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1、2022-2023学年度第二学期福州八县(市)一中期末联考高一年级数学科试卷完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知，且与平行，则等于( )A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则( )A. B. C. D. 4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生09
2、之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是( )A. B. C. D. 7. 如图，某景区欲
3、在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间距离已知山高，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30(B、D、E在同一水平面上)，山顶C的仰角为60，则两山顶A，C之间的距离为( )A. B. C. D. 8. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为( )A. B. C. D. 2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )A. A与B为互斥事
4、件B. A与B为相互独立事件C. D. 10. 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则11. 已知，则正确有( )A B. C. D. 12. 如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴正半轴上移动，则的可能值为( )A B. C. D. 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为_14. 已知函数，则_.15. 在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45，且，则的长为_.16. 已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2正方体，E为AA1的中点
5、，点F 在CC1上(不与C、C1重合)，三棱锥A-D1EF 的体积为_，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知非零向量，夹角为，且(1)当时，求；(2)若，且，求18. 如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：平面；(2)求证：.19. 已知在中，角，所对的边分别是，满足条件：_.在 ；.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.20. 如图，一块正方
6、体形木料ABCDA1B1C1D1的上底面有一点M， (1)问：经过点M在上底面上能否画一条直线，使其与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.(2)若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值.21. 近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数(第75百分位数)；(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至
7、少有1人年龄在的概率.22. 已知函数，；(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)指出函数的单调性(只需用复合函数理由说明，不要求定义证明)；(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.2022-2023学年度第二学期福州八县(市)一中期末联考高一年级数学科试卷完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数，化成标准形式，再根据复
8、数的几何意义来判断.【详解】依题意得，对应复平面的点是，在第四象限.故选：D.2. 已知，且与平行，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出向量与的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为，所以，若与平行，则，得x2.故选：C.3. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示.【详解】因为是BC的中点，所以，所以.故选：D.4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生09之间取整
9、数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5【答案】B【解析】【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可.【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，故3例心脏手术全部成功的概率为：.故选：B5. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件
10、D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别解不等式和，根据小范围推大范围，分析判断即可.【详解】若，解得，即解集；若，注意到在定义域内单调递增，解得；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.【详解】有三件正品(用，表示)和一件次品(用表示)的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，由古典概型得，故选：D.7. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，在水平面上E处测得山顶A
11、的仰角为30(B、D、E在同一水平面上)，山顶C的仰角为60，则两山顶A，C之间的距离为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，在和中分别求出AE，CE，再利用余弦定理计算作答.【详解】在中，则，在中，则，在，由余弦定理得：，即，解得，所以两山顶A，C之间的距离为故选：B8. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为( )A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先找出平面截球面截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图所示： 由已知，连接，则因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，
12、所以为等边三角形.且平面，取的中点，连接,则,又平面，所以，又，所以平面，故平面截球面的截面圆的圆心是点，取和的中点，连接,则，故在球面上，,，所以为直角三角形，,球面与侧面的交线是侧面上以为圆心，为半径的圆弧.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )A. A与B为互斥事件B. A与B为相互独立事件C D. 【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件
13、、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件包含的基本事件是：(正，正)，(正，反).事件包含的基本事件是：(正，正)，(反，正).所以不是互斥事件，A选项错误.，所以BD选项正确.，C选项错误.故选：BD10. 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可【详解】对于A：若，则，故A正确；对于B：若，则或，故B错误；对于C：若，则或与异面，故C错误；
14、对于D：若，则，又，所以，故D正确；故选：AD11. 已知，则正确的有( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】先把指数式化为对数式可得，可判断A，由对数的运算性质可判断D，由基本不等式可判断BC【详解】，故正确，故D不正确，当且仅当时取等号，故B正确，(因为，故等号不成立)，故C正确.故选：12. 如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴正半轴上移动，则的可能值为( )A. B. C. D. 2【答案】CD【解析】【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，由数量积公式结合三角函数知识求解.【详解】解：如
15、图令，由于，故，如图，故，故同理可求得，即，所以因为，所以，即.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为_【答案】12【解析】【分析】利用方差的性质直接求解.【详解】样本数据的方差为3，数据的方差为.故答案为：12.14. 已知函数，则_.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数的定义求解即可.【详解】由，所以，所以.故答案为：4.15. 在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45，且，则的长为_.【答案】【解析】【分析】作出辅助线，找到或，分两种情况，结合余弦定理求出答案.【详解】取的中点，连接，因为E、F 分别是的中点，所
16、以，因为所成的角为，所以或，如图1，则，如图，则故答案为：16. 已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F 在CC1上(不与C、C1重合)，三棱锥A-D1EF 的体积为_，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据给定条件，利用等体积法求解三棱锥的体积根据割补法，将几何体分解为三棱柱和三棱锥，即可由体积公式求解.【详解】在正方体中，棱长为2，为的中点，则，为上一点，而平面，平面，则点到平面的距离为长，所以三棱锥的体积取的中点为，连接,由于均为棱的中点，由正方体的结构特征可知为直三棱柱，故几何体可以分割为三棱柱和三
17、棱锥，故几何体体积为,故答案为：， 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知非零向量，夹角为，且(1)当时，求；(2)若，且，求【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用向量数量积运算公式和夹角余弦公式进行求解；(2)根据向量垂直得到，再求出，进而求出【小问1详解】当时，所以，；【小问2详解】，即，18. 如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据平行四边形或者三角形的中位线可得线线平行，进而可证，或者证明面面平行也可
18、，(2)根据面面垂直可得线面垂直，进而得到线线垂直.【小问1详解】法一：取PD中点G，连接FG，AG，在PDC中，因为F、G分别是PC，PD的中点， 所以FGCD，FG=CD； 因为E是正方形ABCD边AB的中点，所以AE/CD，AE=CD； 所以AEGF，AE=GF；即四边形AEFG是平行四边形， 所以EF/AG， 又因为AG平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD 法二：延长DA交CE延长线于H，连接PH，由于AE/CD，AE=CD，所以是的中点，是的中点，所以EFPH，又因为PH平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD 法三：取CD中点I，连接EI，FI，由于均为中点，所以,
19、平面,平面，平面EFI平面PAD，EF平面，所以EF平面PAD 【小问2详解】因为正方形ABCD中，BDAC， 又平面ABCD平面PAC； 平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC， 因为PC平面PAC， 所以BDPC.19. 已知在中，角，所对的边分别是，满足条件：_.在 ；.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)选，答案均为 (2)【解析】【分析】(1)选，由正弦定理及得到，结合，求出答案；选，由正弦定理及得到，结合，求出答案；选，由正弦定理及得
20、到，结合，求出答案；(2)利用三角恒等变换得到，由求出，从而得到答案.【小问1详解】选择，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，故，又，因此. 选择，由正弦定理可得，从而可得，即，又，所以，于是， 又，因此，. 选择，由正弦定理可得，即，得，即，又，所以，得，又，因此，.【小问2详解】，由可知，所以，从而，因此，故的取值范围为.20. 如图，一块正方体形木料ABCDA1B1C1D1的上底面有一点M， (1)问：经过点M上底面上能否画一条直线，使其与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.(2)若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值.【
21、答案】(1)可以，作图过程见解析，证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)连接C1M，在平面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1，则GHCM，再利用线面垂直证明线线垂直即可；(2)在平面ABB1A1上，过点A作AEA1B，则E是 A1B的中点，先证明先AE平面A1BC.可得AFE为斜线AF与平面A1BC所成的角，进而可得答案.【小问1详解】经过点M在上底面上能画一条直线与CM垂直，如图所示，连接C1M，在面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1M.则GHCM， 证明：在正方体AC1中，CC1平面A1B1C1D1，GH平面A1B1C1D1，所以GHCC1， 而GHC1M，且C1MCC1，平面M
22、CC1， 故GH平面MCC1， 又CM平面MCC1，所以GHMC.【小问2详解】在平面ABB1A1上，过点A作AEA1B，则E是 A1B的中点， 在正方体AC1中，BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，所以BCAE，而A1BBC=B，平面A1BC. 故AE平面A1BC. 所以EF为斜线AF在平面A1BC上的射影，AFE为斜线AF与平面A1BC所成的角. AE平面A1BC，EF平面A1BC，AEEF 在直角三角形AEF中，AF=，AE=，sinAFE=，所以AF与面A1BC所成角的正弦值为.21. 近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手
23、段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数(第75百分位数)；(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率.【答案】(1)，58 (2)【解析】【分析】(1)根据频率之和为1可得，进而由百分位数的计算即可求解，(2)根据列举法，结合古典概型的计算公式即可求解.【小问1详解】依题意，解得， 因为前3组的频率和为 0.75，前4组的频率和为， 所以所求上四分位数(第75百分位数)为【小问2详解】由频率分布直方图可知年龄在和的频率分别为，
24、所以年龄在的投资者应抽取3人，记为A，B，C年龄在的投资者应抽取2人,记为a，b， 则任取2人，所有的情况为：，共10种，满足条件为共7种. 故至少有1人年龄在的概率为.22. 已知函数，；(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)指出函数的单调性(只需用复合函数理由说明，不要求定义证明)；(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.【答案】(1)在R上为奇函数，证明见解析 (2)在上为减函数 (3)存在，【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性定义证明即可；(2)根据复合函数的单调性法则，结合函数的奇偶性即可说明；(3)由函数单调性可得，从而转化为求的最小值，再解关于的不
25、等式，对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案.【小问1详解】函数在R上为奇函数. 证明：因为，所以恒成立.所以函数的定义域为R，关于原点中心对称. 因为，所以函数在R上奇函数.【小问2详解】由(1)知= 因为在是增函数，又，()为减函数， 所以在上为减函数，又为奇函数，所以在上为减函数，故在上单调递减；【小问3详解】因为对任意都有，所以对任意都有，由在上为减函数；所以对任意都有，所以对任意都有， 因为，所以即，解得 因为，令，则，令，它的对称轴为，当，即时，在上是增函数，解得舍去， 当即时，此时，解得，所以.【点睛】方法点睛：小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高.