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1、第6讲 双曲线考纲要求考点分布考情风向标1.了解双曲线的定义、几 何 图 形和 标 准 方程，知 道它 们 的 简单 几 何 性质(范围、对 称 性、顶 点、离心 率、渐近线).2.理解数形结 合 的 思想.3.了解双曲线 的 简 单应用2011年大纲第16题考查双曲线的定义及角平分线定理；2012年新课标第10题考查双曲线与抛物线的方程及几何性质；2013年新课标第4题考查双曲线的离心率与渐近线；2014年新课标第4题考查双曲线的离心率；2015年新课标第16题以求三角形周长的最小值为背景，考查双曲线的几何性质；2016年新课标第5题考查双曲线的方程及几何意义；2017年新课标第15题考查双
2、曲线的离心率；新课标第9题考查双曲线的离心率；新课标第14题考查双曲线的渐近线本节复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质.通过分析近几年的高考试题可以看出，高考对双曲线的要求比椭圆要低.以选择题、填空题为主1.双曲线的概念平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0.ac 时，点 M 不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质aa(续表)a
3、2b23.等轴双曲线实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线，其渐近线方程为 yx，离心率为 .51 的焦距是_.m_.212考点 1 双曲线的定义及应用 的一条渐近线方程为 2x3y0，F1，F2 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|7,则|PF2|()A.1B.13C.4 或 10D.1 或 13点 P 在双曲线的左支时，有|PF2|PF1|2a，解得|PF2|13；当点 P 在双曲线的右支时，有|PF1|PF2|2a，解得|PF2|1.故选 D.答案：D(2)(2012 年大纲)已知 F1，F2 为双曲线 x2y2 2 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，|P
4、F1|2|PF2|，则cosF1PF2()答案：C的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为(2,0)，AM 为F1AF2的平分线，则|AF2|_.|AF1|2|AF2|.又点 AC，由双曲线的定义，得|AF1|AF2|2|AF2|AF2|AF2|2a6.答案：6考点 2 求双曲线的标准方程答案：D答案：A【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a，b 的值，常利用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方程为 axby0，可设双曲线系方程为a2x2b2y2(0).与双答案：A考点 3 双曲线的几何性质曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()解析：由题意知双曲线的焦点
5、在 x 轴上，所以 m2n3m2n4，解得 m2 1.因为方程x21ny23n1 表示双曲线，所以 n 的取值范围是(1,3).故选 A.答案：A的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M，N 两点.若MAN60，则 C 的离心率为_.解析：如图 D45，作 APMN，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点.图 D45【规律方法】离心率是双曲线几何性质中的一个重点问题.求离心率的常用方法有两种：求得 a，c 的值，直接代入公式c2a2 消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解.当已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令【互动探究】D易错、易混、易漏判断直线与双曲线的位置关系时忽略二次项系数致误右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而 C2 的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点.(1)求双曲线 C2 的方程；