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1、三角函数的图象与性质及其应用三角函数的图象与性质及其应用【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.三角函数的图象三角函数的图象(1)(1)正弦曲线：正弦曲线：(2)(2)余弦曲线：余弦曲线：(3)(3)正切曲线：正切曲线：2.2.三角函数的性质三角函数的性质(1)(1)正弦函数：定义域为正弦函数：定义域为_，值域为，值域为_，奇函数，单调增区，奇函数，单调增区间：间：_；单调减区间：；单调减区间：_；对称；对称轴：轴：_，对称中心：，对称中心：_，kZkZ.R-1，1(2)(2)余弦函数：定义域为余弦函数：定义域为_，值域为，值域为_，偶函数，单调增区间：，偶函数，单调增区间：_；单调减
2、区间：；单调减区间：_；对称轴：；对称轴：_，对称中心：，对称中心：_，kZkZ.(3)(3)正切函数：定义域为正切函数：定义域为_；值域为；值域为_，奇函数，奇函数，单调增区间：单调增区间：_，渐近线：，渐近线：_，对，对称中心：称中心：_，kZkZ.R-1，1-+2k，2k2k，+2kx=kR3.3.函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象及简单应用的图象及简单应用A A，对函数对函数y=y=Asin(x+Asin(x+)图象的影响图象的影响(1)(1)对对y=y=sin(x+sin(x+)，xRxR的图象的影响的图象的影响左右(2)(0)(2)(0)对对y=y=sin(x+s
3、in(x+)的图象的影响的图象的影响缩短伸长(3)A(A0)(3)A(A0)对对y=y=Asin(x+Asin(x+)的图象的影响的图象的影响伸长缩短【易错提醒易错提醒】1.1.关注三角函数的定义域、值域关注三角函数的定义域、值域(1)(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即即-1sinx1-1sinx1，-1cosx1.-1cosx1.(2)(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即 x|xkx|xk+，kZkZ.2.2.正确掌握含三角函数的复合函数的单调性正确
4、掌握含三角函数的复合函数的单调性(1)(1)要要求求y=y=Asin(x+Asin(x+)或或y=y=Acos(x+Acos(x+)()(其其中中0)0)的的单单调调区区间间，先先研研究究正正弦弦函函数数y=y=sinxsinx和和余余弦弦函函数数y=y=cosxcosx的的相相应应单单调调区区间间，再再把把其其中中的的“x x”用用“x+x+”代代替替，解解关关于于x x的的不不等等式式即即可可求求出出所所求求的的单单调调区区间，但要特别关注间，但要特别关注A A的正负的正负.(2)(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.类型一类型一 三角函数的图
5、象问题三角函数的图象问题【典例典例1 1】1.(20151.(2015湖湖州州高高一一检检测测)已已知知函函数数f(xf(x)=sin(2x+)=sin(2x+)(0)(0)00，00)00，0)0)的的函函数数的的单单调调区区间间可可以以通通过过解解不不等等式式方方法法去去解解答答，即即把把x+x+视视为为一一个个“整整体体”，分分别别与与正正弦弦函函数数y=y=sinxsinx，余余弦弦函函数数y=y=cosxcosx的的单单调调递递增增(减减)区区间间对对应应解解出出x x，即得所求的单调递增，即得所求的单调递增(减减)区间区间.【变式训练变式训练】求函数的定义域、值域，指出它的周期求函
6、数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性性、奇偶性、单调性.【解析解析】由得由得所以所求定所以所求定义域域为值域域为R，周期，周期T=，是非奇非偶函数，是非奇非偶函数，在区在区间(k Z)上是增函数上是增函数.【补偿训练补偿训练】(2014(2014泰州高一检测泰州高一检测)已知函数已知函数的部分图象如图所示的部分图象如图所示.(1)(1)求求A A，的值的值.(2)(2)求求f(xf(x)的单调增区间的单调增区间.(3)(3)求求f(xf(x)在区间上的最大值和最小值在区间上的最大值和最小值.【解析解析】(1)由由图象知象知A=1，由由图象得函数的最小正周期象得函数的最小正周期为则由
7、由(2)由由(1)得，得，因因为所以所以所以所以所以所以f(x)的的单调增区增区间为(3)因因为所以所以当即当即时，f(x)取得最大取得最大值1；当当f(x)取得最小取得最小值.拓展类型拓展类型 数形结合思想的应用数形结合思想的应用【典型例题典型例题】1.(20151.(2015瑞安高二检测瑞安高二检测)函数函数 的图象与函数的图象与函数y=2sinx(-2x4)y=2sinx(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2A.2 B.3 B.3 C.4 C.4 D.6 D.62.(20152.(2015天水高一检测天水高一检测)对于函数对于函数 给出下列四个
8、命题：给出下列四个命题：该函数是以该函数是以为最小正周期的周期函数；为最小正周期的周期函数；当且仅当当且仅当x=x=+k(kZ+k(kZ)时，该函数取得最小值时，该函数取得最小值-1-1；该函数的图象关于该函数的图象关于 对称；对称；当且仅当当且仅当 时，时，00f(xf(x).).其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_(_(请将所有正确命题的序号都填上请将所有正确命题的序号都填上).).【解析解析】1.选C.作出作出 的的图象与象与y=2sinx(-2x4)的的图象象如如图.共四个交点，且四个交点横坐共四个交点，且四个交点横坐标关于关于x=1对称，所以所有交点称，所以所有交点横坐横坐标之
9、和等于之和等于4.2.作出函数作出函数f(x)的的图象如象如图所示所示由由图象可知象可知f(x)为周期函数，周期函数，T=2，正确；正确；当当 时，取最小，取最小值-1，故，故错误；都是都是该图象的象的对称称轴，故故正确；正确；当当 时，f(x)图象在象在x轴上方且上方且f(x)max=.故故0f(x).故故正确正确.答案：答案：【延伸探究延伸探究】本例本例2 2的函数改为的函数改为 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为22；有最大值有最大值1 1和最小值和最小值-1-1；有对称轴；有对称轴；有对称中心；有对称中心；在在 上单调递减上单调递
10、减.【解析解析】作出函数作出函数f(x)的的图象，象，实线即即为f(x)的的图象象.由由图象可知，象可知，f(x)为周期函数，周期函数，T=2，所以，所以正确正确.函数函数f(x)的最的最大大值为1，最小，最小值为 ，所以，所以错误.函数的函数的对称称轴为 k Z，所以，所以正确正确.由由图象可知，函数无象可知，函数无对称中心，所以称中心，所以错误.在在上上单调递减，所以减，所以正确正确.【方法技巧方法技巧】对数形结合的认识对数形结合的认识(1)(1)数数形形结结合合是是重重要要的的数数学学思思想想，它它能能把把代代数数关关系系与与几几何何图图形形的的直直观观形形象象有有机机结结合合起起来来，
11、将将抽抽象象的的思思维维方方式式转转化化为为直直观观的的思思维维方方式式，从从而而使问题变得简单明了使问题变得简单明了.(2)(2)数数形形结结合合常常用用于于解解方方程程、解解不不等等式式、求求函函数数的的值值域域、判判断断图图象象交交点的个数、求参数范围等题目中点的个数、求参数范围等题目中.【变式训练变式训练】已知函数已知函数 若若a a，b b，c c互不相等，互不相等，且且f(af(a)=)=f(bf(b)=)=f(cf(c)，则，则a+b+ca+b+c的取值范围是的取值范围是()A.(1A.(1，2 024)2 024)B.(1 B.(1，2 015)2 015)C.(2C.(2，2
12、 015)2 015)D.2 D.2，20152015【解析解析】选C.函数函数 的的图象如象如图所示，所示，不妨令不妨令abc，由正弦曲，由正弦曲线的的对称性可知，称性可知，a+b=1，而，而1c2014，所以所以2a+b+c2015，故，故选C.【补偿训练补偿训练】函数函数 的图象与直线的图象与直线y=ky=k有有且仅有两个不同的交点，则且仅有两个不同的交点，则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解解题指指南南】处理理绝对值符符号号，可可得得分分段段函函数数，利利用用数数形形结合合的的方方法法进行判断行判断.【解析解析】函数函数的的图象象(如如图)与直与直线y=k有且有且仅有两个不同的
13、交点，有两个不同的交点，则1k3.答案：答案：1k0时，无解，无解，(2)当当a0时，解得解得a=-1，b=1，即存在即存在a=-1，b=1满足要求足要求.【方法技巧方法技巧】对分类讨论的认识以及运用对分类讨论的认识以及运用(1)(1)认认识识：在在解解答答某某些些数数学学问问题题时时，有有时时会会遇遇到到多多种种情情况况，需需要要对对各各种种情情况况加加以以分分类类，并并逐逐类类求求解解，然然后后综综合合得得解解，这这就就是是分分类类讨讨论论法法.分分类类讨讨论论法法是是一一种种逻逻辑辑方方法法，是是一一种种重重要要的的数数学学思思想想，同同时时也也是是一一种种重重要要的的解解题题策策略略，
14、它它体体现现了了化化整整为为零零、积积零零为为整整的的思思想想与与归归类类整整理理的的方法方法.(2)(2)运运用用：在在三三角角运运算算中中，有有关关三三角角函函数数所所在在象象限限符符号号的的选选取取需需要要进进行行讨讨论论，三三角角函函数数与与二二次次函函数数综综合合问问题题以以及及三三角角函函数数最最值值问问题题也也要要注注意讨论意讨论.【变式训练变式训练】是否存在实数是否存在实数a a，使得函数，使得函数 在闭区间在闭区间 上的最大值是上的最大值是1 1？若存在，求出对应的？若存在，求出对应的a a值；若值；若不存在，则说明理由不存在，则说明理由.【解解题指南指南】利用利用sin2x+cos2x=1，将原函数表示成关于，将原函数表示成关于cosx的函数，再的函数，再结合二次函数的性合二次函数的性质求解求解.