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1、目 录 Contents考情精解读考点1考点2考点3A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法5考法4考法3方法考法6考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.数学第二章第一讲函数及其表示考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势考点2016全国2015全国2014全国自主命题地区函数的定义域与值域【10%】全国,10,5分2016江苏,5,5分2014山东,3,5分2014山东
2、,9,5分分段函数【10%】全国,10,5分全国,15,5分2016天津,14,5分2016山东,15,5分2016四川,10,5分2015山东,10,5分2015浙江,12,6分2014浙江,15,4分数学第二章第一讲函数及其表示考纲解读命题规律考情精解读31.热点预测预计2018年,表示函数的解析法、图象法,分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏上.客观题主要考查解析法、图象法、分段函数的应用及对函数概念的理解.2.趋势分析函数的概念、解析式、图象、分段函数的应用是高考主要考点,重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力,2018
3、年复习时应予以关注.命题趋势返回目录数学第二章第一讲函数及其表示知识全通关知识全通关1考点1函数与映射的概念继续学习1.函数与映射的概念数学第二章第一讲集合映射函数两个集合A,B集合A,B是两个 非空的集合集合A,B是两个 非空的数集对应关系按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素a,在集合B中都有 唯一确定的元素b与之对应按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个映射称f:AB为从集合A到集合B的一个函数记法f:ABy=f(x),xA数学第二章第一讲函数及其表示返回目录题型全突破92
4、.构成函数的三要素在函数y=f(x),xA中,自变量x的取值范围A叫作定义域,与x的值对应的y值叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作值域.定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示数学 集合与常用逻辑用语（选修一）知识全通关8【名师提醒】1.要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系,只需检验:(1)定义域和对应关系是否给出;(2)根据给出的对应关系,自变量x在定义域中的每一个值,是否都有唯一的函数值y与之对应.只有定义域和对应关系都相同的两个函数才是相同函数.2.A,B必须为非空数集,定义域或值域为空集的函数 是不存在的.3.y=f(x)中y
5、表示“与x对应的函数值”,f表示对应 关系,“f(x)”是一个整体,不可分开,也不能理解成“fx”.继续学习数学第二章第一讲函数及其表示知识全通关3考点2函数的表示法继续学习数学第二章第一讲集合函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.在应用三种方法表示函数时要注意:(1)解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;(2)列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;(3)图象法:注意定义域对图象的影响.注意函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.数学第二章第一讲函数及其表示知识全通关4函数的三种表示法的优缺点【辨
6、析比较】数学 集合与常用逻辑用语（选修一）继续学习优点缺点解析法简明扼要,规范准确1.有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示;2.求x与y的对应关系时需逐个计算,比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系1.只能表示有限个元素的函数关系;2.元素较多时使用不方便图象法形象直观,能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等作出的图象是近似的、局部的,且根据图象确定的函数值往往有误差数学第二章第一讲函数及其表示考点3分段函数数学 集合与常用逻辑用语（选修一）知识全通关6继续学习在函数定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.分段函数
7、是一个函数,而不是几个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.注意注意 分段函数中,各段函数的定义域不可以相交,这是由函数定义中的唯一性决定的.数学第二章第一讲函数及其表示数学 集合与常用逻辑用语（选修一）知识全通关8【名师提醒】继续学习分段函数的图象问题(1)分段函数是一个函数,只有一个图象,作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中,而不能将它们分别画在不同的坐标系中;(2)根据函数的概念,可知在函数图象中,横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点;(3)画每一段函数图象时,可以先不管定义域的限制,用虚线画出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可.数学第二章第
8、一讲函数及其表示题型全突破考法1求函数的定义域继续学习题型全突破1数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破22.对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出;(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域.注意 (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简;(2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.数学第二章第一讲集合考法示例1求下列函数的定义域:数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破3数学第二章第一讲集合思路分析数学第二章第一讲
9、函数及其表示 继续学习题型全突破4思路分析 令t=x+1,利用已知进行转化列出不等式组解之得定域解析令t=x+1,则由已知函数y=f(x)的定义域为0,2 018可知f(t)中0t2018。数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示返回目录题型全突破5【突破攻略】求函数的定义域的关键在于列全限制条件并准确求解方程(组)或不等式(组);对于求含有字母参数的函数的定义域问题,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示考法2求函数的值域继续学习题型全突破6考法指导求函数值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,常用的
10、方法有:数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破7数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示 继续学习题型全突破4数学第二章第一讲集合思路分析根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破8数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破19数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示考法3已知定义域或值域求参数问题继续学习题型全突破10考法指导已知函数的定义域或值域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向,根据已知函数,将给出的定义域或值域问题转化为方程或不等式的解集问题;(2)根据方程或不等式的解
11、集情况确定参数的取值或范围.数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破11考法示例6已知函数f(x)=-x2+4x+1,其中x-1,t,函数的值域为-4,5,则t的取值范围是.解析函数f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,对称轴方程为x=2,且f(x)在-1,2上为增函数,f(-1)=-4,f(2)=5,因为x-1,t时,f(x)的值域为-4,5,所以t2,由-x2+4x+1=-4,可得x=-1或5,t5,实数t的取值范围为2,5.数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示考法4求函数的解析式继续学习题型全突破16考法指导求函数解析式的常用方法有:(1)
12、待定系数法:若已知函数类型,可用待定系数法求解,先设出f(x),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.(2)换元法:主要解决已知复合函数f(g(x)的表达式求解函数f(x)的解析式的问题,令g(x)=t,解出x,即用t表示x,然后代入f(g(x)中即可求得f(t),从而求得f(x).要注意新元的取值范围.(3)配凑法:配凑法是将f(g(x)右端的代数式配凑成关于g(x)的形式,进而求出f(x)的解析式.(4)构造方程组法(消元法):主要解决已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同形式的变量之间的关系,利用变换形式构造不同的等式,通过解方程组求解
13、,在求解过程中注意分类讨论与整合、等价转化与化归等基本数学思想的灵活应用.数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破17数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破19数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破19数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示返回目录题型全突破20【突破攻略】数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示考法5分段函数的应用继续学习题型全突破24考法指导 1.由分段函数求函数值或已知函数值求自变量(或参数)的值(1)根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式,若涉及复合函数值,从内到外逐
14、步求值,注意相应自变量所在的区间;(2)已知函数值求自变量(或参数)的值,通过分类讨论化为若干个方程组求解,要充分利用分段函数在各段上的值域,减少运算量.2.分段函数的图象和性质的应用(1)与分段函数有关的不等式问题,要充分考虑分段函数的单调性,通过分类讨论转化为不等式(组)求解,讨论分段函数的单调性时,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点处的取值;(2)已知分段函数的函数值范围求自变量(或参数)的范围问题,一般画出分段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标的范围,列出函数满足的不等式(组),求解即可.数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破25数
15、学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示继续学习题型全突破25数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示返回目录题型全突破20【突破攻略】(1)分段函数是一个函数,“分段求解”是解决分段函数的基本原则;(2)在求分段函数的值f(x0)时,要先判断x0属于定义域的哪个子集,再代入相应的关系式;(3)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集;(4)当自变量范围不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行讨论.数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示考点6与函数有关的新定义问题化学 有机化学基础（选修五）考点全通关43考法指导 定义函数问题是指给出阅读材料,设计
16、一个陌生的数学情境,定义一个新函数,并给出新函数所满足的条件或具备的性质;或者给出函数,再定义一个新概念(如不动点),把数学知识与方法迁移到这段阅读材料,考生需捕捉相关信息,通过归纳、探索,发现解题方法,然后解决问题.处理此类题目的方法如下:(1)联想背景:有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的,可以通过阅读材料,分析有关信息,联想背景函数及其性质,进行类比,捕捉解题灵感,然后解决问题.(2)紧扣定义:对于题目定义的新函数,通过仔细阅读,分析定义以及新函数所满足的条件,围绕定义与条件来确定解题的方向,然后准确作答.(3)巧妙赋
17、值:如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程,可采用赋值法,即令x,y取特殊值,或为某一范围内的值,求得特殊函数值或函数解析式,再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题.(4)构造函数:有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的.继续学习数学第二章第一讲函数及其表示化学 有机化学基础（选修五）考点全通关44继续学习数学第二章第一讲函数及其表示返回目录化学 有机化学基础（选修五）考点全通关45数学第二章第一讲函数及其表示能力大提升7继续学习数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示能力大提升分类讨论思想在函数中的应用能力大提升1继续学习数学第二章第一讲集合数学第二章第一讲函数及其表示返回目录能力大提升6【归纳总结】数学第二章第一讲集合(1)求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.(3)当自变量含参数或范围不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.数学第二章第一讲函数及其表示