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1、2.4.2圆的一般方程圆的方程一般代数形式是什么特点呢圆的方程一般代数形式是什么特点呢展开得展开得任何一个圆的方程都是二元二次方程任何一个圆的方程都是二元二次方程-a-br2-2ax-2by+a2+b2-r2=0思考思考结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何一个圆方程可以写成下面形式：探究：探究：是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？方程表示的曲线是圆呢？配方得配方得不一定不一定是圆是圆以（以（1，-2）为圆心，以）为圆心，以2为半径的圆为半径的圆配方得配方得不是圆不是圆思考思考（1）当）当 时，时，表示表示圆圆，（2）当）当 时，时，
2、表示表示点点（3）当）当 时，时，不不表示任何图形表示任何图形圆心圆心22 0（2+2 4 0）圆的一般方程:说明：思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？标准方程易于看出圆心与半径.一般方程突出形式上的特点.()2+()2=2探究新知2 2 0（2+2 4 0）例例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.类型一圆的一般方程的理解解解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解答反反思思与与感感悟悟形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2E24F0成立，则表示圆，否则
3、不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.P88页页 练习练习1，2题题 习题习题2.4 1题题跟踪训练跟踪训练1(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_.解析答案解析解析由圆的一般方程的形式知，a2a2，得a2或1.当a2时，该方程可化为x2y2x2y 0，D2E24F12224 0，a2不符合题意.当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心坐标为(2，4)，半径为5.(2，4)5(2)若点M，N
4、在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.解析答案9由圆的性质知，直线xy10经过圆心，该圆的面积为9.例例4 求过三点求过三点O（0，0），），M1（1，1），），M2（4，2）的圆的方程，并求出这个圆）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标的半径长和圆心坐标.典型例题典型例题反思与感悟反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.P8
5、8页页 习题习题2.4 3，4，6题题解答跟踪训练跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为 求圆的方程.解解1：(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入此式，令x0，得y2EyF0，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.故圆的方程为x2y22x120或x2y210 x8y40.解答跟踪训练跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为 求圆的方程.解：(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1).代入(*)式
6、整理得a26a50，解得a11，a25，故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.例例5 5.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.相关点法相关点法.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)【分析】点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程(x+1)2+y2=4.建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,从而求出点M的轨迹方程.变式 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3)(4,3)，端点，端点A在圆在圆(x+1)+1)2 2+y
7、2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的的 轨迹方程.轨迹.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.P88页页7题题：等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解答解解设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|AB|.整理得(x4)2(y2)210，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合，且B，C不能为圆A的一条直径的两个端点.故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3，5)和(5，1)，它的
8、轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，1)两点.特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点.求轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的常用方法：直接法直接法:根据题目条件，建立标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、根据题目条件，建立标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明证明.求轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的常用方法：定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.P88页页8题题：长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的 轨迹方程，并说明轨迹的形状.圆的一般方程x2y2DxEyF0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2E24F0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.总结 求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质.