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1、第第3讲讲导导数与函数的极数与函数的极值值、最、最值值最最新新考考纲纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.极大值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程_的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号
2、.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_.f(x)0极大值极小值2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(a)，f(b)诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不
3、一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)(2)(3)(4)2.函数f(x)x33x1有()A.极小值1，极大值1 B.极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2 D.极小值1，极大值3解析因为f(x)x33x1，故有y3x23，令y3x230，解得x1，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x
4、)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)1，f(x)的极大值为f(1)3.答案D3.(选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A4.(2017武汉模拟)函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_.答案85.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.答案1随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：当a0得x
5、1，令f(x)0得x1.所以函数f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增.当m1时，f(x)在m，m1上递增，f(x)minf(m)(m2)em，当0m1时，f(x)在m，1上递减，在(1，m1上递增，f(x)minf(1)e.当m0时，m11，f(x)在m，m1上单调递减，思想方法1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.易错防范1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.