《2024届吉林省吉林市普通高中高三第四次模拟考试数学含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届吉林省吉林市普通高中高三第四次模拟考试数学含答案.pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、公众号：高中试卷君第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司吉林地区普通高中吉林地区普通高中 20232024 学年度高三年级第三次模拟考试学年度高三年级第三次模拟考试数学试题数学试题说明：说明：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.2答选择题时，选出每小题答案后，用答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用答非选择题时，用
2、 0.5 毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚字体工整，笔迹清楚.3请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效.4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.复数sin1 icos1z=+在
3、复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知 12,1,1.2xxf xxx-=（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84.若互不相等的正数,a b c满足2bac=+，则（）A.ln,ln,lnabc成等差数列B.ln,ln,lnabc成等比数列C.e,e,eabc成等差数列D.e,e,eabc成等比数列5.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,+上单调递增是（）A.23f xx-=B.tan=f xxC.31f xxx=-D.lnf xx=6.已知圆锥的侧面积是4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）A.2 63B.33C.2 33
4、D.63的公众号：高中试卷君第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司7.已知圆22:1C xy+=与x轴交于12,F F两点，点P在直线:40l xy-+=上，若以12,F F为焦点的椭圆过点P，则该椭圆的离心率的最大值为（）A.22B.3417C.518-D.26224-8.已知,a b为锐角，且2sincossinbaba+=，则tanb的最大值为（）A 612B.24C.66D.22二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合
5、题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.已知集合2log1,1AxxBx x=，则（）A 02Axx=B.01ABxx=，cos10，所以点Z位于第一象限.故选：A.2.已知 12,1,1.2xxf xxx-=若 1f a=，则实数a的值为（）A.1B.4C.1 或 4D.2【答案】B【解析】【分析】分1a和1a，求解 1f a=，即可得出答案.【详解】当1a=（）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态分布性质可得【详解】因为22,XNs，所以130.2P XP X=，所以(1)110.8P
6、 XP X=-=.故选：D.4.若互不相等的正数,a b c满足2bac=+，则（）A.ln,ln,lnabc成等差数列B.ln,ln,lnabc成等比数列C.e,e,eabc成等差数列D.e,e,eabc成等比数列【答案】D【解析】【分析】根据,a b c互不相等，且2bac=+得到2eeba c+=，转化为 2eeebac=，根据等比中项的概念，判断e,e,eabc成等比数列.【详解】因为,a b c互不相等，且2bac=+，所以2eeba c+=2eeebac=，即eeeebcab=，所以e,e,eabc成等比数列.故选：D5.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,+上单调递增的是（）A.
7、23f xx-=B.tan=f xxC.31f xxx=-D.lnf xx=【答案】C【解析】.公众号：高中试卷君第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】利用奇函数的定义 fxf x-=-，即可判断四个选项的奇偶性，只有BC、是奇函数，又正切函数在0,+上不是单调递增函数，而函数 31f xxx=-的导函数恒大于零，所以只有 C 正确.【详解】对于 A，2233fxxx-=-=Q，()fx为偶函数，故 A 错误；对于 B，tantanfxxxf x-=-=-=-Q，()fx为奇函数，又 tan=f xx在0,+不满足单调递增定义，所以 B 错误；对于 C，3311fxxxf
8、xxx-=-=-+=-Q，()fx为奇函数，22130fxxx=+，()fx在区间0,+上单调递增，故 C 正确；对于 D，lnyx=是非奇非偶函数，所以 D 错误.故选：C.6.已知圆锥的侧面积是4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）A.2 63B.33C.2 33D.63【答案】D【解析】【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意知：42rllr=，两式相除解得2r=，2 2l=；所以圆锥的顶角为3，轴截面为等边三角形，圆锥的高222 226h=-=，公众号：高
9、中试卷君第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司设圆锥的内切圆半径为R，22262RR-=+，解得63R=.故选：D.7.已知圆22:1C xy+=与x轴交于12,F F两点，点P在直线:40l xy-+=上，若以12,F F为焦点的椭圆过点P，则该椭圆的离心率的最大值为（）A.22B.3417C.518-D.26224-【答案】B【解析】【分析】根据题意求出点2(1,0)F关于直线1:40 xy-+=对称的点F的坐标，结合两点之间线段最短，即可求出a的最小值，由此即可求出离心率的最大值【详解】由题意知1(1,0)F-，2(1,0)F，以1(1,0)F-，2(1,0)F为焦点的椭圆的
10、半焦距为1c=，由题意可知直线 1 与椭圆有交点P，设点2(1,0)F关于直线1:40 xy-+=对称的点为(,)F m n，则111422nmnm=-+=+，解得(4,5)F-，则2212112(4 1)534aPFPFPFPFFF=+=+=-+=，因为1ceaa=，公众号：高中试卷君第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则该椭圆的离心率的最大值为13417342=故选：B8.已知,a b为锐角，且2sincossinbaba+=，则tanb的最大值为（）A.612B.24C.66D.22【答案】A【解析】【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解
11、【详解】因为a，b为锐角，且2sincos()coscossinsinsinbabababa+=-，两边同时除以cosb得，2tancossintansinbaaba-=，2cossinsin2 tanaaab=+，aQ为锐角，tan0a，2222sincossincostan116tan22sin3sin2cos3tan2122 63tantanaaaaabaaaaaa=+，当且仅当23tantanaa=，即6tan3a=时取等号，tanb最大值为612故选：A二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，
12、有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.已知集合2log1,1AxxBx x=，则（）A.02Axx=B.01ABxx=C.12ABxx=-D.*NB的子集个数为 2【答案】BCD【解析】公众号：高中试卷君第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】解对数不等式及绝对值不等式，结合集合的交集、并集运算及子集的定义计算即可.详解】对于 A 项，由题意知，2|0Axx=，|11Bxx=-，故 A 项错误；对于 B 项，|01ABxx=，所以3OCE，
13、故 C 正确；对 D：点P在平面A BD内，且直线PC与直线BC所成角为6，若点P的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角ABDC-应该在 2,33之间取值，且不能为90（此时点P的轨迹是圆），当二面角3ABDC-=或23时，11132 2 33223ABCDV-=，当二面角2ABDC-=时，112 32 2 3 1323ABCDV-=，所以点P在平面A BD内，且直线PC与直线BC所成角为6，且点P的轨迹是椭圆时，3 2 3,33ABCDV-，故 D 错误.故选：AC公众号：高中试卷君第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一
14、个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）.三、填空题：本大題共三、填空题：本大題共 3 小题，每小題小题，每小題 5 分，共分，共 15 分其中第分其中第 13 题的第一个空填对得题的第一个空填对得 2分，第二个空填对得分，第二个空填对得 3 分分12.已知向量,1,1,3amb=-=rr，若abrr，则a=r_.【答案】10【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得m的值，从而可求模长.【详解】因为,1,1,3amb=-=rr，abrr，所以=30a b m-=rr，解得3m=，所以223110a=+-=r.故答案为：10.13.“冰天雪地也是金山银山
15、”，2023-2024 年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能某市以“冰雪童话”为主题打造圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等 16 处打卡景观若这 16 处景观分别用1216,A AAL表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达6A有_种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观iA的不同路线有ia条，其中116,Nii，记2117,Nnamnn+=，则21niia=_（结果用m表示）.【答案】.8 .1m-【解析】公众
16、号：高中试卷君第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】结合题意及分类加法原理，依次计算到达2A、3A、4A、5A、6A的走法即可.由题意可知数列na为斐波那契数列，即12nnnaaa+=（114n且*Nn），结合累加法求解即可.【详解】由题意知，到达2A点共有 1 种走法，到达3A点共有1 12+=种走法（一种是经过2A点到达3A，一种是直接到达3A），到达4A点共有123+=种走法（一种是经过2A，一种是经过3A，所以到达4A将2A、3A的走法加起来），到达5A点共有325+=种走法（一种是经过2A和4A，一种是经过3A，所以到达5A将4A、3A的走法加起来），到达6A点
17、共有358+=种走法（一种是经过2A和4A，一种是经过3A和5A，所以到达6A将4A、5A的走法加起来），故按图中所示方向到达6A有 8 种不同的打卡路线.由题意知，11a=，21a=，3122aaa=+=，4233aaa=+=，5345aaa=+=，12nnnaaa+=（114n且*Nn），因为12nnnaaa+=（114n且*Nn），所以123aaa+=，345aaa+=，567aaa+=，21221nnnaaa-+=，（17n且*Nn），将上式累加可得12345621235721nnnaaaaaaaaaaaa-+=+LL，（17n且*Nn），整理可得1246221nnaaaaaa+=L，
18、又11a=，21nam+=，所以24622111nnaaaaaam+=-=-L，即211niiam=-.故答案为：8；1m-.14.已知拋物线2:4E yx=的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线E交于,A B两点，过,A B作x轴垂线，垂足分別为11,A B，直线1AB与直线l交于P点，则PABV与11PAB的面积比值为_.【答案】1【解析】【分析】设直线AB的方程为：1xmy=+，联立直线AB与抛物线的方程求得公众号：高中试卷君第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司12124,4yym yy+=-，再求出P点坐标，讨论点A 在点B的右侧或左侧，表示出21112PABSyx
19、=+V，所以1 121121111PABPA BymySSymy+=+VV，再将韦达定理代入即可得出答案.【详解】依题意作示意图如下图，图一为点A 在点B的右侧，图二为点A 在点B的左侧，根据抛物线方程有：1,0,:1Fl x=-，设直线AB的方程为：1xmy=+，1122,A x yB xy，01,Py-，故1112,0,0A xBx，若12xx=，则直线1AB与直线l不相交，故12xx，联立直线AB与抛物线的方程有：241xxyym=+=，则2440ymy-=，则12124,4yym yy+=-，直线1AB的方程为：1212yyxxxx=-，令=1x-，得到102211yyxxx=+-，所
20、以12211,1yPxxx-+-，因为1112ABxx=-，所以1 11101211122PA BSAByyx=+V，而对于PABV，当点A 在点B的右侧，根据图象可知，11222122111111222PABPBBABBSSSyxyxxyx=+=+-=+VV，当点A 在点B的左侧，根据图象可知，11222122111111222PABPBBABBSSSyxyxxyx=-=+-=+VV，即21112PABSyx=+V，所以1 1212112121111211112PABPA ByxymySSymyyx+=+VV，12121112112 44242122424mymymy ymyymy yymy
21、m-+-=+-.故答案为：1.公众号：高中试卷君第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设直线AB的方程为：1xmy=+，联立直线AB与抛物线的方程求得12124,4yym yy+=-，再求出P点坐标，讨论点A 在点B的右侧或左侧，表示出21112PABSyx=+V，所以1 121121111PABPA BymySSymy+=+VV，再将韦达定理代入即可得出答案.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知ABCV的三个内角,A B
22、C的对边分别为,a b c，且coscos2aBbAc-=（1）求A；（2）ABuuu r在ACuuur方向上投影向量是2,133AC a=uuur，求ABCV的面积.【答案】（1）3A=（2）3 3ABCS=V【解析】【分析】（1）由coscos2aBbAc-=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简得到sin cos2cos sinBAAB=-求解；（2）（方法一）由ABuuu r在ACuuur方向上的投影向量2cos3ACABAB ACACAC=uuuruuu ruuu r uuuruuuruuur，化简得到cos23cAb=，再利用余弦定理求得3,4bc=即可；（方法二）：过B作BDA
23、C，设DCt=，在 RtBDCV中，由22213BDDCBC+=求解.【小问 1 详解】解：由正弦定理得sin cossin cos2sinABBAC-=，sinsinsin coscos sinCABABAB=+=+Q，即sin cos2cos sinBAAB=-，的公众号：高中试卷君第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司又sin0,cos2cosBAA=-，22cos1cosAA-=-，即22coscos10AA+-=得1cos2A=或cos1A=-（舍），又0,3AA=.【小问 2 详解】（方法一）ABuuu r在ACuuur方向上的投影向量为2cos3ACABAB ACA
24、CAC=uuuruuu ruuu r uuuruuuruuur，cos23ABAAC=uuu ruuur即cos23cAb=，14cos,23Acb=Q，由余弦定理2222cosabcbcA=+-，222441131323329bbbbb=+-=，3,4bc=，则113sin3 43 3222ABCSbcA=V；（方法二）：如图所示：过B作BDAC，垂足为D，则ADuuur为ABuuu r在ACuuur方向上的投影向量，设DCt=，则2,2 3,4ADt BDt ABt=，在 RtBDCV中，22213BDDCBC+=，1,4,3tABAC=，公众号：高中试卷君第 14 页/共 25 页学科网
25、（北京）股份有限公司113sin4 33 32322ABCSAB AC=V.16.如图，在四棱锥PABCD-中，PA 平面,2 6ABCD PBPC=，224,PABCADCDE=为BC中点，点F在梭PB上（不包括端点）.（1）证明：平面AEF 平面PAD；（2）若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）4 55【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得AEAD，PAAE，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得/EF平面PCD，则点E到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离.方法一：以 A 为原点
26、建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法P EDCE PCDVV-=计算即可.【小问 1 详解】证明：连接AC，如图所示，PA Q平面,ABCDPAAB PAAC，公众号：高中试卷君第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司2 6,4,2 2PBPCPAABAC=Q，2224,BCABACBC=+=Q，即ABAC，又EQ为BC中点，则 AEBC，且2AEEC=，2,ADCD=Q四边形AECD为正方形，AEAD，PA Q平面,ABCD AE 平面,ABCDPAAE，又ADPAA=QI，AD、PA平面PAD，AE平面PAD，又AE Q平面,AEF 平面AEF
27、 平面PAD.【小问 2 详解】Q在PBCV中，,E F分别为,BC PB中点，EFPC，又EF 平面,PCD PC 平面PCD，/EF平面PCD，点E到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离，（方法一）,PAAD PAAE AEADQ，以A 为原点，,AE AD AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz-，如图所示，则2,0,0,2,2,0,0,0,4,0,2,0ECPD，0,2,0,2,2,4,2,0,0ECCPCD=-=-uuu ruuu ruuu r，设,nx y z=r是平面PCD的法向量，22402,020n CPxyzyzxn CDx=-+=-=
28、uuu rruuu rr，公众号：高中试卷君第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司取1z=，则2,0,2,1yn=r是平面PCD的一个法向量，点E到平面PCD的距离为44 555EC ndn=uuu rrr，即直线EF到平面PCD的距离为4 55.（方法二）连接ED、PE，如图所示，EDCQ为等腰直角三角形，12 222EDCS=，又PA Q平面,ECDPA是三棱锥PEDC-的高，1182 4333P EDCEDCVSPA-=V，222,1642 5,2 6CDPDPAADPC=+=+=Q，222,PDCDPCCDPD+=，112 2 52 522PCDSCD PD=，设E到平面
29、PCD距离为d，则13P EDCE PCDPCDVVSd-=，1884 52 5,3352 5dd=，即EF到平面PCD的距离为4 55.17.已知点2,0F，直线:1l x=，动圆P与直线l相切，交线段PF于点M，且2PFPM=（1）求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线；（2）过点F且倾斜角大于34的直线l与y轴交于点M，与P的轨迹相交于两点12,M M，且公众号：高中试卷君第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司12,RFMFMFMlml m=uuuu ruuuuruuuuu r，求lm+的值及11lm+的取值范围.【答案】（1）22122xy-=，点P的轨迹是焦点在x轴上，实
30、轴长、虚轴长均为2 2的等轴双曲线 （2）4lm+=，2,+【解析】【分析】（1）设点,P x y，根据2PFPM=列出等量关系整理可得；（2）设直线:2lxmy=+，联立双曲线方程，利用韦达定理结合12FMFMFMlm=uuuu ruuuuruuuuu r，可得lm+的值及11lm+的取值范围.【小问 1 详解】设点,P x y，圆P的半径为,r d为P到直线l的距离，则dr=根据题意，动点P的轨迹就是点的集合 22AP PFPMP PFd=22(2)21xyx-+=-即222(2)2(1)xyx-+=-，整理得22122xy-=.所以，点P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长、虚轴长均为2 2的等
31、轴双曲线【小问 2 详解】设直线:2lxmy=+，Q倾斜角大于3,14m-设1112222,0,Mx yMxyMm-公众号：高中试卷君第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司联立2222xmyxy=+-=得222142010mymym-+=-，故2221681810mmm=-=+，12241myym-+=-，12221yym=-，由题知，双曲线的焦点2,0F，11122222,2,2,FMxyFMxyFMm=-=-=-uuuuruuuuu ruuuu r212121212242222221,421myymmmymymymymy ymlmlm-+-=-=-+=-=-222122241
32、122122211mm yymmmmlm-+-+=+-由,1m-得21110,1mlm+-的取值范围是2,+18.短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的 500 名游客调查得知，南方游客有300 人，因收看短视频而来的 280 名游客中南方游客有 200 人.（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值0.001a=的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人短视频游客收看未看合计南方游客北方游客合计（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款 5 人传
33、球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余 4人之一，现有甲、乙等 5 人参加此游戏，球首先由甲传出.（i）求经过i次传递后球回到甲的概率；（ii）记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望.公众号：高中试卷君第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司参考公式：22()n adbcabcdacbdc-=+，其中nabcd=+；11mmiiiiEXE X=附表：a0.10.050.010.0050.001ac2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，无关 （2）（i）1111554iiP-=-；（ii）111525254mmE X=+-【解析】
34、【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可；（2）（i）设经过i次传递后回到甲的概率为iP，求出关系式，得到通项公式；（ii）方法一：设第i次传递时甲接到球的次数为iY，则iY服从两点分布，iiE YP=，设前m次传递中球传到甲的次数为Y，利用公式求期望即可.方法二：设第i次传递时，乙接到球的概率和次数分别为iq与iX，则iX服从两点分布，iiE Xq=，利用公式求期望即可.【小问 1 详解】将所给数据进行整理，得到如下列联表：短视频游客收看未看合计南方游客200100300北方游客80120200合计280220500零假设0H：南北方游客来此景点旅游与短视频无关
35、联220.001500(200 12080 100)800034.63210.828300 200 280 220231cc-=根据小概率值0.001a=的独立性检验，我们推断0H不成立，公众号：高中试卷君第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001【小问 2 详解】（i）设经过i次传递后回到甲的概率为iP，1111112444iiiPPPi-=-=-+，1111545iiPP-=-，又111055P-=-，所以15iP-是首项为15-，公比为14-的等比数列，所以1111554iiP-=-.（ii）（
36、方法一）设第i次传递时甲接到球的次数为iY，则iY服从两点分布，iiE YP=，设前m次传递中球传到甲的次数为Y，12311mmiimiiE YEYE YPPPP=+L111414415525452514mmmm-=-=-+-+，因为 4mE YE X-=，所以111525254mmE X=+-.（方法二）设第i次传递时，乙接到球的概率和次数分别为iq与iX，则iX服从两点分布，iiE Xq=，由题可知1114iiqq-=-，1111545iiqq-=-，又114q=，所以111520q-=，所以15iq-是首项为120，公比为14-的等比数列，11115204iiq-=-，111554iiq
37、=-，公众号：高中试卷君第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司11111144115514mmmmiiiiiimE XEXE Xq=-=-，故111525254mmE X=+-.【点睛】关键点点睛：本题第 2 问（ii）的解决关键是，根据题意得到1,iiP P-的关系，利用构造法分析出15iP-是首项为15-，公比为14-的等比数列，由此得解.19.已知函数 2()exxaf x+=（1）讨论 f x的单调性；（2）设,m n分别是 f x的极小值点和极大值点，记 ,M m f mN n f n（i）证明：直线MN与曲线 yf x=交于除,M N外另一点P；（ii）在（i）结论下
38、，判断是否存在定值,1ta a+且Za，使MNt PN=，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）f x在,2aa-+上单调递增，在,2,aa-+上单调递减 （2）（i）证明见解析；（ii）存在定值t，此时1a=.【解析】分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，从而解不等式，求出函数单调性；（2）（i）法 一：在（1）基 础 上 得 到,2ma na=-=-+，求 出MN直 线 方 程，联 立 得 到22()2eeaxxaxa-+=，变形得到22e0 x axaxa+-+-+=，构造 22e,Rx ag xxax+-=-+，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到结论；
39、法二：在（1）基础上得到,2ma na=-=-+，求出MN直线方程，联立得到22()2eeaxxaxa-+=，变形得到22e0eaxxaxa-+-=，构造 22e,Reaxxah xx-+=-，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到结论；【公众号：高中试卷君第 22 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（ii）法一：在（i）基础上，得到20,0,2,4eaPxx MaNa-=-+，表达出022MNtPNax=-+，故022(0)axtt+=-，结 合（i）中 的0202exaxa+-=+得 到21e10(0)ttt-+-=，换 元 得 到 2e1,0uH uuu=-，根据0,1xaa-
40、，得到12t，则2axa-+，令 0fx，xa-+，()fx在,2aa-+上单调递增，在,2,aa-+上单调递减【小问 2 详解】（i）法一：由（1）知,2ma na=-=-+且 0f mfa=-=，2244eeaaf n-+=，224e2e2aaMNkaa-=-+，MN直线方程为22eayxa-=+，令22()2eeaxxaxa-+=，即22e0 x axaxa+-+-+=，xa=-或22e0 x axa+-+=，设 22e,Rx ag xxax+-=-+，则 22e1x agx+-=-，令 0gx=，则12ln2xa+-=，公众号：高中试卷君第 23 页/共 25 页学科网（北京）股份有限
41、公司2ln2xa=-，令 0gx，则2ln2xa-，令 0gx，则2ln2xaQ，ln22ln22e2ln2ln2 10ga-=-=-，（或者2ln220gaga-，则1xa-；令 0h x-，h x在,1 a-上单调递增，在1,a-+上单调递减，12221e2eee20,2e0,20aaaahahaha-=-=-=-，由（i）可知，0202exaxa+-=+，222e2tt-=-，即21e1tt-=-，21e10(0)ttt-+-=，设10ut=-，设 2e1,0uH uuu=-，22e1,0uHuu=-，则ln202u-，令 0Hu，则ln22u=-=-，0,1xaa-Q，公众号：高中试卷君第 25 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司0122ax-+，212t，12t ，故存在定值t，且1,2t，使MNt PN=，此时1a=.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.