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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 1.向量的数乘的定义一般地，规定实数与向量a的积是一个_，这种运算叫做向量的数乘，长度和方向有如下规定：(1)|a|=_.(2)当0时，a与a方向_；当02.已知向量e的长度为2，试求向量a,b的长度，并指出向量a,b的线性关系.(1)a=3e,b=4e.(2)a=2e,b=-e.【解析】1.选C.对于A，当0时，不一定成立；对于B，|a|是实数，|a是向量，故|a|=|a不成立；对于D，当=0时，|a|=0；只有C正确.2.(1)因为a=3e所以|a|=|3e|=3|e|=6,由b=4e得|b|=4|e|=8.因为e=a,所以b=4e=a.(2)由a=2
2、e得|a|=2|e|=4,由b=-e得|b|=|e|=1.因为e=a，所以b=-e=-a.知识点2 向量共线定理对向量共线定理的三点说明(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数，使b=a(a0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a0)，则必存在一个实数，使b=a.(2)定理中，之所以限定a0是由于若a=b=0，虽然仍然存在，可是不唯一，定理的正反两个方面不成立.(3)若a,b不共线，且a=b，则必有=0.【知识拓展】向量共线与线段共线的区别以及作用(1)向量共线与线段共线的区别：向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线；而两条线段共线时，这两条线段必定在同一条直线上.(2)向
3、量共线定理的作用：向量共线定理可以证明线段平行，也可以证明三点共线.【微思考】(1)向量的平行与直线的平行相同吗？提示：不相同.直线的平行不包含重合的情况.(2)根据共线向量定理,对于非零向量a,b,如何确定实数，使得b=a？提示：分两点：确定符号.a 与b同向时,为正；a 与b反向时,为负.确定的绝对值.|=【即时练】1.已知P是ABC所在平面内的一点，若 其中R，则点P一定在()A.ABC的内部 B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上2.已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a,b共线的有_(填序号).a=e1，b=2e2；a=e13e2，b=2e16e2；a=3e
4、1 e2，b=2e1 e2；a=e1e2，b=e13e2.【解析】1.选B.由得所以则为共线向量，又有一个公共点P，所以C,P,A三点共线，即点P在直线AC上.故选B.2.因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2都不是零向量.若a与b共线，由于a=e10，所以存在实数，使b=a，即2e2=e1,所以e2=-e1，于是e1，e2共线，这与已知矛盾.所以a与b不共线.因为b=2e16e2=2(e13e2)=2 a,所以a与b共线.因为b=2e1e2=(3e1e2)=a，所以a与b共线.若a与b共线，则存在实数R，使a=b,即e1e2=(e13e2)所以(1)e1(1+3)e2=0.因为e1，e
5、2是不共线向量，所以所以不存在,所以a与b不共线.答案：【题型示范】类型一 向量的线性运算【典例1】(1)(2014枣庄高一检测)化简 的结果是()A.2ab B.2baC.ba D.ab(2)已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设 =a,=b，则向量 等于()A.2a+b B.abC.b2a D.-b2a(3)若2(y a)(c+b3y)+b=0，其中a,c,b为已知向量，则未知向量y_.【解题探究】1.题(1)中的化简题目一般按照怎样的顺序进行?2.题(2)中与和有怎样的关系？如何用向量a表示？3.题(3)中的已知向量有哪些？求向量y的实质是什么？【探究提示】1.简单的
6、化简问题，把握运算顺序为：运算律去括号数乘向量向量加减.2.根据向量的加法的三角形法则可知=-3a.3.已知向量有a,c,b，求向量y的实质就是用已知向量a,c,b来表示出向量y.【自主解答】(1)选B.原式=(a+4b4a+2b)=(6b3a)=2ba.(2)选D.=ab3a=b2a.(3)由2(y a)(c+b3y)+b=0得2y a c b+y+b=0，即y a c+b=0，所以y=ab+c.答案：ab+c【延伸探究】题(2)中若点E是对角线AC上靠近C的一个三等分点，其他条件不变，则向量 等于()A.2a+b B.-a-bC.b-2a D.-b-2a【解析】选B.=aba=ab.【方法
7、技巧】向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【变式训练】(2014绍兴高一检测)在ABC中，EFBC交AC于点F，设 =a,=b，用a,b表示向量 为_.【解题指南】由EFBC以及可得利用向量的减法可得【解析】因为EFBC且所以=b，故=ba.答案：ba【补偿训练
8、】如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量 _.(填写正确的序号)【解析】答案：类型二 向量共线定理的应用【典例2】(1)已知向量a,b，且 =a+2b，=5a+6b，=7a2b，则一定共线的三点是()A.B,C,D B.A,B,C C.A,B,D D.A,C,D(2)(2014无锡高一检测)已知A,B,P三点共线，O为直线外任意一点，若 则x+y=_.【解题探究】1.题(1)中已知两向量与向量有怎样的关系？判断三点共线的关键是什么？2.题(2)中由A,B,P三点共线，可得到向量有怎样的关系？【探究提示】1.向量只要说明有同一起点的两向量共线即可.2.因为A,B,P三点共线，所以向量在同一
9、条直线上，根据共线向量定理知，存在实数使【自主解答】(1)选C.因为=2a+4b=2 ，所以向量共线，故A,B,D三点共线.(2)由于A,B,P三点共线，所以向量在同一条线上，由共线向量定理可知，必定存在实数使即所以故x=1-，y=，即x+y=1.答案：1【方法技巧】向量共线定理的两个应用(1)向量共线的判定对于向量a(a0)与b,如果有一个实数，使b=a，那么由向量数乘的定义知，向量a与b是共线的.(2)向量共线的性质向量a(a0)与b共线，若向量b的长度是a的长度的倍，即b=a.那么，当a与b同向时，有b=a;当a与b反向时，有b=-a;当b=0时，则=0.总之，都可以表示成b=a(其中唯
10、一确定).【变式训练】(2014蚌埠高一检测)设a,b是两个不共线向量，已知 =2a+mb，=a+3b，若A，B，C三点共线，求m的值.【解题指南】由于A，B，C三点共线，则两向量共线，根据向量共线定理可得，一定存在一个实数使得利用向量相等求m的值.【解析】因为A，B，C三点共线，所以共线，即=所以2a+mb=(a+3b)，故=2,m=3，解得m=6.【补偿训练】(2013唐山高一检测)对于ABC内部的一点O，存在实数使得 成立，则OBC与ABC的面积比是()A.12 B.13 C.23 D.与有关【解析】选A.如图所示，设D,E分别是AB,AC的中点，以OA,OB为邻边作OAGB，以OA,O
11、C为邻边作OAFC，则因为所以所以点D,O,E三点共线，所以点O在直线DE上.又因为D,E分别是AB,AC的中点,所以OBC与ABC的面积比是12.类型三 用已知向量表示其他向量【典例3】(1)如图，ABCD是一个梯形，M,N分别是DC，AB的中点，已知 =e1，=e2，试 用e1，e2表示下列向量.=_.=_.(2)如图所示，已知ABCD的边BC,CD的中点分别为K,L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示【解题探究】1.题(1)中向量与有什么关系？表示时可以用向量加法的哪种运算法则？2.题(2)中利用已知条件可以找到哪些关于所求向量和已知向量的等量关系？【探究提示】1.表示时可以用向量加法
12、的“多边形法则”，即2.=【解析】(1)因为所以所以=e2+e1，=-e1-e2+e1=e1-e2答案：e2+e1 e1-e2(2)方法一：设由解方程得x=e2 e1,即 =e2 e1.由=e1 x，得=e1 e2.方法二：设则由得用-2乘以(2)与(1)相加，得 x2x=e12e2,解方程得x=e2 e1，即 =e2 e1,解得y=(2e1e2)，即 =e1 e2.【延伸探究】题(1)中，若 =e1，=e2，试用e1，e2表示向量 .【解析】因为所以又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以所以所以=-e2-e1.【方法技巧】用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比
13、较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.【变式训练】如图，已知 =a，=b，对任意点M，M点关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N，用a,b表示向量 .【解题指南】根据M点关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N，易得a=b=两式相减后，易得向量与向量a,b的关系.【解析】因为M点关于A点的对称点为S,所以A为MS的中点.又因为S点关于B点的对称点为N,所以B为SN的中点，所以a=b=两式相减得ab=所以=2(ba).【补偿训练】如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，且 用 =_.【解析
14、】因为所以答案：【规范解答】利用向量共线定理解决与共线相关的问题【典例】(12分)(2014淮安高一检测)如图所示，在ABC中，D,F分别是BC,AC的中点，(1)用a，b表示向量(2)证明：B,E,F三点共线.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：若未能推出处的结论，则导致推导过程比较烦琐，向量的系数容易计算错误，则本例最多得2分.失分点2：若在处不能正确地利用向量的加减法以及已表示出的向量则会加大运算量，易出现运算错误.失分点3：若未能正确地表示出处的结论，则无法利用向量共线定理证明三点共线，此时最多得9分.【悟题】提措施，导方向1.注重辅助线的应用在
15、向量的加减运算中，需遵循平行四边形法则和三角形法则，在给出的图形中有时就要借助辅助线构造出相应的图形.如本例通过延长AD到G，使连接BG,CG,得到处平行四边形ABGC.2.熟练应用加法和减法法则对于常见图形中的基本量，要熟练应用三角形法则或平行四边形法则表示.如本例处的向量表示.3.共线向量定理的应用利用向量共线定理可以证明三点共线，也可以求相关的参数的值.其基本的关系就是a=b(R).如本例处表示出后即可用向量共线定理证明共线.【类题试解】已知不共线向量e1，e2.=e1-e2,=2e1-8e2,=3e1+3e2,试判断A,B,D三点是否共线？【解析】因为=5e1-5e2=所以与共线，又有公共点B，所以A,B,D三点共线.