《广东实验中学2024年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东实验中学2024年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学试卷 第1页（共5页）学科网（北京）股份有限公司广东实验中学广东实验中学 2023202320242024 学年（下）高二期中考试学年（下）高二期中考试 数数 学学命题：高二数学备课组 审定：本试卷共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
2、置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1 已知12i+是关于复数z的方程()20,zmznm nR+=的一根，则mn+=A5 B6 C7D82()()()1,1,2,0,1,1,3,5,abck=，若,a b c 共面，则实数k为A1B2C3D43 622xx展开式中的常数项为A15B60C160D2404
3、若tan24tan04+=，则sin2=A45B25C25D455 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数中任取 5 个不同的数，则这 5 个不同的数的中位 数学试卷 第2页（共5页）学科网（北京）股份有限公司 数为 5 的概率为 A121 B321 C521 D721 6 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为3 6的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 A36 3 B48 3 C72 3 D96 3 7 已知双曲线()2222:10,0 xyCabab=的左、右焦点分别为1F,2F，过1F的直线分别交双曲线左、右两支于A
4、、B两点，点C在x轴上，24CBF A=，2BF平分1FBC，则双曲线C的离心率为 A2 63 B333 C7 D2 213 8 函数()f x在定义域R上处处可导，其导函数为()fx已知()()1f xfx=，()10f=，且当12x 时，()()021f xfxx若()ln2af=，2ln5bf=，52cf=，则 Aabc Bbca Cacb Dbac，求a的取值范围 16（15分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22coscos1bcbBCc+=（1）证明：2cab=；OMBNHDCAA 数学试卷 第4页（共5页）学科网（北京）股份有限公司（2）若ABC外接圆的面积
5、为，且2224si2naCb=，求ABC的面积 17（15分）已知各项均不为 0 的数列 na的前n项和为nS，且11a=，114nnna aS+=；2nnnab=，数列 nb的前n项和为nT（1）求 na的通项公式；（2）求nT；（3）若对于任意*nN，822nnT+成立，求实数的取值范围 18（17分）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为22，且过点()2,1直线ykxm=+与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线1ykx=与椭圆C相交于,A B两点，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线OP的斜率为0k，求证：0k k为定值；（3）求PAB面积的最大值 19（
6、17分）拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数()f x在区间,a b连续，在区间(),a b上可导，则存在()0,xa b，使得()()()0f bf afxba=，我们将0 x称为函数()f x在,a b上的“中值点”已知函数()xf xe=，()21g xxtx=+，()()()F xf xg x=（1）求()F x在()0,1上的中值点的个数；（2）若对于区间()0,1内任意两个不相等的实数12,x x，都有()()()()1212f xf xg xg x成立，求实数t的取值范围 数学试卷 第5页（共5页）学科网（北京）股份有限公司（3）
7、当0t 且1t 时，证明：1ln22ln2lnttt 数学答案 第1页（共8页）学科网（北京）股份有限公司 广东实验中学广东实验中学 2023202320242024 学年（下）高二中段考试学年（下）高二中段考试 数数学学 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 【选择【选择题、题、填空填空题题答案】答案】题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C D D A C B B A 题号题号 9 10 11 12 13 14 答案答案 AC BCD ABD 220 xy+=13 2022【部分试题解析部分试题解析】7【解析】如图，因为24CBF A=，所以2/CBF A，且114FBF A
8、=，即13ABF A=又2BF平分1FBC，所以1222FBFF BCBF A=（内错角），所以213F AABF A=，因为212F AF Aa=，所以1F Aa=，23F AABa=，所以14FBa=，22F Ba=，所以2121cos23F BFBFAB=，在12BFF中，由余弦定理有222121212122cosFFFBF BFB F BFBF=+，即()()()22221442422 4233caaaaa=+=，所以222113cea=，113333e=8【解析】记()()12f xg xx=，12x，则()()()()()1121222101122fxxf xf xxfxxgxxx
9、=数学答案 第2页（共8页）学科网（北京）股份有限公司 从而()g x在1,2+上单调递增，且当112x时()()10g xg=，故()0f x 时()()10g xg=，故()0f x，此时()()12f xg xx=单调递增 所以()ln20af=，25ln1ln52bff=+，因为5511ln22+，所以()55011ln22fff=+，即0bc，综上，abc，且232a=，32128a=，20252a，()20250,12a，2025202220222a+=，即2022204241122022222aaaaaa+=+15【解析】解：（1）当2a=时，()2lnf xxx=，0 x，()
10、12fxx=，（2 分）()12f=，()11f=，（4 分）所以()f x的图像在()()1,1f处的切线方程为21yx=，即1yx=+（6分）（2）法一：1,xe，()11axfxaxx=，（7 分）当1ae时，()0fx，()f x在1,e上单调递减，()10f eae=，不合题意；（9 分）数学答案 第4页（共8页）学科网（北京）股份有限公司 当1a 时，()0fx，()f x在1,e上单调递增，()()10f xfa=，符合题意；（10分）当11ae时，11ea，在11,a上()0fx，()f x单调递增，()f x在1xa=处取得极小值，()f x 11ln0faa=+，符合题意；
11、（12 分）综上所述，实数a的取值范围是1,e+（13 分）法二：因为0 x，所以()0f x 等价于ln xax，1,xe（8 分）设()ln xg xx=，1,xe，则()21ln0 xgxx=，所以()g x在1,e上单调递增，（11 分）()g x在xe=处取得最大值()max1gg ee=，所以实数a的取值范围是1,e+（13分）16【解析】（1）证：法一：因为22coscos1bbBCcc+=，所以有22coscosbcBbCc+=，由正弦定理可得()sincossincossinbCBBCcC+=，即()sinsinbBCcC+=，因为BCA+=，所以()sinsinBCA+=，
12、所以有sinsinbAcC=，再由正弦定理可得2cab=（4分）法二：将余弦定理代入22coscos1bcbBCc+=，可得22222222122b acbbabccaccab+=，即()222222212bacbabcac+=，整理得2cab=（4 分）（2）解：由题意知外接圆的半径1R=，由正弦定理得2 sin2sincRCC=，所以2222abc=（6分）由（1）知2cab=，所以2220aabb=，即()()20abab+=，因为0a，0b，所以2ab=，222cabb=（9 分）由余弦定理得2222222423cos244abcbbbCabb+=，（11 分）所以7sin4C=，72
13、sin2cC=（13分）所以317 7sin24432abccSabC=（15 分）数学答案 第5页（共8页）学科网（北京）股份有限公司 17【解析】解：（1）当1n=时，12114a aS+=，2114a+=，23a=（1 分）当2n 时，1114nnnnnnna aaaaSS+=，（2 分）因为0na，所以114nnaa+=，2n，（3分）故 na的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列，当n为奇数时，11212nnaadn=+=；当n为偶数时，22212nnaadn=+=所以对*nN，21nan=（5分）（2）法一：2122nnnnanb=，（6分）21321.222nnnT=+，123
14、11321.2222nnnT+=+，（7 分）123111111111222211213121221.12222222222212nnnnnnnnnnT+=+=+=，（8分）所以21212333222nnnnnnT+=（9分）法二：12121232222nnnnnnannnb+=，（7 分）所以213557212323.31222222nnnnnnnT+=+=（9分）（3）由（2）的结论，原不等式等价于8232232nnn+，等价于828231223222nnnnnn+=，*nN （10 分）记282232nnnnc=，则11262822522322nnnnnnnncc+=()()112626
15、2254 223672=22nnnnnnnn+=，（12 分）当1,2,3n=时10nncc+，当4n 时10nncc+，且由题意知0k，所以2m （12分）()()()23242 4111112 2221PABkmmmSAB dkm+=+（13 分）法一：设()()()3411xxf xx+=，2x，则()()()25212xxfxx+=，当()2,2x时，()0fx，()f x单调递增；当()2,x+时，()0fx，()f x单调递减，所以()f x在2x=处取得极大值()27216f=，（15 分）数学答案 第7页（共8页）学科网（北京）股份有限公司 故当且仅当2m=，即22k=，()2
16、,1P时，（答其一即可，未声明扣 1分）PABS取得最大值3 62（17分）法二：()()()()4344313143112 22 63 6323PABmmmmSmm+=，（15分）当且仅当()311mm=+，即2m=，22k=，()2,1P时，（未声明扣 1分）PABS取得最大值3 62（17分）19【解析】（1）解：()21xF xextx=+，()2xFxext=+（1分）因为()00F=，()12Fet=+，所以()()()010210FFFxet=+，即0022xexe=，()00,1x （2 分）令()22xh xexe=+，则()2xh xe=，在()0,ln2上，()0h x，
17、()h x单调递增，（3分）因为()ln222ln220he=+，()10h=，所以()h x在()0,ln2上存在唯一零点，在()ln2,1上无零点，（4 分）即0022xexe=在()0,1上存在唯一解，所以()F x在()0,1上的中值点有且仅有 1个（5 分）（2）解：不妨设12xx，则()()12f xf x，故有()()()()1212f xf xg xg x，即()()()()()()211212f xf xg xg xf xf x+，因为上式对任意()120,1,x x 都成立，所以函数()()()F xf xg x=和()()()G xf xg x=+在()0,1上均单调递增
18、，等价于()20 xFxext=+，()20 xGxext=+，()0,1x，（8 分）()2xFxe=，当()0,ln2x时，()0Fx，()Fx单调递增 所以()()ln222ln20FxFt=+，从而2ln22t （10分）()20 xGxe=+，()Gx在()0,1上单调递增，所以()()010GxGt=，从而1t （11 分）综上所述，实数t的取值范围是2ln22,1（12 分）（3）证：()2lnlnln1Fttttt=+，()00F=，()2xFxext=+，（13 分）由拉格朗日中值定理知，在()()0,ln1tt 或()()ln,001tt 上总存在0 x，使得()()()0ln0ln0FtFFxt=，即0012lnlnxtextt=（15 分）由（2）知()122ln22xpxxe=，所以00222ln2xex，所以1ln22ln2lnttt（17 分）【注】此问也可直接求导证明，或者令ln0 xt=转而证明122ln2xexx，但都会遇到1t=或0 x=处无定义的情况，需要谨慎讨论，可用洛必达法则求得极限；当然也可去分母再作差构造函数证明，此时需要分类讨论不等号方向；还可进一步利用“对数单向狗，指数找朋友”作变形构造，但都相对繁琐阅卷时此类解法也可酌情给分