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1、- 1 - 第 3 讲导数与函数的极值、最值最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数不超过三次) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值( 其中多项式函数不超过三次 ). 知 识 梳 理1. 函数的极值与导数(1) 判断f(x0) 是极值的方法一般地，当函数f(x) 在点x0处连续且f(x0) 0，如果在x0附近的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0，那么f(x0) 是极大值；如果在x0附近的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0，那么f(x0) 是极小值 . (2) 求可导函数极值的步骤求f(x) ；求方程f(x)0 的根；检查f(x) 在
2、方程f(x) 0 的根的左右两侧的符号. 如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值. 2. 函数的最值与导数(1) 函数f(x) 在 a，b 上有最值的条件如果在区间 a，b 上函数yf(x) 的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2) 设函数f(x) 在a，b上连续且在 (a，b) 内可导，求f(x) 在a，b 上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x) 在(a，b) 内的极值；将f(x) 的各极值与f(a) ，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊 断 自 测1. 判断正误 ( 在括号内打“”
3、或“”)(1) 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( ) (2) 函数的极大值不一定比极小值大.( ) (3) 对可导函数f(x) ，f(x0) 0 是x0点为极值点的充要条件.( ) (4) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析(1) 函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x) 的极值点的充要条件是f(x0) 0，且x0两侧导数符号异号. 答案(1) (2) (3) (4) 2. 函数f(x) x33x1 有( ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -
4、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2 - A.极小值 1，极大值1 B.极小值 2，极大值3 C.极小值 2，极大值2 D.极小值 1，极大值3 解析因为f(x)x33x1，故有y 3x2 3，令y 3x230，解得x1，于是，当x变化时，f(x) ，f(x) 的变化情况如下表：x ( ， 1)1( 1，1)1(1 ，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x) 的极小值为f( 1) 1，f(x) 的极大值为f(1) 3. 答案D 3.( 选修 22P32A4 改编 ) 如图是f(x) 的导函数f(x) 的图
5、象，则f(x) 的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析由题意知在x 1 处f( 1) 0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案A 4. (2017武汉模拟) 函数y2x32x2在区间 1，2 上的最大值是_. 解析y 6x24x，令y 0，得x0 或x23. f( 1) 4，f(0) 0，f23827，f(2) 8, 所以最大值为8. 答案8 5. 函数f(x) ln xax在x1 处有极值，则常数a_. 解析f(x) 1xa，f(1) 1a 0，a1，经检验符合题意. 答案1 6. (2017杭州调研) 函数yx2cos x在区间0，2上的最大值为_；最小值为_.
6、解析yx2cos x，x 0，2，y 12sin x，x 0，2，令y 0，得x6，当x 0，6时，y0，当x6，2时，y0时，随着x的变化，f(x) 与f(x) 的变化情况如下表：x ( ， 0)00，2a2a2a，f (x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0) 13a，f(x)极小值f2a4a23a1. 当a3 B.a13D.a0 在 R上恒成立，f(x) 无极值点；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - -
7、 - - - - - 5 - 当a0 得a0 得x1，令f(x)0 得x1. 所以函数f(x) 在( ， 1)上递减，在 (1 ， ) 上递增 . 当m1 时，f(x) 在 m，m1 上递增，f(x)minf(m) (m2)em，当 0m1时，f(x) 在m，1 上递减，在 (1 ，m1 上递增，f(x)minf(1) e. 当m0时，m11，f(x) 在m，m1 上单调递减，f(x)minf(m1) (m 1)em 1. 综上，f(x) 在 m，m1 上的最小值为f(x)min（m 2）em，m1，e， 0m1，（m 1）em 1，m0. 思想方法 1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
8、可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分 . 2. 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. 3. 可导函数yf(x) 在点x0处取得极值的充要条件是f(x0) 0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同 . 4. 若函数yf(x) 在区间 (a，b) 内有极值，那么yf(x) 在(a，b) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值. 易错防范 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 7 - 1. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -