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1、第第2讲等差数列及其前讲等差数列及其前n项和项和最最新新考考纲纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理2同一个常数公差a1(n1)d(nm)d3.等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和.(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq.(2)等差数列an的单调性：当d0时，an是_数列；当d0时，an是_数列；当d0时，an是_.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*
2、)是公差为_的等差数列.(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.递增递减常数列md5.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值.大小诊 断 自 测1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.(
3、)(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(2016河南商丘三模)在等差数列an中,首项a1=0,公差d0,若ak=a1+a2+a3+a7,则k=()A.22 B.23C.24 D.25数列an为等差数列且首项a1=0,公差d0,ak=(k-1)d.又ak=a1+a2+a3+a7=21d.(k-1)d=21d.k=22,故选A.3.设Sn是等差数列an的前n项和,若a10+a11+a12=6,则S21=()A.42 B.21C.23 D.44（补充）4.在等差数列an中，a17，公差
4、为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.5.(教材例题改编P16例7)在100以内的正整数中有个能被6整除的数.A考点一等差数列基本量的运算例1(1)(2016河北唐山一模)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6思考求等差数列基本量的一般方法是什么?(1)B(2)C(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1,
5、m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.（1）B (2)C(3)-72(2)(2016全国乙卷3）已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99 C.98 D.97(3)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.考点二等差数列的判定与证明(典例迁移)
6、例2数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些?(1)证明由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.补充规律方法等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n2的
7、任意自然数，验证anan1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立.(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.考点三等差数列的性质及应用【例3】(1)(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A.5 B.7 C.9 D.11(2)(2016江苏,8)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若 S5=10,则a9的值是.答案(1)A(2)B(3)4 034考点四等差数列前n项和及其最值【例4】(1)(201
8、7衡水月考)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8(2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.答案(1)C(2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值
9、；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.对点训练对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)设数列an是公差d0,a7=-10;又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.(2)由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,a6=0,故当n=5或n=6时,Sn最大,选C.思想方法1.在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.易错防范1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.