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1、2.2.1等差数列的概念及通项公式1231.等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.123123名师点拨对等差数列定义的理解:(1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一个常数”.如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数,但这个数列也不一定是等差数列.这是因为这些常数可能不相同,必须是同一个常数,才是等差数列.等差数列中至少有三项.(2)定义中“
2、每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.1232.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.练一练2若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为()解析:由已知得a+b=2,所以a,b的等差中项为答案:C1233.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d.练一练3等差数列an的公差d=-1,a1=2,则a3等于()A.1B.0C.2D.3解析:a3=a1+(3-1)d=2+2(
3、-1)=0.答案:B探究一探究二探究三探究四探究一等差数列的通项公式及应用探究一等差数列的通项公式及应用1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.2.等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.探究一探究二探究三探究四典型例题1(1)在等差数列an中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an;(2)已知数列an为等差数
4、列,求a15的值.思路分析:设出首项与公差,列出方程组,并求出首项与公差,再写出通项公式.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练1已知等差数列2,5,8,11,则23是这个数列的()A.第5项 B.第6项C.第7项D.第8项解析:由已知得等差数列的首项a1=2,公差d=3,令2+(n-1)3=23,解得n=8.答案:D探究一探究二探究三探究四探究二等差数列的判定与证明探究二等差数列的判定与证明判断一个数列是否是等差数列是常见题型,常见判断方法如下:(1)若an-an-1=d(常数)(n2且nN*)an为等差数列;(2)若2an=an-1+an+1(n2且nN*)an为等差数列
5、;(3)若an=kn+b(k,b为常数,nN*)an为等差数列.探究一探究二探究三探究四典型例题2(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.思路分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列an的通项公式.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四方法总结用定义判断数列是等差数列是最常用的方法,这类题目往往紧接着求通项,所以,前面判断某个数列是等差数列可以看作是一个提示.探究一探究二探究三探究四变式训练2已知数列an的通项an=4n-1,nN*.(1)求log2a2,log2a3;(2)求证:数列log2an是等差数列.(1)解:log2a
6、2=log24=2,log2a3=log216=4.(2)证明:log2an=log24n-1=(n-1)log24=2n-2,log2an+1=2(n+1)-2=2n.log2an+1-log2an=2n-(2n-2)=2.又log2a1=log240=0,故数列log2an是首项为0,公差为2的等差数列.探究一探究二探究三探究四探究三等差中项的应用探究三等差中项的应用1.a,A,b成等差数列A-a=b-AA=.2.利用等差中项的概念可判断一个数列是否为等差数列,如若an,an+1,an+2满足2an+1=an+an+2,则数列an为等差数列,这是因为2an+1=an+an+2等价于an+1
7、-an=an+2-an+1,由定义知数列an为等差数列.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析探究四易错辨析易错点对等差数列的定义理解不透致错典型例题4若数列an的通项公式为an=10+lg 2n(nN*),求证:数列an为等差数列.错解:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2,所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,则a2-a1=a3-a2,故数列an为等差数列.错因分析:a3-a2=a2-a1=常数,不能满足等差数列的定义中“从第2项起,每一项与它的前一项
8、的差等于同一个常数”的要求.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四正解:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2)=lg 2(nN*).所以数列an为等差数列.1 2 3 4 51.数列an的通项公式an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列解析:an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,数列an是公差为2的等差数列.答案:A1 2 3 4 52.在数列an中,a1=2,an+1=an
9、+2,则a20=()A.38B.40C.-36D.-38解析:an+1=an+2,an+1-an=2,数列an是公差为2的等差数列.a1=2,a20=2+(20-1)2=40.答案:B1 2 3 4 53.已知等差数列an的前3项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为.解析:x-1,x+1,2x+3是等差数列an的前3项,2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.a1=x-1=-1,a2=1,a3=3.d=2,an=-1+2(n-1)=2n-3.答案:an=2n-31 2 3 4 54.已知等差数列的第3项是7,第11项是-1,则它的第7项是.解析:设首项为a1,公差为d,由a3=7,a11=-1,得a1+2d=7,a1+10d=-1,所以a1=9,d=-1,则a7=3.答案:31 2 3 4 55.已知数列an满足a1=2,(1)数列 是否为等差数列?请说明理由;(2)求an.1 2 3 4 5