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1、1.4.3 正切函数的性质与图象函数y=tan x的图象和性质解析式解析式y=y=tanxtanx图象象定定义域域_值域域_R解析式解析式y=y=tanxtanx周期周期_奇偶性奇偶性_单调性性在开区在开区间_上都是上都是增函数增函数奇函数1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在R上是增加的.()(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心.()(4)正切曲线有无数条对称轴,其对称轴是 ()【解析】(1)错误.正切函数的定义域为值域为R.(2)错误.正切函数在上是增加的,而在整个定义域上不具备一致的单调性.(3)正确.点是其对称中心.(4
2、)错误.正切曲线没有对称轴.答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数 的定义域为_.(2)函数y=tan 3x的最小正周期是_.(3)函数 的单调增区间是_.【解析】(1)由正切函数的相关知识得，即故所求函数的定义域为答案：(2)因为所以为函数y=tan 3x的一个周期，且为最小的正周期.答案：(3)由正切函数的单调性知解得答案：【要点探究】知识点 1 正切函数的性质1.正切函数常用的三条性质(1)对称性：正切函数图象的对称中心是 不存在对称轴.(2)单调性：正切函数在每个区间 内是单调递增的,但不能说其在定义域内是递增的.(3)渐近线：直线x=k+(kZ
3、)称为正切曲线的渐近线,渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线,在渐近线左侧向上无限接近渐近线.2.对函数y=Atan(x+)+k(0)周期的两点说明(1)一般地，函数y=Atan(x+)+k(0)的最小正周期(2)当0时，函数y=Atan(x+)+k具有周期性，最小正周期是【知识拓展】函数y=Atan(x+)(A,为常数且0)的对称性令 得 所以函数的对称中心为【微思考】利用正切函数的单调性比较两数的大小的关键点是什么？提示：是如何利用函数的周期性或诱导公式将两个角转化到同一个单调区间内.【即时练】1.函数 的定义域是()【解析】选B.由题意即所以所以
4、故选B.2.函数 的值域是_.【解析】因为所以1tan x1，即(,1)(1,+).答案：(,1)(1,+)3.函数 的最小正周期为_.【解析】由于故函数的最小正周期为答案：3知识点 2 正切函数的图象1.利用正切线作函数y=tan x，x 的图象的步骤(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8部分，分别在单位圆中作出正切线.(3)描点.(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线)(4)连线.2.“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为(k,0),其中kZ；两线为直线x=k+和直线x=k 其中kZ.(两线也称为正切曲线的渐近线,即无限接近但不相交)(
5、2)作简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线,然后描出三个点,用光滑的曲线连接得一条曲线,最后平行移动至各个周期内即可.【微思考】(1)正切函数图象中相邻两条曲线的间隔是多少？提示：根据正切函数的图象及其周期性可知，两条曲线的间隔是.(2)应按怎样的思路解三角不等式？提示：求解三角不等式，既可以用三角函数线，又可以用三角函数图象，先在一个周期内找到满足不等式的解，再根据周期性加上周期的整数倍即可得完整解集，同时要注意定义域对解集的限制.【即时练】1.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合.(1)满足tan x=0的集合为_.(2)满足tan x0的集合为_.【解析】1.(1)易知曲线上
6、满足tan x=0的x值分别为，-2，0，即x|x=k,kZ.答案：x|x=k,kZ(2)曲线上满足tan x0的点在x轴上方，即答案：2.作出下列函数的简图(1)y=tan(x).(2)y=|tan x|.(3)y=tan|x|.【解析】(1)中函数图象与正切函数的图象关于x轴对称.函数图象如图：(2)中需要把正切函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方.函数图象如图：(3)中函数是偶函数，把正切函数图象位于y轴右侧部分不变，然后把右侧部分图象沿y轴翻折即得左侧部分的图象.函数图象如图：【题型示范】类型一 正切函数单调性的应用【典例1】(1)(2014酒泉高一检测)tan 1，tan 2，tan
7、 3，tan 4从小到大的排列顺序为_.(2)(2014延安高一检测)求函数 的单调区间.【解题探究】1.题(1)中的1,2,3,4是否在函数y=tan x的同一个单调区间内？若不在，如何转化？2.题(2)中的函数如何将x的系数转化为正数？【探究提示】1.函数y=tan x在区间上是单调增函数，2,3,4 由tan 1=tan(+1)，+1 故可将tan 1转化为tan(+1)后进行比较.2.利用函数y=tan x为奇函数，则可得【自主解答】(1)y=tan x在区间上是单调增函数，且tan 1=tan(+1)，又所以tan 2tan 3tan 4tan 1.答案：tan 2tan 3tan
8、40,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令解得x的范围即可.(2)若0,可利用诱导公式先把y=Atan(x+)转化为y=Atan(x)=Atan(x),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.【变式训练】(2014大理高一检测)函数 的单调递增区间为()【解析】选C.由得x kZ，所以增区间为【补偿训练】若函数 则f(1),f(0),f(1)按从小到大的顺序是_【解析】=又利用正切函数的单调性可得f(1)f(1)f(0).答案：f(1)f(1)1或tan x1，所以定义域为关于原点对称，f(x)=所以此函数为奇函数.【易错误区】
9、忽视正切函数的单调性致误【典例】(2014贵阳高一检测)设则M与N 的大小关系为()A.MN D.不能确定【解析】选C.因为正切函数为周期函数,所以又因为在上正切函数是单调递增的,所以即即MN.【常见误区】错解解错因剖析因剖析选D忽忽视处正切函数的周期性，不能将正切函数的周期性，不能将和和转化化为同一同一单调区区间造成造成误选D选A忽忽视处正切函数的正切函数的单调区区间，认为从而从而误认为【防范措施】1.性质的转化利用一些常用性质的转化在解题中往往起到关键性作用,如本例中由角的大小可得到函数的大小.2.特殊情况的处理在利用三角函数的性质时,要警惕函数的单调区间,如本例比较大小时,要把两个角转化到同一单调区间内.【类题试解】设 则Q与P的大小关系为_.【解析】因为正切函数为周期函数,所以因为所以即故QP.答案：QP