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1、第7讲 抛物线考纲要求考点分布考情风向标1.了 解 抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理 解 数形结合的思想.3.了 解 抛物线的简单应用2013年新课标第8题以求三角形面积为背景，考查抛物线的定义及几何性质；2014年新课标第10题考查抛物线的定义；2015年新课标第5题以求线段长度为背景，考查椭圆、抛物线的几何性质；2016年新课标第20题考查抛物线的几何意义及直线与抛物线的位置关系，四川考查抛物线的焦点；2017年新课标考查直线与抛物线的位置关系；新课标考查抛物线的定义1.本节复习时，应紧扣抛物线的定义、熟练掌握抛物线的标准方程、
2、几何图形、简单的几何性质及其应用.要善于利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离进行转化.2.由于高考对抛物线这一知识点的要求属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为背景的试题中渗透考查了数学的主要思想，且高考的考查基于“多思少算”的考虑，所以以抛物线为背景的解答题在高考中明显增多，因此我们应重视这一知识点的复习1.抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的_.准线2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)标准方程y22pxy22pxx22pyx22py范围x0，yR x0，yRxR，
3、y0 xR，y0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)离心率e1(续表)C1.已知抛物线 C：y2016x2，则(A.它的焦点坐标为(504,0)B.它的焦点坐标为(0,504)1C.它的准线方程是 y8064D.它的准线方程是 y504)D2.(2016 年四川)抛物线 y24x 的焦点坐标是(A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)解析：由题意，y24x 的焦点坐标为(1,0).故选 D.3.若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 6，则点 M 的5横坐标是_.解析：xM16xM5.4.(2015 年陕西)若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21
4、 的一个焦点，则 p_.考点 1 抛物线的标准方程例 1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(3，m)到焦点的距离为 5，则抛物线的标准方程为()A.y28x B.y28x C.y24x D.y24x解析：已知抛物线焦点在 x 轴上，其上有一点为 P(3，m)，显然开口向左，设 y22px(p0)，由点 P(3，m)到焦点的距p4，故标准方程为 y28x.答案：B(2)(2016 年新课标)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于A.2B.4C.6D.8图 D46答案：B【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题主要考查抛物线的性质及运算，
5、注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性.【互动探究】1.(2014 年新课标)已知抛物线 C：y2x的焦点为F，A(x0，A.1B.2C.4D.8A解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等考点 2 抛物线的几何性质例 2：(1)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析：由抛物线的定义知，点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线焦
6、点 F 的距离之和.显然，当 P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值为答案：A(2)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线y2 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716解析：直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线.由抛物线的定义知，点 P 到 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线 y24x 上找一个点 P，使得点 P 到该抛物线焦点 F(1，0)和直线 l1 的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：4x3y60 的距离，即 dmin|
7、406|52.故选 A.答案：A在直角梯形 ANFF中，中位线|BM|(3)(2017 年新课标)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.解析：如图 D47，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 F，作 MBl 于点 B，NAl 于点 A，由抛物线的解析式可得准线方程为 x2，则|AN|2，|FF|4.|AN|FF|23.由抛物线的定义有|MF|MB|3，结合题意，有|MN|MF|3.线段 FN的长度|FN|FM|MN|336.图 D47答案：6【规律方法】求两个距离和的
8、最小值，当两条线段拉直(三点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，进行转换再求解.【互动探究】2.(2016 年浙江)若抛物线 y2 4x 上的点 M 到焦点的距离为910，则 M 到 y 轴的距离是_.解析：xM110 xM 9.考点 3 直线与抛物线的位置关系x24A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程.例3：(2017年新课标)设 A，B 为曲线 C：y 上两点，【规律
9、方法】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点、证明垂直、证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【互动探究】3.(2017 年新课标)已知 F 为抛物线C：y2 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为()A.16B.14C.12
10、D.10解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线 l1 的方程为 yk(x1)，答案：A思想与方法利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题例题：AB 为过抛物线焦点的动弦，点 P 为 AB 的中点，A，B，P 在准线 l 的射影分别是A1，B1，P1.有以下结论：FA1FB1；AP1BP1；BP1FB1；AP1FA1.其中正确的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：如图 771(1)，|AA1|AF|，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，则A1FB190，故FA1FB1.
11、|AA1|BB1|如图 771(2)，|PP1|2|AF|BF|2|AB|2，即AP1B为直角三角形，故AP1BP1.如图771(3)，|BB1|BF|，即BB1F为等腰三角形，|PP1|PB|，PP1BPBP1.又BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1FB1.如图771(4)，同有AP1FA1.综上所述，都正确.故选D.(1)(3)(2)(4)图 771答案：D【规律方法】首先利用抛物线的定义能得到多个等腰三角形，然后利用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何的性质解题.【互动探究】4.已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别A.4B.4C.p2D.p2A