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1、广东省广州市七区2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）2022学年第一学期期末教学质量监测高一数学(试题)本试卷共4页，22小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校，班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和
2、涂改液不按以上要求作答无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，( )A. B. C. D. 2. 下列函数为增函数的是( )A. B. C. D. 3. 设a，则“”是( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，则( )A. B. C. D. 5. 已知是第四象限角，且，则( )A. B. C. D. 76. 已知，则的最小值为( )A. B. 4C. D. 7. 已知，则的值为( )A. B. C. D.
3、8. 已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列函数为奇函数的是( )A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是( )A. 任意两个等边三角形都相似B. 所有的素数都是奇数C. ，D. ，11. 记函数，其中若，则( )A. B. C. 为奇函数D. 为奇函数12. 已知正实数x，y，z满足，则( )A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数只有一个零点，则实数a值
4、为_14. 计算_15. 已知函数，分别由下表给出，x012121x012210则_；满足的x的值是_16. 已知，(且)，若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(1)求的值；(2)求的值18 已知函数，且，(1)求函数的解析式；(2)根据定义证明函数在上单调递增19. 已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值20. 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形记
5、，矩形ABCD的面积为(1)将面积S表示为角的函数；(2)当角取何值时，S最大？并求出这个最大值21. 已知函数最大值为(1)求a值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x的集合22. 已知函数，其中e为自然对数的底数，记(1)解不等式；(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围2022学年第一学期期末教学质量监测高一数学(试题)本试卷共4页，22小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校，班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
6、号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】因为集合，所以.故选：D2. 下列函数为增函数的是( )A. B. C. D. 【
7、答案】B【解析】【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD作答.【详解】对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是；对于B，函数在R上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是；对于D，函数在上单调递减，D不是.故选：B3. 设a，则“”是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为，所以当时，所以即，当时，取，得不到，所以是充分不必要条件，故选:A.4. 已知，则( )A
8、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.【详解】，所以.故选：B5. 已知是第四象限角，且，则( )A. B. C. D. 7【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答.【详解】由得：，即，而是第四象限角，则有，所以.故选：A6. 已知，则的最小值为( )A. B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：D7. 已知，则的值为( )A. B. C. D. 【答
9、案】C【解析】【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】，两式相加得，.故选：C.8. 已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a的取值范围，进而求出范围作答.【详解】函数，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，在上递减，在上递增，作出函数的部分图象，如图，方程有四个不同根，不妨令，即直线与函数的图象有4个公共点，观察图象知，显然有，且，由得，即，则有，因此，所以的取值范围为.故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查
10、所有零点是解决问题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列函数为奇函数的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答.【详解】对于A，函数的定义域为，是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，是奇函数，B是；对于C，函数中，解得，即的定义域为，是奇函数，C是；对于D，函数的定义域为，是奇函数，D是.故选：BCD10. 下列命题为真命题的是( )A. 任意两个等边三角形都相似B. 所有的素数都是奇数C. ，D.
11、，【答案】AC【解析】【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，A正确；对于B，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B错误；对于C，因为，即，C正确；对于D，因为，D错误.故选：AC11. 记函数，其中若，则( )A. B. C. 为奇函数D. 为奇函数【答案】BD【解析】【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解析式或，分两种情况计算出，及判断和的奇偶性，推断出四个选项的正误.【详解】A选项，因为，所以为的对称轴，故，A错误；B选项，解得：，因为
12、，所以，解得：，因为，所以或1，当时，当时，故或，当时，当时，B正确；C选项，当时，此时不满足，不奇函数，当时，不满足，不是奇函数，C错误；D选项，当时，此时的定义域为R，且，为奇函数，当时，此时的定义域为R，且，即，为奇函数，D正确.故选：BD12. 已知正实数x，y，z满足，则( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答.【详解】是正实数，令，则，对于A，A错误；对于B，因为，则，B正确；对于C，因为，则，即，因此，即有，C正确；对于D，因此，D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调
13、性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数只有一个零点，则实数a的值为_【答案】1【解析】【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，所以解得.故答案为:1.14. 计算_【答案】【解析】【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案.【详解】.故答案为：.15. 已知函数，分别由下表给出，x012121x012210则_；满足的x的值是_【答案】 . 2 . 1【解析】【分析】根据列表法给定的函数，x分别取0，1，2依次计算、即可作答.【
14、详解】依题意，；，因此当且仅当时，成立，所以满足的x的值是1.故答案为：2；116. 已知，(且)，若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出函数在上最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.【详解】当时，则，因为对任意的，都存在，使得成立，因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值，而当时，不符合题意，于是，函数在上单调递增，则，即，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，(1)若，总有成立，故；(2)若，有成立，故；(3)若，有成立，故.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已
15、知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.(2)利用诱导公式化简，结合(1)的结论，用齐次式法计算作答.【小问1详解】角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，所以.【小问2详解】由(1)知，所以.18. 已知函数，且，(1)求函数解析式；(2)根据定义证明函数在上单调递增【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)直接根据条件列方程组求解即可；(2)任取，计算判断的符号即可证明单调性.【小问1详解】由已知，解得，；【小问2详解】任取，则，即，函数在上单调递增.19. 已知函
16、数(1)求函数的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.(2)由(1)中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.【小问1详解】依题意，所以函数的周期为.【小问2详解】由(1)知，在中，有，于是，解得，则，显然，因此当，即时，所以的最大值为.20. 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形记，矩形ABCD的面积为(1)将面积S表示为角的函数；(2)当角取何值时，S最大？并求出这个最
17、大值【答案】(1)； (2)，.【解析】【分析】(1)根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.(2)利用(1)中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，在中，则，在中，则，因此，所以面积S表示为角的函数是.【小问2详解】由(1)知，当时，则当，即时，所以当时，.21. 已知函数的最大值为(1)求a的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x的集合【答案】(1) (2)最小值为-5，的取值构成的集合为【解析】【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x的集合【小问1详解】，令，则
18、，对称轴，当即时，在单调递减，所以不满足题意；当即时，在单调递增，单调递减，所以，即解得或(舍)；当即时，在单调递增，所以，解得不满足题意，综上.【小问2详解】由(1)可得在单调递增，单调递减，所以当时函数有最小值为，此时，则的取值构成的集合为.22. 已知函数，其中e为自然对数的底数，记(1)解不等式；(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围【答案】(1)； (2)【解析】【分析】(1)根据给定条件，解指数不等式作答.(2)求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.小问1详解】函数，则不等式化为：，即，而，因此，解得，所以原不等式的解集是【小问2详解】依题意，当时，则，令，因为，则， 因此，即，则有函数在上单调递增，于是当时，即，从而，所以实数k的取值范围是【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.