是取基底是优化运算的关化运算的关键课堂小结课堂小结人教人教A版选择性必修版选择性必修第一册第一册